Zadanie - wzory Viete'a - zastosowanie w zadaniach


Rozwiązanie zadania uproszczone
Szukamy równania w postaci:




Przypadek 1




Przypadek 2




Mamy dwa równania, które spełniają warunki zadania:

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Szukamy równania w postaci:

Musimy znaleźć wartości współczynników a, b, c. Założyliśmy, że a jest różne od zera, gdyż tylko wtedy mamy do czynienia z równaniem kwadratowym.
Skorzystamy ze wzorów Viete'a:

W warunkach zadania zamiast sumy pierwiastków mamy do czynienia z sumą kwadratów pierwiastków. Możemy jednak to zmienić stosując wzór skróconego mnożenia:





Dodaliśmy i odjęliśmy tutaj ten sam czynnik, co wolno nam zrobić, aby otrzymać zdanie równoważne.
Skorzystajmy teraz z drugiego warunku zadania:


Zauważmy, że warunki zadania określają odwrotności pierwiastków równania, czyli wykluczony jest przypadek, gdy choćby jeden z pierwiastków jest równy zeru.
Wyznaczoną wartość iloczynu pierwiastków wstawiamy do wzoru na sumę kwadratu pierwiastków (kolor niebieski)



Zastosujemy teraz podstawienie:

Mamy więc dwa przypadki:
Przypadek 1
Zastosujemy tutaj pierwszy wzór Viete'a.

Nasze równanie przyjmuje postać:

Musimy jeszcze wyrazić współczynnik c za pomocą współczynnika a. Skorzystamy z drugiego warunku zadania oraz obu wzorów Viete'a:



Nasze równanie przyjmuje postać:

Przypadek 2

Nasze równanie przyjmuje postać:

Musimy jeszcze wyrazić współczynnik c za pomocą współczynnika a. Skorzystamy z drugiego warunku zadania oraz obu wzorów Viete'a:



Nasze równanie przyjmuje postać:

Mamy więc dwa równania, które spełniają warunki zadania:
Odpowiedź

© medianauka.pl, 2010-02-13, ZAD-607
Zadania podobne

Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania

Pokaż rozwiązanie zadania

Kwadrat różnicy pierwiastków równania kwadratowego

Pokaż rozwiązanie zadania

Suma kwadratów pierwiastków równania kwadratowego

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać równanie kwadratowe

Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest trójmian kwadratowy

Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest trójmian kwadratowy


Pokaż rozwiązanie zadania

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie 4x2−6mx+(2m+ 3)(m− 3)=0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x1 i x2, przy czym x1<x2, spełniające warunek (4x1-4x2-1)(4x1-4x2+1)<0.
Pokaż rozwiązanie zadania

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x2 + (m+1)x−m2+1=0 ma dwa rozwiązania rzeczywiste x1 i x2 (x1≠x2), spełniające warunek x31+x32> −7x1x2 .
Pokaż rozwiązanie zadania