Nauka » Matematyka » Wzory Viete'a

Zadanie - wzory Viete'a - zastosowanie w zadaniach

Znaleźć równanie kwadratowe, którego suma kwadratów pierwiastków jest równa $\frac{17}{4}$ a suma odwrotności pierwiastków jest równa $\frac{3}{2}$ .

Rozwiązanie zadania uproszczone

Szukamy równania w postaci:
$ax^2+bx+c=0, \ a\neq 0$
$x_1^2+x_2^2=\frac{17}{4}\\ x_1^2+x_2^2=(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2 \\ (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\frac{17}{4}$
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{3}{2}\\ \frac{x_2}{x_1x_2}+\frac{x_1}{x_1x_2}=\frac{3}{2} \\ \frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{3}{2}/\cdot x_1x_2 (x_1\neq 0, \ x_2\neq 0)\\ x_1+x_2=\frac{3}{2}x_1x_2/ \cdot \frac{2}{3}\\ x_1x_2=\frac{2}{3}(x_1+x_2)$
$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\frac{17}{4}\\ (x_1+x_2)^2-2\cdot \frac{2}{3}(x_1+x_2)=\frac{17}{4}\\ (x_1+x_2)^2-\frac{4}{3}(x_1+x_2)=\frac{17}{4}$

$?x_1+x_2=t\\ t^2-\frac{4}{3}t=\frac{17}{4}/\cdot 12 \\ 12t^2-4\cdot 4t=3\cdot 17 \\ 12t^2-16t-51=0 \\ \Delta=(-16^2)-4\cdot 12\cdot (-51)=\\ =256+2448=2704\\ t_1=\frac{16-52}{24}=\frac{-36}{24}=-\frac{3}{2}\\ t_2=\frac{16+52}{24}=\frac{68}{24}=\frac{17}{4}$

Przypadek 1
$t=-\frac{3}{2}\\ x_1+x_2=-\frac{3}{2}\\ -\frac{b}{a}=-\frac{3}{2}/\cdot (-a) \\ b=\frac{3}{2}a$
$ax^2+bx+c=0 \\ ax^2+\frac{3}{2}ax+c=0$
$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{3}{2} \\ \frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=\frac{3}{2} \\ -\frac{b}{\cancel{a}}\cdot \frac{\cancel{a}}{c}=\frac{3}{2}\\ -\frac{b}{c}=\frac{3}{2} \\ -\frac{\frac{3}{2}a}{c}=\frac{3}{2}/:(-\frac{3}{2}) \\ \frac{a}{c}=-1 \\ \frac{a}{c}+1=0 \\ \frac{a}{c}+\frac{c}{c}=0 \\ \frac{a+c}{c}=0 \\ a+c=0 \\ a=-c$
$ax^2+bx+c=0 \\ ax^2+\frac{3}{2}ax-a=0/:a (a\neq 0)\\ x^2+\frac{3}{2}x-1=0$

Przypadek 2
$t=\frac{17}{4}\\ x_1+x_2=\frac{17}{4}\\ -\frac{b}{a}=\frac{17}{4}/\cdot (-a) \\ b=-\frac{17}{4}a$
$ax^2+bx+c=0 \\ ax^2-\frac{17}{4}ax+c=0$
$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{3}{2} \\ \frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=\frac{3}{2} \\ -\frac{b}{\cancel{a}}\cdot \frac{\cancel{a}}{c}=\frac{3}{2}\\ -\frac{b}{c}=\frac{3}{2} \\ -\frac{-\frac{17}{4}a}{c}=\frac{3}{2}/\cdot 4 \\ \frac{17a}{c}=6 \\ \frac{17a}{c}-6=0 \\ \frac{17a}{c}-\frac{6c}{c}=0 \\ \frac{17a-6c}{c}=0 \\ 17a-6c=0 \\ 6c=17a/:6 \\ c=\frac{17}{6}c$
$ax^2+bx+c=0 \\ ax^2-\frac{17}{4}ax+\frac{17}{6}a=0/:a (a\neq 0)\\ x^2-\frac{17}{4}x+\frac{17}{6}=0$

Mamy dwa równania, które spełniają warunki zadania:
$x^2+\frac{3}{2}x-1=0 \ lub \ x^2-\frac{17}{4}x+\frac{17}{6}=0$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Szukamy równania w postaci:

$ax^2+bx+c=0, \ a\neq 0$

Musimy znaleźć wartości współczynników a, b, c. Założyliśmy, że a jest różne od zera, gdyż tylko wtedy mamy do czynienia z równaniem kwadratowym.

Skorzystamy ze wzorów Viete'a:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a} \\ x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$

W warunkach zadania zamiast sumy pierwiastków mamy do czynienia z sumą kwadratów pierwiastków. Możemy jednak to zmienić stosując wzór skróconego mnożenia:

$x_1^2+x_2^2=\frac{17}{4}\\ x_1^2+x_2^2=(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2 \\ (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\frac{17}{4}$ tło

Dodaliśmy i odjęliśmy tutaj ten sam czynnik, co wolno nam zrobić, aby otrzymać zdanie równoważne.

Skorzystajmy teraz z drugiego warunku zadania:

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{3}{2}\\ \frac{x_2}{x_1x_2}+\frac{x_1}{x_1x_2}=\frac{3}{2} \\ \frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{3}{2}/\cdot x_1x_2 (x_1\neq 0, \ x_2\neq 0)\\ x_1+x_2=\frac{3}{2}x_1x_2/ \cdot \frac{2}{3}\\ x_1x_2=\frac{2}{3}(x_1+x_2)$ tło

Zauważmy, że warunki zadania określają odwrotności pierwiastków równania, czyli wykluczony jest przypadek, gdy choćby jeden z pierwiastków jest równy zeru.

Wyznaczoną wartość iloczynu pierwiastków wstawiamy do wzoru na sumę kwadratu pierwiastków (kolor niebieski)

$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\frac{17}{4}\\ (x_1+x_2)^2-2\cdot \frac{2}{3}(x_1+x_2)=\frac{17}{4}\\ (x_1+x_2)^2-\frac{4}{3}(x_1+x_2)=\frac{17}{4}$ tło

Zastosujemy teraz podstawienie:

$x_1+x_2=t\\ t^2-\frac{4}{3}t=\frac{17}{4}/\cdot 12 \\ 12t^2-4\cdot 4t=3\cdot 17 \\ 12t^2-16t-51=0 \\ a=12 \\ b=-16 \\ c=-51 \\ \Delta=b^2-4ac=(-16^2)-4\cdot 12\cdot (-51)=\\ =256+2448=2704\\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{2704}=52\\ t_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{16-52}{24}=\frac{-36}{24}=-\frac{3}{2}\\ t_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{16+52}{24}=\frac{68}{24}=\frac{17}{4}$

Mamy więc dwa przypadki:

Przypadek 1

Zastosujemy tutaj pierwszy wzór Viete'a.

$t=-\frac{3}{2}\\ x_1+x_2=-\frac{3}{2}\\ -\frac{b}{a}=-\frac{3}{2}/\cdot (-a) \\ b=\frac{3}{2}a$

Nasze równanie przyjmuje postać:

$ax^2+bx+c=0 \\ ax^2+\frac{3}{2}ax+c=0$

Musimy jeszcze wyrazić współczynnik c za pomocą współczynnika a. Skorzystamy z drugiego warunku zadania oraz obu wzorów Viete'a:

$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{3}{2} \\ \frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=\frac{3}{2} \\ -\frac{b}{\cancel{a}}\cdot \frac{\cancel{a}}{c}=\frac{3}{2}\\ -\frac{b}{c}=\frac{3}{2} \\ -\frac{\frac{3}{2}a}{c}=\frac{3}{2}/:(-\frac{3}{2}) \\ \frac{a}{c}=-1 \\ \frac{a}{c}+1=0 \\ \frac{a}{c}+\frac{c}{c}=0 \\ \frac{a+c}{c}=0 \\ a+c=0 \\ a=-c$ tło

Nasze równanie przyjmuje postać:

$ax^2+bx+c=0 \\ ax^2+\frac{3}{2}ax-a=0/:a (a\neq 0)\\ x^2+\frac{3}{2}x-1=0$

Przypadek 2

$t=\frac{17}{4}\\ x_1+x_2=\frac{17}{4}\\ -\frac{b}{a}=\frac{17}{4}/\cdot (-a) \\ b=-\frac{17}{4}a$

Nasze równanie przyjmuje postać:

$ax^2+bx+c=0 \\ ax^2-\frac{17}{4}ax+c=0$

Musimy jeszcze wyrazić współczynnik c za pomocą współczynnika a. Skorzystamy z drugiego warunku zadania oraz obu wzorów Viete'a:

$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{3}{2} \\ \frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=\frac{3}{2} \\ -\frac{b}{\cancel{a}}\cdot \frac{\cancel{a}}{c}=\frac{3}{2}\\ -\frac{b}{c}=\frac{3}{2} \\ -\frac{-\frac{17}{4}a}{c}=\frac{3}{2}/\cdot 4 \\ \frac{17a}{c}=6 \\ \frac{17a}{c}-6=0 \\ \frac{17a}{c}-\frac{6c}{c}=0 \\ \frac{17a-6c}{c}=0 \\ 17a-6c=0 \\ 6c=17a/:6 \\ c=\frac{17}{6}c$ tło

Nasze równanie przyjmuje postać:

$ax^2+bx+c=0 \\ ax^2-\frac{17}{4}ax+\frac{17}{6}a=0/:a (a\neq 0)\\ x^2-\frac{17}{4}x+\frac{17}{6}=0$

Mamy więc dwa równania, które spełniają warunki zadania:

Odpowiedź

$x^2+\frac{3}{2}x-1=0 \ lub \ x^2-\frac{17}{4}x+\frac{17}{6}=0$

Zadania podobne

Zadanie - równanie algebraiczne i kwadratowe z parametrem
Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania

ma wartość ujemną?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzory Viete'a i równanie kwadratowe
Kwadrat różnicy pierwiastków równania kwadratowego

jest równy 17. Znaleźć rozwiązanie tego równania.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzory Viete'a i równanie kwadratowe
Suma kwadratów pierwiastków równania kwadratowego

jest równa 7. Znaleźć rozwiązanie tego równania.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zastosowanie wzorów Viete'a
Rozwiązać równanie kwadratowe

jeśli wiadomo, że suma odwrotności pierwiastków równania jest równa 2.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 12, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Dany jest trójmian kwadratowy

. Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki x₁, x₂ tego samego znaku, spełniające warunek |x₁-x₂|<3.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 13, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Dany jest trójmian kwadratowy

. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x₁, x₂, spełniające warunek

.

Pokaż rozwiązanie zadania