Strona główna » Matematyka » Wzory Viete'a

Zadanie - wzory Viete'a - zastosowanie w zadaniach

Znaleźć równanie kwadratowe, którego suma kwadratów pierwiastków jest równa $\frac{17}{4}$ a suma odwrotności pierwiastków jest równa $\frac{3}{2}$ .

Rozwiązanie zadania uproszczone

Szukamy równania w postaci:
$ax^2+bx+c=0, \ a\neq 0$
$x_1^2+x_2^2=\frac{17}{4}\\ x_1^2+x_2^2=(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2 \\ (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\frac{17}{4}$
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{3}{2}\\ \frac{x_2}{x_1x_2}+\frac{x_1}{x_1x_2}=\frac{3}{2} \\ \frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{3}{2}/\cdot x_1x_2 (x_1\neq 0, \ x_2\neq 0)\\ x_1+x_2=\frac{3}{2}x_1x_2/ \cdot \frac{2}{3}\\ x_1x_2=\frac{2}{3}(x_1+x_2)$
$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\frac{17}{4}\\ (x_1+x_2)^2-2\cdot \frac{2}{3}(x_1+x_2)=\frac{17}{4}\\ (x_1+x_2)^2-\frac{4}{3}(x_1+x_2)=\frac{17}{4}$

$?x_1+x_2=t\\ t^2-\frac{4}{3}t=\frac{17}{4}/\cdot 12 \\ 12t^2-4\cdot 4t=3\cdot 17 \\ 12t^2-16t-51=0 \\ \Delta=(-16^2)-4\cdot 12\cdot (-51)=\\ =256+2448=2704\\ t_1=\frac{16-52}{24}=\frac{-36}{24}=-\frac{3}{2}\\ t_2=\frac{16+52}{24}=\frac{68}{24}=\frac{17}{4}$

Przypadek 1
$t=-\frac{3}{2}\\ x_1+x_2=-\frac{3}{2}\\ -\frac{b}{a}=-\frac{3}{2}/\cdot (-a) \\ b=\frac{3}{2}a$
$ax^2+bx+c=0 \\ ax^2+\frac{3}{2}ax+c=0$
$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{3}{2} \\ \frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=\frac{3}{2} \\ -\frac{b}{\cancel{a}}\cdot \frac{\cancel{a}}{c}=\frac{3}{2}\\ -\frac{b}{c}=\frac{3}{2} \\ -\frac{\frac{3}{2}a}{c}=\frac{3}{2}/:(-\frac{3}{2}) \\ \frac{a}{c}=-1 \\ \frac{a}{c}+1=0 \\ \frac{a}{c}+\frac{c}{c}=0 \\ \frac{a+c}{c}=0 \\ a+c=0 \\ a=-c$
$ax^2+bx+c=0 \\ ax^2+\frac{3}{2}ax-a=0/:a (a\neq 0)\\ x^2+\frac{3}{2}x-1=0$

Przypadek 2
$t=\frac{17}{4}\\ x_1+x_2=\frac{17}{4}\\ -\frac{b}{a}=\frac{17}{4}/\cdot (-a) \\ b=-\frac{17}{4}a$
$ax^2+bx+c=0 \\ ax^2-\frac{17}{4}ax+c=0$
$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{3}{2} \\ \frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=\frac{3}{2} \\ -\frac{b}{\cancel{a}}\cdot \frac{\cancel{a}}{c}=\frac{3}{2}\\ -\frac{b}{c}=\frac{3}{2} \\ -\frac{-\frac{17}{4}a}{c}=\frac{3}{2}/\cdot 4 \\ \frac{17a}{c}=6 \\ \frac{17a}{c}-6=0 \\ \frac{17a}{c}-\frac{6c}{c}=0 \\ \frac{17a-6c}{c}=0 \\ 17a-6c=0 \\ 6c=17a/:6 \\ c=\frac{17}{6}c$
$ax^2+bx+c=0 \\ ax^2-\frac{17}{4}ax+\frac{17}{6}a=0/:a (a\neq 0)\\ x^2-\frac{17}{4}x+\frac{17}{6}=0$

Mamy dwa równania, które spełniają warunki zadania:
$x^2+\frac{3}{2}x-1=0 \ lub \ x^2-\frac{17}{4}x+\frac{17}{6}=0$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Szukamy równania w postaci:

$ax^2+bx+c=0, \ a\neq 0$

Musimy znaleźć wartości współczynników a, b, c. Założyliśmy, że a jest różne od zera, gdyż tylko wtedy mamy do czynienia z równaniem kwadratowym.

Skorzystamy ze wzorów Viete'a:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a} \\ x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$

W warunkach zadania zamiast sumy pierwiastków mamy do czynienia z sumą kwadratów pierwiastków. Możemy jednak to zmienić stosując wzór skróconego mnożenia:

$x_1^2+x_2^2=\frac{17}{4}\\ x_1^2+x_2^2=(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2 \\ (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\frac{17}{4}$ tło

Dodaliśmy i odjęliśmy tutaj ten sam czynnik, co wolno nam zrobić, aby otrzymać zdanie równoważne.

Skorzystajmy teraz z drugiego warunku zadania:

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{3}{2}\\ \frac{x_2}{x_1x_2}+\frac{x_1}{x_1x_2}=\frac{3}{2} \\ \frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{3}{2}/\cdot x_1x_2 (x_1\neq 0, \ x_2\neq 0)\\ x_1+x_2=\frac{3}{2}x_1x_2/ \cdot \frac{2}{3}\\ x_1x_2=\frac{2}{3}(x_1+x_2)$ tło

Zauważmy, że warunki zadania określają odwrotności pierwiastków równania, czyli wykluczony jest przypadek, gdy choćby jeden z pierwiastków jest równy zeru.

Wyznaczoną wartość iloczynu pierwiastków wstawiamy do wzoru na sumę kwadratu pierwiastków (kolor niebieski)

$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\frac{17}{4}\\ (x_1+x_2)^2-2\cdot \frac{2}{3}(x_1+x_2)=\frac{17}{4}\\ (x_1+x_2)^2-\frac{4}{3}(x_1+x_2)=\frac{17}{4}$ tło

Zastosujemy teraz podstawienie:

$x_1+x_2=t\\ t^2-\frac{4}{3}t=\frac{17}{4}/\cdot 12 \\ 12t^2-4\cdot 4t=3\cdot 17 \\ 12t^2-16t-51=0 \\ a=12 \\ b=-16 \\ c=-51 \\ \Delta=b^2-4ac=(-16^2)-4\cdot 12\cdot (-51)=\\ =256+2448=2704\\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{2704}=52\\ t_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{16-52}{24}=\frac{-36}{24}=-\frac{3}{2}\\ t_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{16+52}{24}=\frac{68}{24}=\frac{17}{4}$

Mamy więc dwa przypadki:

Przypadek 1

Zastosujemy tutaj pierwszy wzór Viete'a.

$t=-\frac{3}{2}\\ x_1+x_2=-\frac{3}{2}\\ -\frac{b}{a}=-\frac{3}{2}/\cdot (-a) \\ b=\frac{3}{2}a$

Nasze równanie przyjmuje postać:

$ax^2+bx+c=0 \\ ax^2+\frac{3}{2}ax+c=0$

Musimy jeszcze wyrazić współczynnik c za pomocą współczynnika a. Skorzystamy z drugiego warunku zadania oraz obu wzorów Viete'a:

$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{3}{2} \\ \frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=\frac{3}{2} \\ -\frac{b}{\cancel{a}}\cdot \frac{\cancel{a}}{c}=\frac{3}{2}\\ -\frac{b}{c}=\frac{3}{2} \\ -\frac{\frac{3}{2}a}{c}=\frac{3}{2}/:(-\frac{3}{2}) \\ \frac{a}{c}=-1 \\ \frac{a}{c}+1=0 \\ \frac{a}{c}+\frac{c}{c}=0 \\ \frac{a+c}{c}=0 \\ a+c=0 \\ a=-c$ tło

Nasze równanie przyjmuje postać:

$ax^2+bx+c=0 \\ ax^2+\frac{3}{2}ax-a=0/:a (a\neq 0)\\ x^2+\frac{3}{2}x-1=0$

Przypadek 2

$t=\frac{17}{4}\\ x_1+x_2=\frac{17}{4}\\ -\frac{b}{a}=\frac{17}{4}/\cdot (-a) \\ b=-\frac{17}{4}a$

Nasze równanie przyjmuje postać:

$ax^2+bx+c=0 \\ ax^2-\frac{17}{4}ax+c=0$

Musimy jeszcze wyrazić współczynnik c za pomocą współczynnika a. Skorzystamy z drugiego warunku zadania oraz obu wzorów Viete'a:

$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{3}{2} \\ \frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=\frac{3}{2} \\ -\frac{b}{\cancel{a}}\cdot \frac{\cancel{a}}{c}=\frac{3}{2}\\ -\frac{b}{c}=\frac{3}{2} \\ -\frac{-\frac{17}{4}a}{c}=\frac{3}{2}/\cdot 4 \\ \frac{17a}{c}=6 \\ \frac{17a}{c}-6=0 \\ \frac{17a}{c}-\frac{6c}{c}=0 \\ \frac{17a-6c}{c}=0 \\ 17a-6c=0 \\ 6c=17a/:6 \\ c=\frac{17}{6}c$ tło

Nasze równanie przyjmuje postać:

$ax^2+bx+c=0 \\ ax^2-\frac{17}{4}ax+\frac{17}{6}a=0/:a (a\neq 0)\\ x^2-\frac{17}{4}x+\frac{17}{6}=0$

Mamy więc dwa równania, które spełniają warunki zadania: