Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie - wzory Viete'a i równanie kwadratowe


Suma kwadratów pierwiastków równania kwadratowego x^2+dx+1=0 jest równa 7. Znaleźć rozwiązanie tego równania.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-\frac{b}{a})^2-2\cdot \frac{c}{a}=\frac{b^2}{a^2}-\frac{2c}{a}=
=\frac{d^2}{1^2}-\frac{2}{1}=d^2-2
d^2-2=7 \\ d^2-9=0 \\ (d-3)(d+3)=0\\ d_1=3 \ lub \ d_2=-3
x^2-3x+1=0 \ \vee \ x^2+3x+1=0
\Delta_1=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 1=9-4=5\\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta_1}}{2a}=\frac{3-\sqrt{5}}{2} \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta_1}}{2a}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}
\Delta_2=b^2-4ac=3^2-4\cdot 1\cdot 1=9-4=5\\ x_3=\frac{-b-\sqrt{\Delta_2}}{2a}=\frac{-3-\sqrt{5}}{2} \\ x_4=\frac{-b+\sqrt{\Delta_2}}{2a}=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Skorzystamy za chwilę z wzorów Viete'a, przypomnijmy je sobie:

x_1+x_2=-\frac{b}{a} \\ x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}

W naszych obliczeniach zamiast sumy pierwiastków mamy do czynienia z sumą kwadratów pierwiastków. Możemy jednak to zmienić stosując wzór skróconego mnożenia:

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

x_1^2+x_2^2=(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2 tło tło

Dodaliśmy i odjęliśmy tutaj ten sam czynnik, zmieniło to jednak na tyle postać wyrażenia, że możemy stosować wzory Viete'a.

x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-\frac{b}{a})^2-2\cdot \frac{c}{a}=\frac{b^2}{a^2}-\frac{2c}{a}= tło tło tło tło

Na podstawie postaci równania x2+dx+1=0 określamy współczynniki trójmianu: a=1, b=d, c=1

=\frac{d^2}{1^2}-\frac{2}{1}=d^2-2

Wiemy z treści zadania, że suma kwadratów pierwiastków jest równa 7, możemy więc zapisać, że:

d^2-2=7 \\ d^2-9=0 \\ (d-3)(d+3)=0\\ d_1=3 \ lub \ d_2=-3

Nasze równanie przyjmuje postać:

x^2-3x+1=0

lub

x^2+3x+1=0

Obliczamy wyróżnik pierwszego trójmianu oraz pierwiastki pierwszego równania:

\Delta_1=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 1=9-4=5\\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta_1}}{2a}=\frac{3-\sqrt{5}}{2} \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta_1}}{2a}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}

To samo robimy dla drugiego równania:

\Delta_2=b^2-4ac=3^2-4\cdot 1\cdot 1=9-4=5\\ x_3=\frac{-b-\sqrt{\Delta_2}}{2a}=\frac{-3-\sqrt{5}}{2} \\ x_4=\frac{-b+\sqrt{\Delta_2}}{2a}=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}

ksiązki Odpowiedź

x_1=\frac{3-\sqrt{5}}{2}, \ x_2=\frac{3+\sqrt{5}}{2}, \ x_3=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}, \ x_4=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}

© medianauka.pl, 2010-02-13, ZAD-606





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.