logo

Nierówność drugiego stopnia (kwadratowa) z dwiema niewiadomymi

Definicja Definicja

Każdą z nierówności

ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f<0\\ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f>0\\ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f\leq{0}\\ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f\geq{0}

gdzie a, b, c, d, e, f są dowolnymi liczbami i przynajmniej jedna z liczb a, b, c jest różna od zera, a x, y - są zmiennymi,
nazywamy nierównością drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Przykład Przykład

Przykłady nierówności pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi:
2xy+4y+6\geq{0}\\x^2-y^2+xy+x+y+1>0\\{\frac{4x-y}{12}-\sqrt{7}x^2\leq{\sqrt{3}y^2-1}}

Definicja Definicja

Każdą parę liczb (m,n), która spełnia nierówność drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi (to znaczy, która podstawiona do nierówności m za x oraz n za y daje nierówność prawdziwą) nazywamy rozwiązaniem tej nierówności.

Przykład Przykład

Dana jest nierówność: x2-xy>0. Jest nieskończenie wiele par liczb, które spełniają tę nierówność. Są to dla przykładu: (1,-1), (-1,1), (10,3) itd.

Interpretacja geometryczna

Teoria Interpretacją geometryczną w układzie współrzędnych nierówności drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi jest figura geometryczna płaska wyznaczona przez wykres równania ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0.
Wykres dzieli płaszczyznę dwie części. To, która jest wykresem nierówności zależy od znaku nierówności. Jeżeli nierówność jest ostra, do wykresu nierówności nie zalicza się samego wykresu, w przypadku nieostrej nierówności - wykres należy do wykresu nierówności razem z pozostałą częścią.

Przykład Przykład

Rozwiązać nierówność: 4x^2-2y-8>0.

Powyższą nierówność można rozwiązać graficznie. Przekształćmy ją.
4x^2-2y-8>0\\-2y>-4x^2+8/:(-2)\\y<2x^2-4\\y<2(x^2-4)\\y<2(x-2)(x+2)
Mamy więc do czynienia z parabolą. Są dwa miejsca zerowe: -2 i 2. Obliczmy jeszcze współrzędne wierzchołka paraboli:
\Delta=b^2-4ac=32.
Zatem:
x_w=-\frac{b}{2a}=0\\y_w=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{32}{8}=-4
Wykreślamy zatem w układzie współrzędnych parabolę o równaniu y=2x2-4 i zaznaczamy tę część płaszczyzny, która zawiera punkty o współrzędnych spełniających daną nierówność, zaznaczając że krzywa też należy do wykresu tej nierówności.

wykres


© medianauka.pl, 2009-08-16, ART-277


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Nierówność drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi

zadanie-ikonka Nierówność drugiego stopnia (kwadratowa) z dwiema niewiadomymi - Zadanie 181 -
Rozwiązać graficznie nierówność:
a) x^2+y^2\leq 4
b) x^2+y^2>1

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - nierówność drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie nierówność xy+2>1

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - równianie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie nierówność y\leq -x^2+x+2

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Równanie okręguRównanie okręgu
Równanie okręgu, postać kanoniczna.
TestTest wiedzy
Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.








Polecamy w naszym sklepie

kolorowe skarpetki matematyka
Gry i zabawy znane i lubiane Matematyka
kolorowe skarpetki góra lodowa
Kolorowe skarpetki Miasto
50 wielkich idei które powinieneś znać
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2021 r.