Zadanie - nierówność drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie nierówność \(xy+2>1\).
Rozwiązanie zadania
Po przeniesieniu liczby \(2\) na drugą stronę nierówności otrzymamy:
\(xy+2>0\)
\(xy>-2\)
Mamy teraz do przeanalizowania kilka różnych przypadków.
Przypadek 1
Gdy \(x=0\) i \(y\in \mathbb{R}\) (dotyczy to wszystkich punktów leżących na osi \(OY\)), mamy nierówność:
\(0\cdot y>-2\)
\(0> -2\)
Otrzymaliśmy nierówność prawdziwą, zatem wszystkie punkty osi \(OY\) ją spełniają. Możemy zaznaczyć to w układzie współrzędnych:
Przypadek 2
Gdy \(y=0\) i \(x\in \mathbb{R}\) (dotyczy to wszystkich punktów leżących na osi \(OX\), mamy nierówność:
\(x\cdot 0>-2\)
\(0> -2\)
Otrzymaliśmy nierówność prawdziwą, zatem wszystkie punkty osi \(OX\) ją spełniają. Możemy zaznaczyć to w układzie współrzędnych:
Przypadek 3
Gdy \(x\neq 0, \ y\neq 0, x>0\), możemy podzielić obie strony nierówności przez \(x\), bez zmiany zwrotu nierówności, otrzymując:
\(xy>-2/:x\)
\(y>-\frac{2}{x}\)
Nierówność ta przypomina funkcję homograficzną, której wykresem jest hiperbola. Sporządzamy jej wykres ale tylko dla \(x>0\) (zgodnie z naszym założeniem).
| x | 1 | 1/2 | 2 | 4 |
| y | -2 | -4 | -1 | -1/2 |
Zaznaczamy tę część płaszczyzny, która zawiera punkty o współrzędnych spełniających daną nierówność (zaznaczamy wszystkie wartości leżące wyżej od każdego punktu wykresu), pamiętając że krzywa nie należy do wykresu tej nierówności (mamy tutaj ostrą nierówność).
Przypadek 4
Gdy \(x\neq 0, \ y\neq 0, x<0\), możemy podzielić obie strony nierówności przez \(x\), zmieniając zwrot nierówności, otrzymując:
\(xy>-2/:x\)
\(y<-\frac{2}{x}\)
Podobnie jak wyżej, nierówność ta przypomina funkcję homograficzną, której wykresem jest hiperbola. Sporządzamy jej wykres ale tylko dla \(x<0\) (zgodnie z naszym założeniem).
| x | -1 | -1/2 | -2 | -4 |
| y | 2 | 4 | 1 | 1/2 |
Zaznaczamy tę część płaszczyzny, która zawiera punkty o współrzędnych spełniających daną nierówność (zaznaczamy wszystkie wartości leżące poniżej od każdego punktu wykresu), pamiętając że krzywa nie należy do wykresu tej nierówności (mamy tutaj ostrą nierówność).
Uwzględniając wszystkie cztery przypadki, otrzymujemy rozwiązanie nierówności.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-02-03, ZAD-573
Zadania podobne
Nierówność drugiego stopnia (kwadratowa) z dwiema niewiadomymi - Zadanie 181 - Rozwiązać graficznie nierówność:
a) \(x^2+y^2\leq 4\)
b) \(x^2+y^2>1\)
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie - równianie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi Rozwiązać graficznie nierówność \(y\leq -x^2+x+2\).
Pokaż rozwiązanie zadania