Zadanie maturalne nr 11, matura 2023 - poziom rozszerzony
Treść zadania:
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\neq 2\), dla których równanie
\(x^2+4x-\frac{m-3}{m-2}=0\)
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1, x_2\) spełniające warunek \(x_1^3+x_2^3>-28\). Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie zadania
Mamy do czynienia z równaniem kwadratowym z parametrem. Równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania, gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego jest dodatni.
\(\Delta>0\)
\(4^2-4\cdot 1\cdot (-\frac{m-3}{m-2})>0\)
\(16+\frac{4m-12}{m-2}>0\)
\(\frac{16(m-2)}{m-2}+\frac{4m-12}{m-2}>0\)
\(\frac{16m-32+4m-12}{m-2}>0\)
\(\frac{20m-44}{m-2}>0\)
\((20m-44)\cdot (m-2)>0\)
\(20(m-\frac{11}{5})(m-2)>0\)
\(m-\frac{11}{5}>0\) i \(m-2>0\)
lub
\(m-\frac{11}{5}<0\) i \(m-2<0\)
\(m>\frac{11}{5}\) i \(m>2>\)
lub
\(m<\frac{11}{5}\) i \(m<2\)
Ostatecznie
\(m\in (-\infty,2)\cup (\frac{11}{5},\infty)\)
Badamy teraz warunek \(x_1^3+x_2^3>-28\).
Skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia:
\((x_1+x_2)^3=x_1^3+3x_1^2x_2 +3x_2x_1^2+x_2^3\)
\((x_1+x_2)^3=x_1^3+3x_1x_2(x_1+x_2) +x_2^3\)
\((x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)=x_1^3 +x_2^3\)
Zatem wyrażenie \(x_1^3+x_2^3>-28\) możemy zapisać w postaci:
\((x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)>-28\)
Ze wzorów Viete'a wynika, że:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
Mamy więc:
\((-4)^3-3\cdot (-\frac{m-3}{m-2}) \cdot (-4)>-28\)
\(-64-12\cdot \frac{m-3}{m-2}>-28\)
\(-12\cdot \frac{m-3}{m-2}>36/:(-12)\)
\(\frac{m-3}{m-2}<-3\)
\(\frac{m-3}{m-2}+3<0\)
\(\frac{m-3}{m-2}+\frac{3(m-2)}{m-2}<0\)
\(\frac{m-3}{m-2}+\frac{3m-6)}{m-2}<0\)
\(\frac{4m-9}{m-2}<0\)
\(4m-9<0\) i \(m-2>0\)
lub
\(4m-9>0\) i \(m-2<0\)
\(m<\frac{9}{4}\) i \(m>2\)
lub
\((m>\frac{9}{4}\) i \(m<2\)
Zatem:
\m\in (2,\frac{9}{4})\)
Uwzględniając wszystkie warunki:
- \(m\in (-\infty,2)\cup (\frac{11}{5},\infty)\)
- \(m\in (2,\frac{9}{4})\)
otrzymujemy rozwiązanie:
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-07-22, ZAD-4947
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dla jakich wartości parametru \(m\) suma odwrotności pierwiastków równania \(x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0\) ma wartość ujemną?
Zadanie nr 2.
Kwadrat różnicy pierwiastków równania kwadratowego \(x^2-x+m=0\) jest równy 17. Znaleźć rozwiązanie tego równania.
Zadanie nr 3.
Suma kwadratów pierwiastków równania kwadratowego \(x^2+dx+1=0\) jest równa 7. Znaleźć rozwiązanie tego równania.
Zadanie nr 4.
Znaleźć równanie kwadratowe, którego suma kwadratów pierwiastków jest równa \(\frac{17}{4}\), a suma odwrotności pierwiastków jest równa \(\frac{3}{2}\).
Zadanie nr 5.
Rozwiązać równanie kwadratowe \(x^2+mx-3=0\), jeśli wiadomo, że suma odwrotności pierwiastków równania jest równa 2.
Zadanie nr 6 — maturalne.
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1\). Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki \(x_1\), \(x_2\) tego samego znaku, spełniające warunek \(|x_1-x_2|<3\).
Zadanie nr 7 — maturalne.
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian \(f\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1, x_2\), spełniające warunek \(x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4\).
Zadanie nr 8 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(4x^2−6mx+(2m+ 3)(m− 3)=0\) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) i \(x_2\), przy czym \(x_1<x_2\), spełniające warunek \((4x_1-4x_2-1)(4x_1-4x_2+1)<0\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2 + (m+1)x−m^2+1=0\) ma dwa rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) i \(x_2\) \((x_1\neq x_2)\), spełniające warunek \(x^3_1+x^3_2>−7x_1x_2\).
Zadanie nr 10 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=(2m +1)x^2+(m+2)x+m−3\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1, x_2\), spełniające warunek \((x_1- x_2)^2+5x_1x_2 \geq 1\).
Zadanie nr 11 — maturalne.
Dane jest równanie kwadratowe \(x^2−(3m+2)x+2m^2+7m−15=0\) z niewiadomą \(x\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których różne rozwiązania \(x_1\) i \(x_2\)tego równania istnieją i spełniają warunek \(2x^2_1+5x_1x_2+2x^2_2=2\).
Zadanie nr 12 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2-(m+1)x+m=0\) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki: \(x_1\neq 0, x_2\neq 0\) oraz \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+2=\frac{1}{x_1^2} +\frac{1}{x_2^2}\).