Nierówność drugiego stopnia (kwadratowa) z dwiema niewiadomymi

Definicja

Każdą z nierówności

$ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f<0\\ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f>0\\ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f\leq{0}\\ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f\geq{0}$

gdzie a, b, c, d, e, f są dowolnymi liczbami i przynajmniej jedna z liczb a, b, c jest różna od zera, a x, y - są zmiennymi,
nazywamy nierównością drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Przykład

Przykłady nierówności pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi:
$2xy+4y+6\geq{0}\\x^2-y^2+xy+x+y+1>0\\{\frac{4x-y}{12}-\sqrt{7}x^2\leq{\sqrt{3}y^2-1}}$

Definicja

Każdą parę liczb (m,n), która spełnia nierówność drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi (to znaczy, która podstawiona do nierówności m za x oraz n za y daje nierówność prawdziwą) nazywamy rozwiązaniem tej nierówności.

Przykład

Dana jest nierówność: x²-xy>0. Jest nieskończenie wiele par liczb, które spełniają tę nierówność. Są to dla przykładu: (1,-1), (-1,1), (10,3) itd.

Interpretacja geometryczna

Interpretacją geometryczną w układzie współrzędnych nierówności drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi jest figura geometryczna płaska wyznaczona przez wykres równania .
Wykres dzieli płaszczyznę dwie części. To, która jest wykresem nierówności zależy od znaku nierówności. Jeżeli nierówność jest ostra, do wykresu nierówności nie zalicza się samego wykresu, w przypadku nieostrej nierówności - wykres należy do wykresu nierówności razem z pozostałą częścią.

Przykład

Rozwiązać nierówność: .

Powyższą nierówność można rozwiązać graficznie. Przekształćmy ją.
$4x^2-2y-8>0\\-2y>-4x^2+8/:(-2)\\y<2x^2-4\\y<2(x^2-4)\\y<2(x-2)(x+2)$
Mamy więc do czynienia z parabolą. Są dwa miejsca zerowe: -2 i 2. Obliczmy jeszcze współrzędne wierzchołka paraboli:
$\Delta=b^2-4ac=32$ .
Zatem:
$x_w=-\frac{b}{2a}=0\\y_w=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{32}{8}=-4$
Wykreślamy zatem w układzie współrzędnych parabolę o równaniu y=2x²-4 i zaznaczamy tę część płaszczyzny, która zawiera punkty o współrzędnych spełniających daną nierówność, zaznaczając że krzywa też należy do wykresu tej nierówności.