Logo Media Nauka

Zadanie - wzory Viete'a i równanie kwadratowe

Kwadrat różnicy pierwiastków równania kwadratowego x^2-x+m=0 jest równy 17. Znaleźć rozwiązanie tego równania.

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

(x_1-x_2)^2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2-2x_1_x2=\\ =(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(-\frac{b}{a})^2-4\cdot \frac{c}{a}=\frac{b^2}{a^2}-\frac{4c}{a}=
=\frac{(-1)^2}{1^2}-\frac{4m}{1}=1-4m
1-4m=17 \\ -4m=17-1 \\ -4m=16/:(-4)\\ m=-4
x^2-x-4=0
\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-4)=1+16=17\\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1-\sqrt{17}}{2} \\ x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1+\sqrt{17}}{2}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Z warunków zadania wynika, że kwadrat różnicy pierwiastków równania jest równy 17, czyli:

(x_1-x_2)^2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2

Skorzystaliśmy tutaj ze wzoru skróconego mnożenia:

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

Skorzystamy za chwilę z wzorów Viete'a:

x_1+x_2=-\frac{b}{a} \\ x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}

W naszych obliczeniach jednak zamiast sumy pierwiastków mamy do czynienia z sumą kwadratów pierwiastków. Możemy jednak to zmienić ponownie stosując wzór skróconego mnożenia:

x_1^2+x_2^2=(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2 tło tło tło

Dodaliśmy i odjęliśmy tutaj ten sam czynnik, zmieniło to jednak na tyle postać wyrażenia, że możemy stosować wzory Viete'a. Wstawiamy powyższe wyrażenie do naszego wzoru:

(x_1-x_2)^2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2-2x_1_x2=\\ =(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(-\frac{b}{a})^2-4\cdot \frac{c}{a}=\frac{b^2}{a^2}-\frac{4c}{a}= tło tło tło tło tło tło tło

Na podstawie postaci równania x2-x+m=0 określamy współczynniki: a=1, b=-1, c=m

=\frac{(-1)^2}{1^2}-\frac{4m}{1}=1-4m

Wiemy z treści zadania, że kwadrat różnicy pierwiastków jest równy 17, możemy więc zapisać, że:

1-4m=17 \\ -4m=17-1 \\ -4m=16/:(-4)\\ m=-4

Nasze równanie przyjmuje postać:

x^2-x-4=0

Obliczamy wyróżnik trójmianu oraz pierwiastki:

\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-4)=1+16=17\\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1-\sqrt{17}}{2} \\ x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1+\sqrt{17}}{2}

ksiązki Odpowiedź

x_1=\frac{1-\sqrt{17}}{2}, \ x_2=\frac{1+\sqrt{17}}{2}

© medianauka.pl, 2010-02-13, ZAD-605



Zadania podobne

kulkaZadanie - równanie algebraiczne i kwadratowe z parametrem
Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania x^2-2(m+1)+(m^2+3m-18)=0 ma wartość ujemną?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wzory Viete'a i równanie kwadratowe
Suma kwadratów pierwiastków równania kwadratowego x^2+dx+1=0 jest równa 7. Znaleźć rozwiązanie tego równania.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wzory Viete'a - zastosowanie w zadaniach
Znaleźć równanie kwadratowe, którego suma kwadratów pierwiastków jest równa \frac{17}{4} a suma odwrotności pierwiastków jest równa \frac{3}{2}.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zastosowanie wzorów Viete'a
Rozwiązać równanie kwadratowe x^2+mx-3=0 jeśli wiadomo, że suma odwrotności pierwiastków równania jest równa 2.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 12, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Dany jest trójmian kwadratowy f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1. Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki x1, x2 tego samego znaku, spełniające warunek |x1-x2|<3.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 13, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Dany jest trójmian kwadratowy f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1, x2, spełniające warunek x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4.

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.