Zadanie maturalne nr 11, matura 2020 - poziom rozszerzony


Dane jest równanie kwadratowe x2 − (3m + 2) x + 2m2 + 7m−15 = 0 z niewiadomą x. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których różne rozwiązania x1 i x2 tego równania istnieją i spełniają warunek 2x12 + 5x1x2+2x22 = 2.


ksiązki Rozwiązanie zadania

równanie ma dwa różne pierwiastki, jeżeli wyróżnik trójmianu jest dodatni. Zatem dla określenia dziedziny wartości parametru m wyznaczmy:

\(\Delta=[-(3m+2)^2]-4(2m^2+7m-15)>0\)

\(9m^2+12m+4-8m^2-28m+60>0\)

\(m^2-16m+64>0\)

\(\Delta_m=256-4\cdot 64=0\)

\(m_0=\frac{16}{2}=8\)

Mamy więc:

\((m-8)^2>0\)

Nierówność ta jest spełniona dla wszystkich wartości m z wyjątkiem zera:

\(m\in \mathbb{R} \setminus \lbrace \ 0 \rbrace \)

Dwa różne pierwiastki naszego równania muszą spełniać warunek:

\(2x_1^2+5x_1x_2+2x_2^2=2\)

Przekształćmy ten warunek do postaci, w której można skorzystać ze wzorów Viete'a:

\(2x_1^2+4x_1x_2+2x_2^2+x_1x_2=2\)

\(2(x_1+x_2)^2+x_1x_2=2\)

Ze wzorów Viete'a mamy:

\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=3m+2\)

\(x_1x_2=\frac{c}{a}=2m^2+7m-15\)

Zatem:

\((3m+2)^2+2m^2+7m-15=2\)

\(2(9m^2+12m+4)+2m^2+7m-17=0\)

\(18m^2+24m+8+2m^2+7m-17=0\)

\(20m^2+31m-9=0\)

\(\Delta=961+4\cdot 20\cdot 9=961+720=1681\)

\(\sqrt{\Delta}=41\)

\(m_1=\frac{-31-41}{40}=-\frac{9}{5}\)

\(m_2=\frac{-31+41}{40}=\frac{1}{4}\)

Obie wartości należą do wyznaczonej wcześniej dziedziny.

ksiązki Odpowiedź

\(m_1=-\frac{9}{5}\)

\(m_2=\frac{1}{4}\)


© medianauka.pl, 2023-03-12, ZAD-4782

Zadania podobne

kulkaZadanie - równanie algebraiczne i kwadratowe z parametrem
Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0 ma wartość ujemną?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wzory Viete'a i równanie kwadratowe
Kwadrat różnicy pierwiastków równania kwadratowego x^2-x+m=0 jest równy 17. Znaleźć rozwiązanie tego równania.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wzory Viete'a i równanie kwadratowe
Suma kwadratów pierwiastków równania kwadratowego x^2+dx+1=0 jest równa 7. Znaleźć rozwiązanie tego równania.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wzory Viete'a - zastosowanie w zadaniach
Znaleźć równanie kwadratowe, którego suma kwadratów pierwiastków jest równa \frac{17}{4} a suma odwrotności pierwiastków jest równa \frac{3}{2}.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zastosowanie wzorów Viete'a
Rozwiązać równanie kwadratowe x^2+mx-3=0 jeśli wiadomo, że suma odwrotności pierwiastków równania jest równa 2.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 12, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Dany jest trójmian kwadratowy f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1. Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki x1, x2 tego samego znaku, spełniające warunek |x1-x2|<3.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 13, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Dany jest trójmian kwadratowy f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1, x2, spełniające warunek x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 3, matura 2017 (poziom rozszerzony)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie 4x2−6mx+(2m+ 3)(m− 3)=0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x1 i x2, przy czym x1<x2, spełniające warunek (4x1-4x2-1)(4x1-4x2+1)<0.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 9, matura 2018 (poziom rozszerzony)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x2 + (m+1)x−m2+1=0 ma dwa rozwiązania rzeczywiste x1 i x2 (x1≠x2), spełniające warunek x31+x32> −7x1x2 .



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 9, matura 2019 - poziom rozszerzony

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja kwadratowa f określona wzorem f(x) = (2m +1)x2 + (m + 2)x + m −3 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1, x2 spełniające warunek ( (x1- x2)2 +5x1x2 ≥ 1.



Pokaż rozwiązanie zadania




Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
©® Media Nauka 2008-2023 r.