Nauka » Matematyka » Pomocniczy układ współrzędnych

Zadanie - pomocniczy układ współrzędnych

Sporządzić wykres funkcji
a) $y+2=\frac{1}{x+3}$
b) $y=2+\cos{(x+1)}$
wykorzystując pomocniczy układ współrzędnych.

a) Rozwiązanie zadania

Zapiszmy naszą funkcję w postaci:

$y-(-2)=\frac{1}{x-(-3)}$

Wprowadzimy nowy układ współrzędnych o środku O(-3,-2). Wówczas między współrzędnymi zachodzi zależność:

$x=x_1-3\\y=y_1-2$

Kiedy podstawimy te zależności do naszego wzoru funkcji, otrzymamy wzór funkcji w pomocniczym układzie współrzędnych:

$y+2=\frac{1}{x+3}\\ y_1-2+2=\frac{1}{x_1-3+3}\\ y_1=\frac{1}{x_1}$

Sporządzamy tabelkę zmienności funkcji:

x₁	-2	-1	-1/2	1/2	1	2
y₁	-1/2	-1	-2	2	1	1/2

Sporządzamy teraz wykres. Najpierw sporządzamy układ XOY, potem w tym układzie szkicujemy układ X₁O₁Y₁ o środku w punkcie (-3,-2) i dopiero w tym układzie zaznaczamy punkty wykresu, szkicując jednocześnie hiperbolę.

pomocniczy układ współrzędnych - zadanie a

b) Rozwiązanie zadania

Zapiszmy naszą funkcję w następującej postaci:

$y-2=\cos{(x+1)}$

Wprowadzimy nowy układ współrzędnych o środku O(-1,2). Wówczas między współrzędnymi zachodzi zależność:

$x=x_1-1\\y=y_1+2$

Kiedy podstawimy te zależności do naszego wzoru funkcji, otrzymamy wzór funkcji w pomocniczym układzie współrzędnych:

$y_1+2-2=\cos{(x_1-1+1)}\\ y_1=\cos{x_1}$

Sporządzamy teraz tabelkę zmienności funkcji:

x₁	0	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$	$-\frac{\pi}{2}$
y₁	1	0	-1	0

Sporządzamy teraz wykres. Najpierw sporządzamy układ XOY, potem w tym układzie szkicujemy układ X₁O₁Y₁ o środku w punkcie (-1,2) i dopiero w tym układzie zaznaczamy punkty wykresu, szkicując jednocześnie wykres cosinusoidy.

pomocniczy układ współrzędnych - zadanie b

Zadania podobne

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.