Nauka » Matematyka » Wzory Viete'a

Zadanie - wzory Viete'a i równanie kwadratowe

Kwadrat różnicy pierwiastków równania kwadratowego

jest równy 17. Znaleźć rozwiązanie tego równania.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$(x_1-x_2)^2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2-2x_1_x2=\\ =(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(-\frac{b}{a})^2-4\cdot \frac{c}{a}=\frac{b^2}{a^2}-\frac{4c}{a}=$
$=\frac{(-1)^2}{1^2}-\frac{4m}{1}=1-4m$
$1-4m=17 \\ -4m=17-1 \\ -4m=16/:(-4)\\ m=-4$

$\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-4)=1+16=17\\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1-\sqrt{17}}{2} \\ x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Z warunków zadania wynika, że kwadrat różnicy pierwiastków równania jest równy 17, czyli:

Skorzystaliśmy tutaj ze wzoru skróconego mnożenia:

Skorzystamy za chwilę z wzorów Viete'a:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a} \\ x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$

W naszych obliczeniach jednak zamiast sumy pierwiastków mamy do czynienia z sumą kwadratów pierwiastków. Możemy jednak to zmienić ponownie stosując wzór skróconego mnożenia:

Dodaliśmy i odjęliśmy tutaj ten sam czynnik, zmieniło to jednak na tyle postać wyrażenia, że możemy stosować wzory Viete'a. Wstawiamy powyższe wyrażenie do naszego wzoru:

$(x_1-x_2)^2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2-2x_1_x2=\\ =(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(-\frac{b}{a})^2-4\cdot \frac{c}{a}=\frac{b^2}{a^2}-\frac{4c}{a}=$ tło

Na podstawie postaci równania x²-x+m=0 określamy współczynniki: a=1, b=-1, c=m

$=\frac{(-1)^2}{1^2}-\frac{4m}{1}=1-4m$

Wiemy z treści zadania, że kwadrat różnicy pierwiastków jest równy 17, możemy więc zapisać, że:

$1-4m=17 \\ -4m=17-1 \\ -4m=16/:(-4)\\ m=-4$

Nasze równanie przyjmuje postać:

Obliczamy wyróżnik trójmianu oraz pierwiastki:

$\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-4)=1+16=17\\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1-\sqrt{17}}{2} \\ x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$