Zadanie maturalne nr 11, matura 2020 - poziom rozszerzony
Dane jest równanie kwadratowe x2 − (3m + 2) x + 2m2 + 7m−15 = 0 z niewiadomą x. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których różne rozwiązania x1 i x2 tego równania istnieją i spełniają warunek 2x12 + 5x1x2+2x22 = 2.
Rozwiązanie zadania
równanie ma dwa różne pierwiastki, jeżeli wyróżnik trójmianu jest dodatni. Zatem dla określenia dziedziny wartości parametru m wyznaczmy:
\(\Delta=[-(3m+2)^2]-4(2m^2+7m-15)>0\)
\(9m^2+12m+4-8m^2-28m+60>0\)
\(m^2-16m+64>0\)
\(\Delta_m=256-4\cdot 64=0\)
\(m_0=\frac{16}{2}=8\)
Mamy więc:
\((m-8)^2>0\)
Nierówność ta jest spełniona dla wszystkich wartości m z wyjątkiem zera:
\(m\in \mathbb{R} \setminus \lbrace \ 0 \rbrace \)
Dwa różne pierwiastki naszego równania muszą spełniać warunek:
\(2x_1^2+5x_1x_2+2x_2^2=2\)
Przekształćmy ten warunek do postaci, w której można skorzystać ze wzorów Viete'a:
\(2x_1^2+4x_1x_2+2x_2^2+x_1x_2=2\)
\(2(x_1+x_2)^2+x_1x_2=2\)
Ze wzorów Viete'a mamy:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=3m+2\)
\(x_1x_2=\frac{c}{a}=2m^2+7m-15\)
Zatem:
\((3m+2)^2+2m^2+7m-15=2\)
\(2(9m^2+12m+4)+2m^2+7m-17=0\)
\(18m^2+24m+8+2m^2+7m-17=0\)
\(20m^2+31m-9=0\)
\(\Delta=961+4\cdot 20\cdot 9=961+720=1681\)
\(\sqrt{\Delta}=41\)
\(m_1=\frac{-31-41}{40}=-\frac{9}{5}\)
\(m_2=\frac{-31+41}{40}=\frac{1}{4}\)
Obie wartości należą do wyznaczonej wcześniej dziedziny.
Odpowiedź
\(m_1=-\frac{9}{5}\)
\(m_2=\frac{1}{4}\)
© medianauka.pl, 2023-03-12, ZAD-4782
Zadania podobne

Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania

Pokaż rozwiązanie zadania

Kwadrat różnicy pierwiastków równania kwadratowego

Pokaż rozwiązanie zadania

Suma kwadratów pierwiastków równania kwadratowego

Pokaż rozwiązanie zadania

Znaleźć równanie kwadratowe, którego suma kwadratów pierwiastków jest równa


Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać równanie kwadratowe

Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest trójmian kwadratowy

Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest trójmian kwadratowy


Pokaż rozwiązanie zadania

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie 4x2−6mx+(2m+ 3)(m− 3)=0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x1 i x2, przy czym x1<x2, spełniające warunek (4x1-4x2-1)(4x1-4x2+1)<0.
Pokaż rozwiązanie zadania

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x2 + (m+1)x−m2+1=0 ma dwa rozwiązania rzeczywiste x1 i x2 (x1≠x2), spełniające warunek x31+x32> −7x1x2 .
Pokaż rozwiązanie zadania

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja kwadratowa f określona wzorem f(x) = (2m +1)x2 + (m + 2)x + m −3 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1, x2 spełniające warunek ( (x1- x2)2 +5x1x2 ≥ 1.
Pokaż rozwiązanie zadania