Zadanie - trójkąt prostokątny

Rozwiązanie zadania

Sporządzamy szkic.

Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym dzieli przeciwprostokątną na dwie równe części (promień tego okręgu to połowa przeciwprostokątnej). Powyższe wynika z twierdzenia, że trójkąt oparty na średnicy jest prostokątny. Nasza średnica \(d\) okręgu opisanego na trójkącie jest więc równa przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego.

Możemy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa, które mówi, że w trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów przyprostokątnych:

\(d^2=a^2+(3a)^2\)

\(d^2=a^2 +9a^2\)

\(d^2=10a^2/:10\)

\(a^2=\frac{d^2}{10} \)

\(a=\frac{(\sqrt{10})^2}{10}=\frac{10}{10}=1\)

Druga z przyprostokątnych jest trzy razy dłuższa, więc jej długość jest równa \(3\).

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2011-02-08, ZAD-1136

Zadania podobne

Na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości 3 i 4 opisano koło. Oblicz pole i obwód tego koła.

W trójkącie prostokątnym jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30°. Oblicz miarę pozostałych kątów w tym trójkącie.

W trójkącie prostokątnym miary dwóch kątów wewnętrznych są równe, a długość przeciwprostokątnej jest równa 6. Oblicz miarę kątów w tym trójkącie oraz długość boków.

W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych wynoszą odpowiednio 5 i 8. Oblicz długość przeciwprostokątnej.

W trójkącie prostokątnym wysokość o długości \(2\sqrt{2}\) opuszczona z wierzchołka kąta prostego dzieli podstawę na dwa odcinki, z których jeden jest dwa razy dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków trójkąta.

W równoramiennym trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 10 cm. Obliczyć długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

Długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym równoramiennym jest dwa razy większa od długości przyprostokątnej. Oblicz długości boków tego trójkąta.

Znaleźć punkt na prostej \(y=1\), który wraz z punktami \(A=(2,3), B=(4,2)\) wyznaczy trójkąt prostokątny.

Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie \(P\) przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek).

Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności \(P\), jest równe:

A. \(14\)

B. \(2\sqrt{33}\)

C. \(4\sqrt{33}\)

D. \(12\)