Zadanie - nierówność drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi

Treść zadania:

Rozwiązać graficznie nierówność \(xy+2>1\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Po przeniesieniu liczby \(2\) na drugą stronę nierówności otrzymamy:

\(xy+2>0\)

\(xy>-2\)

Mamy teraz do przeanalizowania kilka różnych przypadków.

Przypadek 1

Gdy \(x=0\) i \(y\in \mathbb{R}\) (dotyczy to wszystkich punktów leżących na osi \(OY\)), mamy nierówność:

\(0\cdot y>-2\)

\(0> -2\)

Otrzymaliśmy nierówność prawdziwą, zatem wszystkie punkty osi \(OY\) ją spełniają. Możemy zaznaczyć to w układzie współrzędnych:

Rozwiązanie graficzne nierówności xy+2>1 - przypadek 1

Przypadek 2

Gdy \(y=0\) i \(x\in \mathbb{R}\) (dotyczy to wszystkich punktów leżących na osi \(OX\), mamy nierówność:

\(x\cdot 0>-2\)

\(0> -2\)

Otrzymaliśmy nierówność prawdziwą, zatem wszystkie punkty osi \(OX\) ją spełniają. Możemy zaznaczyć to w układzie współrzędnych:

Rozwiązanie graficzne nierówności xy+2>1 - przypadek 2

Przypadek 3

Gdy \(x\neq 0, \ y\neq 0, x>0\), możemy podzielić obie strony nierówności przez \(x\), bez zmiany zwrotu nierówności, otrzymując:

\(xy>-2/:x\)

\(y>-\frac{2}{x}\)

Nierówność ta przypomina funkcję homograficzną, której wykresem jest hiperbola. Sporządzamy jej wykres ale tylko dla \(x>0\) (zgodnie z naszym założeniem).

x11/224
y-2-4-1-1/2

Zaznaczamy tę część płaszczyzny, która zawiera punkty o współrzędnych spełniających daną nierówność (zaznaczamy wszystkie wartości leżące wyżej od każdego punktu wykresu), pamiętając że krzywa nie należy do wykresu tej nierówności (mamy tutaj ostrą nierówność).

Rozwiązanie graficzne nierówności xy+2>1 - etap 1

Przypadek 4

Gdy \(x\neq 0, \ y\neq 0, x<0\), możemy podzielić obie strony nierówności przez \(x\), zmieniając zwrot nierówności, otrzymując:

\(xy>-2/:x\)

\(y<-\frac{2}{x}\)

Podobnie jak wyżej, nierówność ta przypomina funkcję homograficzną, której wykresem jest hiperbola. Sporządzamy jej wykres ale tylko dla \(x<0\) (zgodnie z naszym założeniem).

x-1-1/2-2-4
y2411/2

Zaznaczamy tę część płaszczyzny, która zawiera punkty o współrzędnych spełniających daną nierówność (zaznaczamy wszystkie wartości leżące poniżej od każdego punktu wykresu), pamiętając że krzywa nie należy do wykresu tej nierówności (mamy tutaj ostrą nierówność).

Rozwiązanie graficzne nierówności xy+2>1 - etap 2

Uwzględniając wszystkie cztery przypadki, otrzymujemy rozwiązanie nierówności.

ksiązki Odpowiedź

Rozwiązanie graficzne nierówności xy+2>1

© medianauka.pl, 2010-02-03, ZAD-573

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać graficznie nierówność:

a) \(x^2+y^2\leq 4\)

b) \(x^2+y^2>1\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać graficznie nierówność \(y\leq -x^2+x+2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.