Nauka » Matematyka » Trójkąt prostokątny

Zadanie - trójkąt prostokątny

W trójkącie prostokątnym wysokość o długości $2\sqrt{2}$ opuszczona z wierzchołka kąta prostego dzieli podstawę na dwa odcinki, z których jeden jest dwa razy dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków trójkąta.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$x=2y\\ h=\sqrt{xy}\\ 2\sqrt{2}=\sqrt{2y^2}\\ y=2\\ x=4\\ c=6$
$a^2=x^2+h^2\\ a^2=4^2+(2\sqrt{2})^2\\ a=2\sqrt{6}$
$b^2=y^2+h^2\\ b^2=2^2+(2\sqrt{2})^2\\ b^2=12\\ b=2\sqrt{3}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy szkic.

Wiemy z treści zadania, że jeden z odcinków podstawy jest dwa razy dłuższy od drugiego:

W trójkącie prostokątnym wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną dzieli ją na dwie części tak, że jest dla tych części średnią geometryczną:

$h=\sqrt{xy}\\ h=2\sqrt{2}\\ 2\sqrt{2}=sqrt{2y\cdot y}\\ 2\sqrt{2}=\sqrt{2y^2}\\ 2\sqrt{2}=y\sqrt{2}/:\sqrt{2}\\ y=2\\ x=4$

Możemy więc obliczyć długość podstawy:

$c=x+y\\ c=2+4\\ c=6$

Znając długości x oraz y, możemy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, wyznaczyć długości a oraz b, gdyż wysokość dzieli nasz trójkąt na dwa trójkąty prostokątne. Zatem zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa w trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów przyprostokątnych:

$a^2=x^2+h^2\\ a^2=4^2+(2\sqrt{2})^2\\ a^2=16+4\cdot 2\\ a^2=24\\ a=\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot 6}=2\sqrt{6}$

Dla drugiego trójkąta:

$b^2=y^2+h^2\\ b^2=2^2+(2\sqrt{2})^2\\ b^2=4+4\cdot 2\\ b^2=12\\ b=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$

Odpowiedź

$a=2\sqrt{6}, \ b=2\sqrt{3}, \ c=6$

Zadania podobne

Zadanie - okrąg opisany na trójkącie
Na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości 3 i 4 opisano koło. Oblicz pole i obwód tego koła.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - suma miar kątów w tójkącie
W trójkącie prostokątnym jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30^o. Oblicz miarę pozostałych kątów w tym trójkącie.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąt prostokątny
W trójkącie prostokątnym miary dwóch kątów wewnętrznych są równe, a długość przeciwprostokątnej jest równa 6. Oblicz miarę kątów w tym trójkącie oraz długość boków.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąt prostokątny, twierdzenie Pitagorasa
W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych wynoszą odpowiednio 5 i 8. Oblicz długość przeciwprostokątnej.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąt prostokątny
W równoramiennym trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 10 cm. Obliczyć długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąt prostokątny
Jaką długość mają przyprostokątne trójkąta prostokątnego, jeżeli wiadomo, że jedna z przyprostokątnych jest 3 razy dłuższa od drugiej i średnica okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość równą $\sqrt{10}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąt prostokątny
Długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym równoramiennym jest dwa razy większa od długości przyprostokątnej. Oblicz długości boków tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąt prostokątny
Znaleźć punkt na prostej y=1, który wraz z punktami A=(2,3), B=(4,2) wyznaczy trójkąt prostokątny.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 19, matura 2016 (poziom podstawowy)
Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie P przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek).
wzór

Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności P, jest równe: A. 14
B. $2\sqrt{33}$
C. $4\sqrt{33}$
D. 12

Pokaż rozwiązanie zadania