Nauka » Matematyka » Wzory Viete'a

Zadanie - wzory Viete'a i równanie kwadratowe

Suma kwadratów pierwiastków równania kwadratowego

jest równa 7. Znaleźć rozwiązanie tego równania.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-\frac{b}{a})^2-2\cdot \frac{c}{a}=\frac{b^2}{a^2}-\frac{2c}{a}=$
$=\frac{d^2}{1^2}-\frac{2}{1}=d^2-2$
$d^2-2=7 \\ d^2-9=0 \\ (d-3)(d+3)=0\\ d_1=3 \ lub \ d_2=-3$
$x^2-3x+1=0 \ \vee \ x^2+3x+1=0$
$\Delta_1=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 1=9-4=5\\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta_1}}{2a}=\frac{3-\sqrt{5}}{2} \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta_1}}{2a}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
$\Delta_2=b^2-4ac=3^2-4\cdot 1\cdot 1=9-4=5\\ x_3=\frac{-b-\sqrt{\Delta_2}}{2a}=\frac{-3-\sqrt{5}}{2} \\ x_4=\frac{-b+\sqrt{\Delta_2}}{2a}=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Skorzystamy za chwilę z wzorów Viete'a, przypomnijmy je sobie:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a} \\ x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$

W naszych obliczeniach zamiast sumy pierwiastków mamy do czynienia z sumą kwadratów pierwiastków. Możemy jednak to zmienić stosując wzór skróconego mnożenia:

Dodaliśmy i odjęliśmy tutaj ten sam czynnik, zmieniło to jednak na tyle postać wyrażenia, że możemy stosować wzory Viete'a.

$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-\frac{b}{a})^2-2\cdot \frac{c}{a}=\frac{b^2}{a^2}-\frac{2c}{a}=$ tło

Na podstawie postaci równania x²+dx+1=0 określamy współczynniki trójmianu: a=1, b=d, c=1

$=\frac{d^2}{1^2}-\frac{2}{1}=d^2-2$

Wiemy z treści zadania, że suma kwadratów pierwiastków jest równa 7, możemy więc zapisać, że:

$d^2-2=7 \\ d^2-9=0 \\ (d-3)(d+3)=0\\ d_1=3 \ lub \ d_2=-3$

Nasze równanie przyjmuje postać:

lub

Obliczamy wyróżnik pierwszego trójmianu oraz pierwiastki pierwszego równania:

$\Delta_1=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 1=9-4=5\\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta_1}}{2a}=\frac{3-\sqrt{5}}{2} \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta_1}}{2a}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$

To samo robimy dla drugiego równania:

$\Delta_2=b^2-4ac=3^2-4\cdot 1\cdot 1=9-4=5\\ x_3=\frac{-b-\sqrt{\Delta_2}}{2a}=\frac{-3-\sqrt{5}}{2} \\ x_4=\frac{-b+\sqrt{\Delta_2}}{2a}=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$

Odpowiedź

$x_1=\frac{3-\sqrt{5}}{2}, \ x_2=\frac{3+\sqrt{5}}{2}, \ x_3=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}, \ x_4=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$

Zadania podobne

Zadanie - równanie algebraiczne i kwadratowe z parametrem
Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania

ma wartość ujemną?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzory Viete'a i równanie kwadratowe
Kwadrat różnicy pierwiastków równania kwadratowego

jest równy 17. Znaleźć rozwiązanie tego równania.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzory Viete'a - zastosowanie w zadaniach
Znaleźć równanie kwadratowe, którego suma kwadratów pierwiastków jest równa $\frac{17}{4}$ a suma odwrotności pierwiastków jest równa $\frac{3}{2}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zastosowanie wzorów Viete'a
Rozwiązać równanie kwadratowe

jeśli wiadomo, że suma odwrotności pierwiastków równania jest równa 2.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 12, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Dany jest trójmian kwadratowy

. Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki x₁, x₂ tego samego znaku, spełniające warunek |x₁-x₂|<3.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 13, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Dany jest trójmian kwadratowy

. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x₁, x₂, spełniające warunek

.

Pokaż rozwiązanie zadania