Zadanie maturalne nr 11, matura 2020 - poziom rozszerzony
Treść zadania:
Dane jest równanie kwadratowe \(x^2−(3m+2)x+2m^2+7m−15=0\) z niewiadomą \(x\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których różne rozwiązania \(x_1\) i \(x_2\)tego równania istnieją i spełniają warunek \(2x^2_1+5x_1x_2+2x^2_2=2\).
Rozwiązanie zadania
równanie ma dwa różne pierwiastki, jeżeli wyróżnik trójmianu jest dodatni. Zatem dla określenia dziedziny wartości parametru m wyznaczmy:
\(\Delta=[-(3m+2)^2]-4(2m^2+7m-15)>0\)
\(9m^2+12m+4-8m^2-28m+60>0\)
\(m^2-16m+64>0\)
\(\Delta_m=256-4\cdot 64=0\)
\(m_0=\frac{16}{2}=8\)
Mamy więc:
\((m-8)^2>0\)
Nierówność ta jest spełniona dla wszystkich wartości m z wyjątkiem zera:
\(m\in \mathbb{R} \setminus \lbrace \ 0 \rbrace \)
Dwa różne pierwiastki naszego równania muszą spełniać warunek:
\(2x_1^2+5x_1x_2+2x_2^2=2\)
Przekształćmy ten warunek do postaci, w której można skorzystać ze wzorów Viete'a:
\(2x_1^2+4x_1x_2+2x_2^2+x_1x_2=2\)
\(2(x_1+x_2)^2+x_1x_2=2\)
Ze wzorów Viete'a mamy:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=3m+2\)
\(x_1x_2=\frac{c}{a}=2m^2+7m-15\)
Zatem:
\((3m+2)^2+2m^2+7m-15=2\)
\(2(9m^2+12m+4)+2m^2+7m-17=0\)
\(18m^2+24m+8+2m^2+7m-17=0\)
\(20m^2+31m-9=0\)
\(\Delta=961+4\cdot 20\cdot 9=961+720=1681\)
\(\sqrt{\Delta}=41\)
\(m_1=\frac{-31-41}{40}=-\frac{9}{5}\)
\(m_2=\frac{-31+41}{40}=\frac{1}{4}\)
Obie wartości należą do wyznaczonej wcześniej dziedziny.
Odpowiedź
\(m_1=-\frac{9}{5}\)
\(m_2=\frac{1}{4}\)
© medianauka.pl, 2023-03-12, ZAD-4782
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dla jakich wartości parametru \(m\) suma odwrotności pierwiastków równania \(x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0\) ma wartość ujemną?
Zadanie nr 2.
Kwadrat różnicy pierwiastków równania kwadratowego \(x^2-x+m=0\) jest równy 17. Znaleźć rozwiązanie tego równania.
Zadanie nr 3.
Suma kwadratów pierwiastków równania kwadratowego \(x^2+dx+1=0\) jest równa 7. Znaleźć rozwiązanie tego równania.
Zadanie nr 4.
Znaleźć równanie kwadratowe, którego suma kwadratów pierwiastków jest równa \(\frac{17}{4}\), a suma odwrotności pierwiastków jest równa \(\frac{3}{2}\).
Zadanie nr 5.
Rozwiązać równanie kwadratowe \(x^2+mx-3=0\), jeśli wiadomo, że suma odwrotności pierwiastków równania jest równa 2.
Zadanie nr 6 — maturalne.
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1\). Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki \(x_1\), \(x_2\) tego samego znaku, spełniające warunek \(|x_1-x_2|<3\).
Zadanie nr 7 — maturalne.
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian \(f\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1, x_2\), spełniające warunek \(x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4\).
Zadanie nr 8 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(4x^2−6mx+(2m+ 3)(m− 3)=0\) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) i \(x_2\), przy czym \(x_1<x_2\), spełniające warunek \((4x_1-4x_2-1)(4x_1-4x_2+1)<0\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2 + (m+1)x−m^2+1=0\) ma dwa rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) i \(x_2\) \((x_1\neq x_2)\), spełniające warunek \(x^3_1+x^3_2>−7x_1x_2\).
Zadanie nr 10 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=(2m +1)x^2+(m+2)x+m−3\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1, x_2\), spełniające warunek \((x_1- x_2)^2+5x_1x_2 \geq 1\).
Zadanie nr 11 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2-(m+1)x+m=0\) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki: \(x_1\neq 0, x_2\neq 0\) oraz \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+2=\frac{1}{x_1^2} +\frac{1}{x_2^2}\).
Zadanie nr 12 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\neq 2\), dla których równanie
\(x^2+4x-\frac{m-3}{m-2}=0\)
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1, x_2\) spełniające warunek \(x_1^3+x_2^3>-28\). Zapisz obliczenia.