Zadanie - postać iloczynowa wielomianu
Treść zadania:
Wielomian \(W(x)\) dla \(x_1=-5, x_2=5\) ma taką samą wartość, równą zeru. Jaka jest postać iloczynowa tego wielomianu, jeżeli jego wartość w punkcie \(x=1\) jest równa 24 i wiadomo, że wielomian ma 3 pierwiastki?
Rozwiązanie zadania
Wiemy, że wielomian ma trzy pierwiastki. Dwa z nich znamy: są to liczby \(5\) i \(-5\), gdyż z warunków zadania wynika, iż \(W(-5)=0\) i \(W(5)=0\). Oznaczmy trzeci z pierwiastków przez \(x_3\). Zgodnie z postacią iloczynową wielomianu możemy napisać:
\(W(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\)
\(a\in \mathbb{R}\)
\(a\neq 0\)
\(x_1=-5\)
\(x_2=5\)
\(W(x)=a(x+5)(x-5)(x-x_3)\)
Liczba \(a\) jest dowolną liczbą rzeczywistą, różną od zera. Z warunku zadania wynika, że dla \(x=1\) wartość wielomianu jest równa \(24\). Wykorzystamy to, podstawiając za \(x\) liczbę \(1\) i za \(W(x)\) liczbę \(24\).
\(x=1\)
\(W(1)=24\)
\(24=a(1+5)(1-5)(1-x_3)\)
\(a\cdot6\cdot (-4)(1-x_3)=24\)
\(-24a(1-x_3)=24/:(-24a)\)
\(1-x_3=-\frac{1}{a}\)
\(-x_3=-\frac{1}{a}-1/\cdot(-1)\)
\(x_3=\frac{1}{a}+1\)
\(x_3=\frac{a+1}{a}\)
Możemy więc napisać wzór wielomianu \(W(x)\):
\(W(x)=a(x-5)(x+5)(x-\frac{a+1}{a})\)
Jest to rozwiązanie naszego zadania. Zauważmy, że można utworzyć nieskończenie wiele wielomianów spełniających warunki zadania. Przykładem takiego wielomianu będzie:
\(W(x)=(x-5)(x+5)(x-2)\) lub \(W(x)=2(x-5)(x+5)(x-\frac{3}{2})\)
albo
\(W(x)=10000(x-5)(x+5)(x-\frac{10001}{10000})\).
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-01-29, ZAD-548
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Wykonać mnożenie:
a) \((3x^3-x^2+2)(2x^2+x-1)\)
b) \([(a+1)x^2-x+a][x^2-(a+1)x+1]\)
i uporządkować oraz zredukować wynik względem zmiennej \(x\).