Zadanie - wzory Viete'a i równanie kwadratowe
Treść zadania:
Suma kwadratów pierwiastków równania kwadratowego \(x^2+dx+1=0\) jest równa 7. Znaleźć rozwiązanie tego równania.
Rozwiązanie zadania
Skorzystamy za chwilę z wzorów Viete'a, przypomnijmy je sobie:
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
W naszych obliczeniach zamiast sumy pierwiastków mamy do czynienia z sumą kwadratów pierwiastków. Możemy jednak to zmienić stosując wzór skróconego mnożenia:
\(x_1^2+x_2^2=(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\)
Dodaliśmy i odjęliśmy tutaj ten sam czynnik, zmieniło to jednak na tyle postać wyrażenia, że możemy stosować wzory Viete'a.
\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-\frac{b}{a})^2-2\cdot \frac{c}{a}=\frac{b^2}{a^2}-\frac{2c}{a}=\)
Na podstawie postaci równania \(x^2+dx+1=0\) określamy współczynniki trójmianu: \(a=1, b=d, c=1\).
\(=\frac{d^2}{1^2}-\frac{2}{1}=d^2-2\)
Wiemy z treści zadania, że suma kwadratów pierwiastków jest równa 7, możemy więc zapisać, że:
\(d^2-2=7\)
\( d^2-9=0\)
\((d-3)(d+3)=0\)
\(d_1=3\) lub \(d_2=-3\)
Nasze równanie przyjmuje postać:
\(x^2-3x+1=0\) lub \(x^2+3x+1=0\)
Obliczamy wyróżnik pierwszego trójmianu oraz pierwiastki pierwszego równania:
\(\Delta_1=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 1=9-4=5\)
\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta_1}}{2a}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\)
\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta_1}}{2a} =\frac{3+\sqrt{5}}{2}\)
To samo robimy dla drugiego równania:
\(\Delta_2=b^2-4ac=3^2-4\cdot 1\cdot 1=9-4=5\)
\(x_3=\frac{-b-\sqrt{\Delta_2}}{2a}=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}\)
\(x_4=\frac{-b+\sqrt{\Delta_2}}{2a}=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}\)
Odpowiedź
\(x_1=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\)
\(x_2=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\)
\(x_3=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}\)
\(x_4=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}\)
© medianauka.pl, 2010-02-13, ZAD-606
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dla jakich wartości parametru \(m\) suma odwrotności pierwiastków równania \(x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0\) ma wartość ujemną?
Zadanie nr 2.
Kwadrat różnicy pierwiastków równania kwadratowego \(x^2-x+m=0\) jest równy 17. Znaleźć rozwiązanie tego równania.
Zadanie nr 3.
Znaleźć równanie kwadratowe, którego suma kwadratów pierwiastków jest równa \(\frac{17}{4}\), a suma odwrotności pierwiastków jest równa \(\frac{3}{2}\).
Zadanie nr 4.
Rozwiązać równanie kwadratowe \(x^2+mx-3=0\), jeśli wiadomo, że suma odwrotności pierwiastków równania jest równa 2.
Zadanie nr 5 — maturalne.
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1\). Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki \(x_1\), \(x_2\) tego samego znaku, spełniające warunek \(|x_1-x_2|<3\).
Zadanie nr 6 — maturalne.
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian \(f\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1, x_2\), spełniające warunek \(x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4\).
Zadanie nr 7 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(4x^2−6mx+(2m+ 3)(m− 3)=0\) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) i \(x_2\), przy czym \(x_1<x_2\), spełniające warunek \((4x_1-4x_2-1)(4x_1-4x_2+1)<0\).
Zadanie nr 8 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2 + (m+1)x−m^2+1=0\) ma dwa rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) i \(x_2\) \((x_1\neq x_2)\), spełniające warunek \(x^3_1+x^3_2>−7x_1x_2\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=(2m +1)x^2+(m+2)x+m−3\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1, x_2\), spełniające warunek \((x_1- x_2)^2+5x_1x_2 \geq 1\).
Zadanie nr 10 — maturalne.
Dane jest równanie kwadratowe \(x^2−(3m+2)x+2m^2+7m−15=0\) z niewiadomą \(x\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których różne rozwiązania \(x_1\) i \(x_2\)tego równania istnieją i spełniają warunek \(2x^2_1+5x_1x_2+2x^2_2=2\).
Zadanie nr 11 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2-(m+1)x+m=0\) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki: \(x_1\neq 0, x_2\neq 0\) oraz \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+2=\frac{1}{x_1^2} +\frac{1}{x_2^2}\).
Zadanie nr 12 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\neq 2\), dla których równanie
\(x^2+4x-\frac{m-3}{m-2}=0\)
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1, x_2\) spełniające warunek \(x_1^3+x_2^3>-28\). Zapisz obliczenia.