Nauka » Matematyka » Ciąg liczbowy

Zadanie - ciąg, znajdowanie elementów ciągu

Napisać:
a) trzy początkowe wyrazy ciągu $a_n=\frac{n[2-(-2)^{n+1}]}{n+1}$ oraz znaleźć dziewiąty wyraz tego ciągu
b) pięć początkowych wyrazów ciągu
$\begin{cases}a_1=2 \\ a_2=4 \\ a_n=a_{n-2}+2a_{n-1}, \ dla \ n\geq 3 \end{cases}$

Rozwiązanie zadania uproszczone dla podpunktu a)

$a_1=\frac{1\cdot [2-(-2)^{1+1}]}{1+1}=\frac{2-4}{2}=-1 \\ a_2=\frac{2\cdot [2-(-2)^{2+1}]}{2+1}=\frac{2(2+8)}{3}=\frac{20}{3}=6\frac{2}{3} \\ a_3=\frac{3\cdot [2-(-2)^{3+1}]}{3+1}=\frac{3(2-16)}{4}=\frac{-42}{4}=-10\frac{1}{2} \\ a_9=\frac{9\cdot [2-(-2)^{9+1}]}{9+1}=\frac{9(2-1024)}{10}=\frac{-9198}{10}=-919\frac{4}{5}$

Rozwiązanie szczegółowe

Podpunkt a)

Dany jest ogólny wyraz ciągu:

$a_n=\frac{n[2-(-2)^{n+1}]}{n+1}$

W powyższym wzorze n oznacza liczbę naturalną. Aby znaleźć kolejne wyrazy ciągu, należy podstawić we wzorze za n kolejną liczbę naturalną.

Podpunkt b)

Ciąg został zdefiniowany poprzez wartości dwóch poprzednich wyrazów ciągu. Aby zatem znaleźć na przykład dziesiąty wyraz ciągu, musimy znać ósmy i dziewiąty wyraz ciągu. Pierwszy i drugi wyraz ciągu już mamy. Kolejne wyrazy obliczamy na podstawie wzoru ogólnego.