Zadanie - wzory Viete'a i równanie kwadratowe

Rozwiązanie zadania uproszczone





Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Z warunków zadania wynika, że kwadrat różnicy pierwiastków równania jest równy 17, czyli:

Skorzystaliśmy tutaj ze wzoru skróconego mnożenia:

Skorzystamy za chwilę z wzorów Viete'a:

W naszych obliczeniach jednak zamiast sumy pierwiastków mamy do czynienia z sumą kwadratów pierwiastków. Możemy jednak to zmienić ponownie stosując wzór skróconego mnożenia:




Dodaliśmy i odjęliśmy tutaj ten sam czynnik, zmieniło to jednak na tyle postać wyrażenia, że możemy stosować wzory Viete'a. Wstawiamy powyższe wyrażenie do naszego wzoru:








Na podstawie postaci równania x2-x+m=0 określamy współczynniki: a=1, b=-1, c=m

Wiemy z treści zadania, że kwadrat różnicy pierwiastków jest równy 17, możemy więc zapisać, że:

Nasze równanie przyjmuje postać:

Obliczamy wyróżnik trójmianu oraz pierwiastki:

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2010-02-13, ZAD-605
Zadania podobne

Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania

Pokaż rozwiązanie zadania

Suma kwadratów pierwiastków równania kwadratowego

Pokaż rozwiązanie zadania

Znaleźć równanie kwadratowe, którego suma kwadratów pierwiastków jest równa


Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać równanie kwadratowe

Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest trójmian kwadratowy

Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest trójmian kwadratowy


Pokaż rozwiązanie zadania

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie 4x2−6mx+(2m+ 3)(m− 3)=0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x1 i x2, przy czym x1<x2, spełniające warunek (4x1-4x2-1)(4x1-4x2+1)<0.
Pokaż rozwiązanie zadania

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x2 + (m+1)x−m2+1=0 ma dwa rozwiązania rzeczywiste x1 i x2 (x1≠x2), spełniające warunek x31+x32> −7x1x2 .
Pokaż rozwiązanie zadania

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja kwadratowa f określona wzorem f(x) = (2m +1)x2 + (m + 2)x + m −3 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1, x2 spełniające warunek ( (x1- x2)2 +5x1x2 ≥ 1.
Pokaż rozwiązanie zadania

Dane jest równanie kwadratowe x2 − (3m + 2) x + 2m2 + 7m−15 = 0 z niewiadomą x. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których różne rozwiązania x1 i x2 tego równania istnieją i spełniają warunek 2x12 + 5x1x2+2x22 = 2.
Pokaż rozwiązanie zadania