Nauka » Matematyka » Mnożenie wielomianów

Zadanie - iloczyn wielomianów

Wykonać mnożenie:
a)

i uporządkować oraz zredukować wynik względem zmiennej x.

Rozwiązanie zadania uproszczone

a) $(3x^3-x^2+2)(2x^2+x-1)=\\ =6x^5+3x^4-3x^3-2x^4-x^3+x^2+4x^2+2x-2=\\ =6x^5+x^4-4x^3+5x^2+2x-2$

b) $[(a+1)x^2-x+a][x^2-(a+1)x+1]=\\ =(a+1)x^4-(a+1)^2x^3+(a+1)x^2+\\ -x^3+(a+1)x^2-x+ax^2-a(a+1)x+a=$
$=(a+1)x^4+[-(a+1)^2-1]x^3+(a+1+a+1+a)x^2+\\ +[-1-a(a+1)]x+a= \\ =(a+1)x^4+[-(a^2+2a+1)-1]x^3+(3a+2)x^2+\\ +(-1-a^2-a)x+a= \\ =(a+1)x^4-(a^2+2a+2)x^3+(3a+2)x^2+\\ -(a^2+a+1)x+a$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Podpunkt a)

Wykonujemy mnożenie zgodnie ze schematem (najpierw kolor zielony, potem różowy i na końcu niebieski):

$(3x^3-x^2+2)(2x^2+x-1)=3x^3\cdot 2x^2+3x^2\cdot x-3x^2\cdot 1+ \\ -x^2\cdot 2x^2-x^2\cdot x+x^2\cdot 1+2\cdot 2x^2+2x-2=\\ =6x^5+3x^4-3x^3-2x^4-x^3+x^2+4x^2+2x-2=\\ =6x^5+x^4-4x^3+5x^2+2x-2$ tło

Kolorami zaznaczono wyrazy podobne i zredukowano je.

Podpunkt b)

Wykonujemy działanie, mnożąc każdy wyraz w pierwszym nawiasie przez każdy wyraz w drugim nawiasie:

$[(a+1)x^2-x+a][x^2-(a+1)x+1]=\\ =(a+1)x^4-(a+1)^2x^3+(a+1)x^2+\\ -x^3+(a+1)x^2-x+ax^2-a(a+1)x+a=$ tło

Kolorami zaznaczono wyrazy podobne. Redukujemy je, wyciągając przed nawias x w tej samej potędze:

$=(a+1)x^4+[-(a+1)^2-1]x^3+(a+1+a+1+a)x^2+\\ +[-1-a(a+1)]x+a= \\ =(a+1)x^4+[-(a^2+2a+1)-1]x^3+(3a+2)x^2+\\ +(-1-a^2-a)x+a= \\ =(a+1)x^4-(a^2+2a+2)x^3+(3a+2)x^2+\\ -(a^2+a+1)x+a$

Odpowiedź

b) $[(a+1)x^2-x+a][x^2-(a+1)x+1]=\\ =(a+1)x^4-(a^2+2a+2)x^3+(3a+2)x^2+\\ -(a^2+a+1)x+a$

Zadania podobne

Zadanie - postać iloczynowa wielomianu
Wielomian W(x) dla $x_1=-5, \ x_2=5$ ma taką samą wartość, równą zeru. Jaka jest postać iloczynowa tego wielomianu, jeżeli jego wartość w punkcie x=1 jest równa 24 i wiadomo, że wielomian ma 3 pierwiastki?

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.