Zadanie - rozwiązać równanie logarytmiczne

Rozwiązanie zadania uproszczone
Dziedzina równania:

x | 1/3 | 1 | 3 |
log3x | -1 | 0 | 1 |





Rozwiązaniem równania

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Najpierw określamy dziedzinę równania, czyli zbiór wszystkich wartości x, dla których równanie ma sens matematyczny. Musimy zdefiniować dwa warunki. Po pierwsze z definicji logarytmu wynika, że liczba logarytmowana musi być większa od zera. Logarytmujemy tutaj zmienną x oraz sam logarytm o podstawie 3. Mamy więc:

Jak poradzić sobie z drugą nierównością? Możemy rozwiązywać nierówność logarytmiczną albo odczytać rozwiązanie bezpośrednio z wykresu. Kiedy narysujemy wykres funkcji y=log3x, to bez problemu odczytamy dla jakich x wartości tej funkcji są dodatnie (leżą nad osią OX). Tutaj skorzystamy z tej właśnie metody.
Sporządzamy prostą tabelkę zmienności funkcji:
x | 1/3 | 1 | 3 |
log3x | -1 | 0 | 1 |
Sporządzamy szkic wykresu i zaznaczamy interesujący nas przedział.

Nasz warunek opisany wyżej spełniony jest dla x>1. Możemy więc teraz zapisać nasz warunek następująco:

Przedział znajdujemy na podstawie rysunku:

Rozwiązań będziemy szukać w zbiorze określonym powyżej.
Możemy przystąpić do rozwiązywania równania. Zastosujemy podstawienie.




Wystarczy teraz skorzystać z definicji logarytmu. Dla

Mamy więc:







Możemy dalej rozwiązywać równanie ze względu na zmienną x:

Liczba 3 należy do dziedziny równania, którą określiliśmy na wstępie. Jest to więc rozwiązanie równania
Odpowiedź

© medianauka.pl, 2009-12-11, ZAD-427
Zadania podobne

Rozwiązać równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać równanie logarytmiczne
![\log_{4}{[\log_{2}{(x-4)}]}=2](matematyka/wzory/zad41/1.gif)
Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać równanie logarytmiczne

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać równanie logarytmiczne

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać równanie logarytmiczne

Pokaż rozwiązanie zadania