Zadanie — wzory Viete'a i równanie kwadratowe
Treść zadania:
Kwadrat różnicy pierwiastków równania kwadratowego \(x^2-x+m=0\) jest równy 17. Znaleźć rozwiązanie tego równania.
Rozwiązanie zadania
Z warunków zadania wynika, że kwadrat różnicy pierwiastków równania jest równy 17, czyli:
\((x_1-x_2)^2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2\)
Skorzystaliśmy tutaj ze wzoru skróconego mnożenia:
Skorzystamy za chwilę z wzorów Viete'a:
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
W naszych obliczeniach jednak zamiast sumy pierwiastków mamy do czynienia z sumą kwadratów pierwiastków. Możemy jednak to zmienić ponownie stosując wzór skróconego mnożenia:
\(x_1^2+x_2^2=(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\)
Dodaliśmy i odjęliśmy tutaj ten sam czynnik, zmieniło to jednak na tyle postać wyrażenia, że możemy stosować wzory Viete'a. Wstawiamy powyższe wyrażenie do naszego wzoru:
\((x_1-x_2)^2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=\) \(=(x_1+x_2)^2-2x_1 x_2-2x_1x2=\)
\(=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(-\frac{b}{a})^2-4\cdot \frac{c}{a}=\) \(=\frac{b^2}{a^2}-\frac{4c}{a}=\)
Na podstawie postaci równania \(x^2-x+m=0\) określamy współczynniki: \(a=1, b=-1, c=m\).
\(=\frac{(-1)^2}{1^2}-\frac{4m}{1}=1-4m\)
Wiemy z treści zadania, że kwadrat różnicy pierwiastków jest równy 17, możemy więc zapisać, że:
\(1-4m=17\)
\(-4m=17-1\)
\(-4m=16/:(-4)\)
\(m=-4\)
Nasze równanie przyjmuje postać:
\(x^2-x-4=0\)
Obliczamy wyróżnik trójmianu oraz pierwiastki:
\(\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-4)=1+16=17\)
\( x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1-\sqrt{17}}{2}\)
\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} =\frac{1+\sqrt{17}}{2}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-02-13, ZAD-605
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dla jakich wartości parametru \(m\) suma odwrotności pierwiastków równania \(x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0\) ma wartość ujemną?
Zadanie nr 2.
Suma kwadratów pierwiastków równania kwadratowego \(x^2+dx+1=0\) jest równa 7. Znaleźć rozwiązanie tego równania.
Zadanie nr 3.
Znaleźć równanie kwadratowe, którego suma kwadratów pierwiastków jest równa \(\frac{17}{4}\), a suma odwrotności pierwiastków jest równa \(\frac{3}{2}\).
Zadanie nr 4.
Rozwiązać równanie kwadratowe \(x^2+mx-3=0\), jeśli wiadomo, że suma odwrotności pierwiastków równania jest równa 2.
Zadanie nr 5 — maturalne.
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1\). Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki \(x_1\), \(x_2\) tego samego znaku, spełniające warunek \(|x_1-x_2|<3\).
Zadanie nr 6 — maturalne.
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian \(f\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1, x_2\), spełniające warunek \(x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4\).
Zadanie nr 7 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(4x^2−6mx+(2m+ 3)(m− 3)=0\) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) i \(x_2\), przy czym \(x_1<x_2\), spełniające warunek \((4x_1-4x_2-1)(4x_1-4x_2+1)<0\).
Zadanie nr 8 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2 + (m+1)x−m^2+1=0\) ma dwa rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) i \(x_2\) \((x_1\neq x_2)\), spełniające warunek \(x^3_1+x^3_2>−7x_1x_2\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=(2m +1)x^2+(m+2)x+m−3\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1, x_2\), spełniające warunek \((x_1- x_2)^2+5x_1x_2 \geq 1\).
Zadanie nr 10 — maturalne.
Dane jest równanie kwadratowe \(x^2−(3m+2)x+2m^2+7m−15=0\) z niewiadomą \(x\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których różne rozwiązania \(x_1\) i \(x_2\)tego równania istnieją i spełniają warunek \(2x^2_1+5x_1x_2+2x^2_2=2\).
Zadanie nr 11 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2-(m+1)x+m=0\) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki: \(x_1\neq 0, x_2\neq 0\) oraz \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+2=\frac{1}{x_1^2} +\frac{1}{x_2^2}\).
Zadanie nr 12 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\neq 2\), dla których równanie
\(x^2+4x-\frac{m-3}{m-2}=0\)
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1, x_2\) spełniające warunek \(x_1^3+x_2^3>-28\). Zapisz obliczenia.