Zadanie - nierówność drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi

Rozwiązanie zadania uproszczone


Rozwiązaniem jest zakreskowana figura bez brzegu.
Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Po przeniesieniu liczby 2 na drugą stronę nierówności otrzymamy:

Mamy teraz do przeanalizowania kilka różnych przypadków.
Przypadek 1
Gdy x=0 i
(dotyczy to wszystkich punktów leżących na osi OY) mamy nierówność:

Otrzymaliśmy nierówność prawdziwą, zatem wszystkie punkty osi OY ją spełniają. Możemy zaznaczyć to w układzie współrzędnych:

Przypadek 2
Gdy y=0 i
(dotyczy to wszystkich punktów leżących na osi OX) mamy nierówność:

Otrzymaliśmy nierówność prawdziwą, zatem wszystkie punkty osi OX ją spełniają. Możemy zaznaczyć to w układzie współrzędnych:

Przypadek 3
Gdy
Możemy podzielić obie strony nierówności przez x, bez zmiany zwrotu nierówności, otrzymując:

Nierówność ta przypomina funkcję homograficzną, której wykresem jest hiperbola. Sporządzamy jej wykres ale tylko dla x>0 (zgodnie z naszym założeniem).
x | 1 | 1/2 | 2 | 4 |
y | -2 | -4 | -1 | -1/2 |
Zaznaczamy tę część płaszczyzny, która zawiera punkty o współrzędnych spełniających daną nierówność (zaznaczamy wszystkie wartości leżące wyżej od każdego punktu wykresu), pamiętając że krzywa nie należy do wykresu tej nierówności (mamy tutaj ostrą nierówność).

Przypadek 4
Gdy
Możemy podzielić obie strony nierówności przez x, zmieniając zwrot nierówności, otrzymując:

Podobnie jak wyżej, nierówność ta przypomina funkcję homograficzną, której wykresem jest hiperbola. Sporządzamy jej wykres ale tylko dla x<0 (zgodnie z naszym założeniem).
x | -1 | -1/2 | -2 | -4 |
y | 2 | 4 | 1 | 1/2 |
Zaznaczamy tę część płaszczyzny, która zawiera punkty o współrzędnych spełniających daną nierówność (zaznaczamy wszystkie wartości leżące poniżej od każdego punktu wykresu), pamiętając że krzywa nie należy do wykresu tej nierówności (mamy tutaj ostrą nierówność).

Uwzględniając wszystkie cztery przypadki, otrzymujemy rozwiązanie nierówności.
Odpowiedź

© medianauka.pl, 2010-02-03, ZAD-573
Zadania podobne

Rozwiązać graficznie nierówność:
a)

b)

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać graficznie nierówność

Pokaż rozwiązanie zadania