Nauka » Matematyka » Nierówność drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi

Zadanie - nierówność drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi

Treść zadania:

Rozwiązać graficznie nierówność \(xy+2>1\).

Rozwiązanie zadania

Po przeniesieniu liczby \(2\) na drugą stronę nierówności otrzymamy:

\(xy+2>0\)

\(xy>-2\)

Mamy teraz do przeanalizowania kilka różnych przypadków.

Przypadek 1

Gdy \(x=0\) i \(y\in \mathbb{R}\) (dotyczy to wszystkich punktów leżących na osi \(OY\)), mamy nierówność:

\(0\cdot y>-2\)

\(0> -2\)

Otrzymaliśmy nierówność prawdziwą, zatem wszystkie punkty osi \(OY\) ją spełniają. Możemy zaznaczyć to w układzie współrzędnych:

Rozwiązanie graficzne nierówności xy+2>1 - przypadek 1

Przypadek 2

Gdy \(y=0\) i \(x\in \mathbb{R}\) (dotyczy to wszystkich punktów leżących na osi \(OX\), mamy nierówność:

\(x\cdot 0>-2\)

\(0> -2\)

Otrzymaliśmy nierówność prawdziwą, zatem wszystkie punkty osi \(OX\) ją spełniają. Możemy zaznaczyć to w układzie współrzędnych:

Rozwiązanie graficzne nierówności xy+2>1 - przypadek 2

Przypadek 3

Gdy \(x\neq 0, \ y\neq 0, x>0\), możemy podzielić obie strony nierówności przez \(x\), bez zmiany zwrotu nierówności, otrzymując:

\(xy>-2/:x\)

\(y>-\frac{2}{x}\)

Nierówność ta przypomina funkcję homograficzną, której wykresem jest hiperbola. Sporządzamy jej wykres ale tylko dla \(x>0\) (zgodnie z naszym założeniem).

x	1	1/2	2	4
y	-2	-4	-1	-1/2

Zaznaczamy tę część płaszczyzny, która zawiera punkty o współrzędnych spełniających daną nierówność (zaznaczamy wszystkie wartości leżące wyżej od każdego punktu wykresu), pamiętając że krzywa nie należy do wykresu tej nierówności (mamy tutaj ostrą nierówność).

Rozwiązanie graficzne nierówności xy+2>1 - etap 1

Przypadek 4

Gdy \(x\neq 0, \ y\neq 0, x<0\), możemy podzielić obie strony nierówności przez \(x\), zmieniając zwrot nierówności, otrzymując:

\(xy>-2/:x\)

\(y<-\frac{2}{x}\)

Podobnie jak wyżej, nierówność ta przypomina funkcję homograficzną, której wykresem jest hiperbola. Sporządzamy jej wykres ale tylko dla \(x<0\) (zgodnie z naszym założeniem).

x	-1	-1/2	-2	-4
y	2	4	1	1/2

Zaznaczamy tę część płaszczyzny, która zawiera punkty o współrzędnych spełniających daną nierówność (zaznaczamy wszystkie wartości leżące poniżej od każdego punktu wykresu), pamiętając że krzywa nie należy do wykresu tej nierówności (mamy tutaj ostrą nierówność).

Rozwiązanie graficzne nierówności xy+2>1 - etap 2