Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie - nierówność drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi


Rozwiązać graficznie nierówność xy+2>1


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

xy+2>0\\ xy>-2\\ \begin{cases} y>-\frac{2}{x}, \ \ dla \ x>0\\ y<-\frac{2}{x}, \ \ dla \ x<0 \\ 0>-2, \ \ dla \ x=0 \ lub \ y=0\end{cases}

Rozwiązanie graficzne nierówności xy+2>1

Rozwiązaniem jest zakreskowana figura bez brzegu.



ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Po przeniesieniu liczby 2 na drugą stronę nierówności otrzymamy:

xy+2>0 \\ xy>-2

Mamy teraz do przeanalizowania kilka różnych przypadków.

Przypadek 1

Gdy x=0 i y\in R (dotyczy to wszystkich punktów leżących na osi OY) mamy nierówność:

0\cdot y>-2\\ 0&gt -2

Otrzymaliśmy nierówność prawdziwą, zatem wszystkie punkty osi OY ją spełniają. Możemy zaznaczyć to w układzie współrzędnych:

Rozwiązanie graficzne nierówności xy+2>1 - przypadek 1

Przypadek 2

Gdy y=0 i x\in R (dotyczy to wszystkich punktów leżących na osi OX) mamy nierówność:

x\cdot 0>-2\\ 0&gt -2

Otrzymaliśmy nierówność prawdziwą, zatem wszystkie punkty osi OX ją spełniają. Możemy zaznaczyć to w układzie współrzędnych:

Rozwiązanie graficzne nierówności xy+2>1 - przypadek 2

Przypadek 3

Gdy x\neq 0, \ y\neq 0, x>0 Możemy podzielić obie strony nierówności przez x, bez zmiany zwrotu nierówności, otrzymując:

xy>-2/:x \\ y>-\frac{2}{x}

Nierówność ta przypomina funkcję homograficzną, której wykresem jest hiperbola. Sporządzamy jej wykres ale tylko dla x>0 (zgodnie z naszym założeniem).

x11/224
y-2-4-1-1/2

Zaznaczamy tę część płaszczyzny, która zawiera punkty o współrzędnych spełniających daną nierówność (zaznaczamy wszystkie wartości leżące wyżej od każdego punktu wykresu), pamiętając że krzywa nie należy do wykresu tej nierówności (mamy tutaj ostrą nierówność).

Rozwiązanie graficzne nierówności xy+2>1 - etap 1

Przypadek 4

Gdy x\neq 0, \ y\neq 0, x<0 Możemy podzielić obie strony nierówności przez x, zmieniając zwrot nierówności, otrzymując:

xy>-2/:x \\ y<-\frac{2}{x}

Podobnie jak wyżej, nierówność ta przypomina funkcję homograficzną, której wykresem jest hiperbola. Sporządzamy jej wykres ale tylko dla x<0 (zgodnie z naszym założeniem).

x-1-1/2-2-4
y2411/2

Zaznaczamy tę część płaszczyzny, która zawiera punkty o współrzędnych spełniających daną nierówność (zaznaczamy wszystkie wartości leżące poniżej od każdego punktu wykresu), pamiętając że krzywa nie należy do wykresu tej nierówności (mamy tutaj ostrą nierówność).

Rozwiązanie graficzne nierówności xy+2>1 - etap 2

Uwzględniając wszystkie cztery przypadki, otrzymujemy rozwiązanie nierówności.

ksiązki Odpowiedź

Rozwiązanie graficzne nierówności xy+2>1

© medianauka.pl, 2010-02-03, ZAD-573





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.