Nauka » Matematyka » Mnożenie wielomianów

Zadanie - postać iloczynowa wielomianu

Wielomian W(x) dla $x_1=-5, \ x_2=5$ ma taką samą wartość, równą zeru. Jaka jest postać iloczynowa tego wielomianu, jeżeli jego wartość w punkcie x=1 jest równa 24 i wiadomo, że wielomian ma 3 pierwiastki?

Rozwiązanie zadania uproszczone

$W(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3), \ a\in R/ \lbrace 0 \rbrace \\ W(x)=a(x+5)(x-5)(x-x_3)$
$24=a(1+5)(1-5)(1-x_3) \\ a\cdot6\cdot (-4)(1-x_3)=24 \\ -24a(1-x_3)=24/:(-24a) \\ 1-x_3=-\frac{1}{a} \\ -x_3=-\frac{1}{a}-1/\cdot(-1) \\ x_3=\frac{1}{a}+1 \\ x_3=\frac{a+1}{a}$
$W(x)=a(x-5)(x+5)(x-\frac{a+1}{a}), \ \ a\in R/ \lbrace 0 \rbrace$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Wiemy, że wielomian ma trzy pierwiastki. Dwa z nich znamy: są to liczby 5 i -5, gdyż z warunków zadania wynika, iż W(-5)=0 i W(5)=0. Oznaczmy trzeci z pierwiastków przez x₃.
Zgodnie z postacią iloczynową wielomianu możemy napisać:

$W(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\\ a\in R \\ a\neq 0 \\ x_1=-5 \\ x_2=5 \\ W(x)=a(x+5)(x-5)(x-x_3)$

Liczba a jest dowolną liczbą rzeczywistą, różną od zera. Z warunku zadania wynika, że dla x=1 wartość wielomianu jest równa 24. Wykorzystamy to, podstawiając za x liczbę 1 i za W(x) liczbę 24

$x=1 \\ W(1)=24 \\ 24=a(1+5)(1-5)(1-x_3) \\ a\cdot6\cdot (-4)(1-x_3)=24 \\ -24a(1-x_3)=24/:(-24a) \\ 1-x_3=-\frac{1}{a} \\ -x_3=-\frac{1}{a}-1/\cdot(-1) \\ x_3=\frac{1}{a}+1 \\ x_3=\frac{a+1}{a}$

Możemy więc napisać wzór wielomianu W(x):

$W(x)=a(x-5)(x+5)(x-\frac{a+1}{a})$

Jest to rozwiązanie naszego zadania. Zauważmy, że można utworzyć nieskończenie wiele wielomianów spełniających warunki zadania. Przykładem takiego wielomianu będzie:

lub

$W(x)=2(x-5)(x+5)(x-\frac{3}{2})$

albo

$W(x)=10000(x-5)(x+5)(x-\frac{10001}{10000})$ .

Odpowiedź

$W(x)=a(x-5)(x+5)(x-\frac{a+1}{a}), \ \ a\in R/ \lbrace 0 \rbrace$

Zadania podobne

Zadanie - iloczyn wielomianów
Wykonać mnożenie:
a)

i uporządkować oraz zredukować wynik względem zmiennej x.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.