Zadanie - trójkąt prostokątny

Rozwiązanie zadania

Sporządzamy szkic.

Wiemy z treści zadania, że jeden z odcinków podstawy jest dwa razy dłuższy od drugiego:

\(x=2y\)

W trójkącie prostokątnym wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną dzieli ją na dwie części tak, że jest dla tych części średnią geometryczną:

\(h=\sqrt{xy}\)

\(h=2\sqrt{2}\)

\(2\sqrt{2}=\sqrt{2y\cdot y}\)

\(2\sqrt{2}=\sqrt{2y^2}\)

\(2\sqrt{2}=y\sqrt{2}/:\sqrt{2}\)

\(y=2\)

\(x=4\)

Możemy więc obliczyć długość podstawy:

\(c=x+y\)

\(c=2+4\)

\(c=6\)

Znając długości \(x\) oraz \(y\), możemy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, wyznaczyć długości \(a\) oraz \(b\), gdyż wysokość dzieli nasz trójkąt na dwa trójkąty prostokątne. Zatem zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa w trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów przyprostokątnych:

\(a^2=x^2+h^2\)

\(a^2=4^2+(2\sqrt{2})^2\)

\(a^2=16+4\cdot 2\)

\(a^2=24\)

\(a=\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot 6}=2\sqrt{6}\)

Dla drugiego trójkąta:

\(b^2=y^2+h^2\)

\(b^2=2^2+(2\sqrt{2})^2\)

\(b^2=4+4\cdot 2\)

\(b^2=12\)

\(b=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}\)

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2011-02-07, ZAD-1134

Zadania podobne

Na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości 3 i 4 opisano koło. Oblicz pole i obwód tego koła.

W trójkącie prostokątnym jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30°. Oblicz miarę pozostałych kątów w tym trójkącie.

W trójkącie prostokątnym miary dwóch kątów wewnętrznych są równe, a długość przeciwprostokątnej jest równa 6. Oblicz miarę kątów w tym trójkącie oraz długość boków.

W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych wynoszą odpowiednio 5 i 8. Oblicz długość przeciwprostokątnej.

W równoramiennym trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 10 cm. Obliczyć długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

Jaką długość mają przyprostokątne trójkąta prostokątnego, jeżeli wiadomo, że jedna z przyprostokątnych jest 3 razy dłuższa od drugiej i średnica okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość równą \(\sqrt{10}\).

Długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym równoramiennym jest dwa razy większa od długości przyprostokątnej. Oblicz długości boków tego trójkąta.

Znaleźć punkt na prostej \(y=1\), który wraz z punktami \(A=(2,3), B=(4,2)\) wyznaczy trójkąt prostokątny.

Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie \(P\) przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek).

Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności \(P\), jest równe:

A. \(14\)

B. \(2\sqrt{33}\)

C. \(4\sqrt{33}\)

D. \(12\)