Nauka » Matematyka » Wzory Viete'a

Zadanie - wzory Viete'a i równanie kwadratowe

Kwadrat różnicy pierwiastków równania kwadratowego

jest równy 17. Znaleźć rozwiązanie tego równania.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$(x_1-x_2)^2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2-2x_1_x2=\\ =(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(-\frac{b}{a})^2-4\cdot \frac{c}{a}=\frac{b^2}{a^2}-\frac{4c}{a}=$
$=\frac{(-1)^2}{1^2}-\frac{4m}{1}=1-4m$
$1-4m=17 \\ -4m=17-1 \\ -4m=16/:(-4)\\ m=-4$

$\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-4)=1+16=17\\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1-\sqrt{17}}{2} \\ x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Z warunków zadania wynika, że kwadrat różnicy pierwiastków równania jest równy 17, czyli:

Skorzystaliśmy tutaj ze wzoru skróconego mnożenia:

Skorzystamy za chwilę z wzorów Viete'a:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a} \\ x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$

W naszych obliczeniach jednak zamiast sumy pierwiastków mamy do czynienia z sumą kwadratów pierwiastków. Możemy jednak to zmienić ponownie stosując wzór skróconego mnożenia:

Dodaliśmy i odjęliśmy tutaj ten sam czynnik, zmieniło to jednak na tyle postać wyrażenia, że możemy stosować wzory Viete'a. Wstawiamy powyższe wyrażenie do naszego wzoru:

$(x_1-x_2)^2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2-2x_1_x2=\\ =(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(-\frac{b}{a})^2-4\cdot \frac{c}{a}=\frac{b^2}{a^2}-\frac{4c}{a}=$ tło

Na podstawie postaci równania x²-x+m=0 określamy współczynniki: a=1, b=-1, c=m

$=\frac{(-1)^2}{1^2}-\frac{4m}{1}=1-4m$

Wiemy z treści zadania, że kwadrat różnicy pierwiastków jest równy 17, możemy więc zapisać, że:

$1-4m=17 \\ -4m=17-1 \\ -4m=16/:(-4)\\ m=-4$

Nasze równanie przyjmuje postać:

Obliczamy wyróżnik trójmianu oraz pierwiastki:

$\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-4)=1+16=17\\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1-\sqrt{17}}{2} \\ x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$

Odpowiedź

$x_1=\frac{1-\sqrt{17}}{2}, \ x_2=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$

Zadania podobne

Zadanie - równanie algebraiczne i kwadratowe z parametrem
Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0

ma wartość ujemną?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzory Viete'a i równanie kwadratowe
Suma kwadratów pierwiastków równania kwadratowego

jest równa 7. Znaleźć rozwiązanie tego równania.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzory Viete'a - zastosowanie w zadaniach
Znaleźć równanie kwadratowe, którego suma kwadratów pierwiastków jest równa $\frac{17}{4}$ a suma odwrotności pierwiastków jest równa $\frac{3}{2}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zastosowanie wzorów Viete'a
Rozwiązać równanie kwadratowe

jeśli wiadomo, że suma odwrotności pierwiastków równania jest równa 2.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 12, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Dany jest trójmian kwadratowy

. Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki x₁, x₂ tego samego znaku, spełniające warunek |x₁-x₂|<3.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 13, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Dany jest trójmian kwadratowy

. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x₁, x₂, spełniające warunek

.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 3, matura 2017 (poziom rozszerzony)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie 4x²−6mx+(2m+ 3)(m− 3)=0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x₁ i x₂, przy czym x₁<x₂, spełniające warunek (4x₁-4x₂-1)(4x₁-4x₂+1)<0.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 9, matura 2018 (poziom rozszerzony)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x² + (m+1)x−m²+1=0 ma dwa rozwiązania rzeczywiste x₁ i x₂ (x₁≠x₂), spełniające warunek x³₁+x³₂> −7x₁x₂ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 9, matura 2019 - poziom rozszerzony

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja kwadratowa f określona wzorem f(x) = (2m +1)x² + (m + 2)x + m −3 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x₁, x₂ spełniające warunek ( (x₁- x₂)² +5x₁x₂ ≥ 1.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 11, matura 2020 - poziom rozszerzony

Dane jest równanie kwadratowe x² − (3m + 2) x + 2m² + 7m−15 = 0 z niewiadomą x. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których różne rozwiązania x₁ i x₂ tego równania istnieją i spełniają warunek 2x₁² + 5x₁x₂+2x₂² = 2.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.