Nauka » Matematyka » Nierówność drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi

Zadanie - nierówność drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi

Rozwiązać graficznie nierówność

Rozwiązanie zadania uproszczone

$xy+2>0\\ xy>-2\\ \begin{cases} y>-\frac{2}{x}, \ \ dla \ x>0\\ y<-\frac{2}{x}, \ \ dla \ x<0 \\ 0>-2, \ \ dla \ x=0 \ lub \ y=0\end{cases}$

Rozwiązanie graficzne nierówności xy+2>1

Rozwiązaniem jest zakreskowana figura bez brzegu.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Po przeniesieniu liczby 2 na drugą stronę nierówności otrzymamy:

$xy+2>0 \\ xy>-2$

Mamy teraz do przeanalizowania kilka różnych przypadków.

Przypadek 1

Gdy x=0 i $y\in R$ (dotyczy to wszystkich punktów leżących na osi OY) mamy nierówność:

$0\cdot y>-2\\ 0&gt -2$

Otrzymaliśmy nierówność prawdziwą, zatem wszystkie punkty osi OY ją spełniają. Możemy zaznaczyć to w układzie współrzędnych:

Rozwiązanie graficzne nierówności xy+2>1 - przypadek 1

Przypadek 2

Gdy y=0 i $x\in R$ (dotyczy to wszystkich punktów leżących na osi OX) mamy nierówność:

$x\cdot 0>-2\\ 0&gt -2$

Otrzymaliśmy nierówność prawdziwą, zatem wszystkie punkty osi OX ją spełniają. Możemy zaznaczyć to w układzie współrzędnych:

Rozwiązanie graficzne nierówności xy+2>1 - przypadek 2

Przypadek 3

Gdy $x\neq 0, \ y\neq 0, x>0$ Możemy podzielić obie strony nierówności przez x, bez zmiany zwrotu nierówności, otrzymując:

$xy>-2/:x \\ y>-\frac{2}{x}$

Nierówność ta przypomina funkcję homograficzną, której wykresem jest hiperbola. Sporządzamy jej wykres ale tylko dla x>0 (zgodnie z naszym założeniem).

x	1	1/2	2	4
y	-2	-4	-1	-1/2

Zaznaczamy tę część płaszczyzny, która zawiera punkty o współrzędnych spełniających daną nierówność (zaznaczamy wszystkie wartości leżące wyżej od każdego punktu wykresu), pamiętając że krzywa nie należy do wykresu tej nierówności (mamy tutaj ostrą nierówność).

Rozwiązanie graficzne nierówności xy+2>1 - etap 1

Przypadek 4

Gdy $x\neq 0, \ y\neq 0, x<0$ Możemy podzielić obie strony nierówności przez x, zmieniając zwrot nierówności, otrzymując:

$xy>-2/:x \\ y<-\frac{2}{x}$

Podobnie jak wyżej, nierówność ta przypomina funkcję homograficzną, której wykresem jest hiperbola. Sporządzamy jej wykres ale tylko dla x<0 (zgodnie z naszym założeniem).

x	-1	-1/2	-2	-4
y	2	4	1	1/2

Zaznaczamy tę część płaszczyzny, która zawiera punkty o współrzędnych spełniających daną nierówność (zaznaczamy wszystkie wartości leżące poniżej od każdego punktu wykresu), pamiętając że krzywa nie należy do wykresu tej nierówności (mamy tutaj ostrą nierówność).