Strona główna » Matematyka » Nierówność drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi

Zadanie - równianie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi

Rozwiązać graficznie nierówność $y\leq -x^2+x+2$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\Delta=1+8=9 \\ x_1=\frac{-1-3}{-2}=2 \\ x_2=\frac{-1+3}{-2}=-1\\ x_w=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2} \\ y_w=-\frac{9}{-4}=2\frac{1}{4}$

graficzne rozwiązanie nierówności

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Po prawej stronie nierówności mamy trójmian kwadratowy, którego wykresem jest parabola. Znajdujemy miejsca zerowe:

$a=-1\\ b=1\\ c=2 \\ \Delta=b^2-4ac=1+8=9 \\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-3}{-2}=2 \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+3}{-2}=-1$

Znajdujemy współrzędne wierzchołka paraboli zgodnie ze wzorami:

$x_w=-\frac{b}{2a} \\ y_w=-\frac{\Delta}{2a}$

$x_w=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2} \\ y_w=-\frac{9}{-4}=2\frac{1}{4}$

Współczynnik a jest ujemny, więc ramiona paraboli skierowane są w dół.

Rysujemy więc w układzie współrzędnych parabolę i zaznaczamy wszystkie wartości y, które są mniejsze od wyznaczonych wartości funkcji kwadratowej (czyli punkty leżące poniżej punktów na paraboli). Otrzymamy w ten sposób wykres (graficzne rozwiązanie) analizowanej nierówności. Zaznaczyć należy, że ponieważ nierówność nie jest ostra, parabola również należy do rozwiązania nierówności.