Zadanie - równianie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi
Treść zadania:
Rozwiązać graficznie nierówność \(y\leq -x^2+x+2\).
Rozwiązanie zadania
Po prawej stronie nierówności mamy trójmian kwadratowy, którego wykresem jest parabola. Znajdujemy miejsca zerowe:
\(a=-1,\ b=1,\ c=2\)
\(\Delta=b^2-4ac=1+8=9\)
\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-3}{-2}=2\)
\( x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+3}{-2}=-1\)
Znajdujemy współrzędne wierzchołka paraboli zgodnie ze wzorami:
\(y_w=-\frac{\Delta}{2a}\)
\(x_w=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}\)
\(y_w=-\frac{9}{-4}=2\frac{1}{4}\)
Współczynnik \(a\) jest ujemny, więc ramiona paraboli skierowane są w dół.
Rysujemy więc w układzie współrzędnych parabolę i zaznaczamy wszystkie wartości \(y\), które są mniejsze od wyznaczonych wartości funkcji kwadratowej (czyli punkty leżące poniżej punktów na paraboli). Otrzymamy w ten sposób wykres (graficzne rozwiązanie) analizowanej nierówności. Zaznaczyć należy, że ponieważ nierówność nie jest ostra, parabola również należy do rozwiązania nierówności.
© medianauka.pl, 2010-02-04, ZAD-574
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Rozwiązać graficznie nierówność:
a) \(x^2+y^2\leq 4\)
b) \(x^2+y^2>1\)