Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie - rozwiązać równanie logarytmiczne


Rozwiązać równanie \log_{2}{(\log_{3}{x})}=0


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Dziedzina równania:

\begin{cases} x^>0 \\ \log_{3}{x}>0 \end{cases}
x1/313
log3x-101

Rysunek pomocniczy, y=log_3(x)

\begin{cases} x^>0 \\ \log_{3}{x}>0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^>0 \\ x>1 \end{cases} \Leftrightarrow x\in (1;+\infty)
\log_{2}{(\log_{3}{x})}=0 \\ t=\log_{3}{x} \\ log_{2}{t}=0
\log_{2}{t}=0 \Leftrightarrow 2^0=t \\ t=1
\log_{3}{x}=1 \\ 3^1=x \\ x=3
Rozwiązaniem równania \log_{2}{(\log_{3}{x})}=0 jest liczba 3.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Najpierw określamy dziedzinę równania, czyli zbiór wszystkich wartości x, dla których równanie ma sens matematyczny. Musimy zdefiniować dwa warunki. Po pierwsze z definicji logarytmu wynika, że liczba logarytmowana musi być większa od zera. Logarytmujemy tutaj zmienną x oraz sam logarytm o podstawie 3. Mamy więc:

\begin{cases} x^>0 \\ \log_{3}{x}>0 \end{cases}

Jak poradzić sobie z drugą nierównością? Możemy rozwiązywać nierówność logarytmiczną albo odczytać rozwiązanie bezpośrednio z wykresu. Kiedy narysujemy wykres funkcji y=log3x, to bez problemu odczytamy dla jakich x wartości tej funkcji są dodatnie (leżą nad osią OX). Tutaj skorzystamy z tej właśnie metody.

Sporządzamy prostą tabelkę zmienności funkcji:

x1/313
log3x-101

Sporządzamy szkic wykresu i zaznaczamy interesujący nas przedział.

Rysunek pomocniczy , wykres funkcji logarytm

Nasz warunek opisany wyżej spełniony jest dla x>1. Możemy więc teraz zapisać nasz warunek następująco:

\begin{cases} x^>0 \\ \log_{3}{x}>0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^>0 \\ x>1 \end{cases} \Leftrightarrow x\in (1;+\infty)

Przedział znajdujemy na podstawie rysunku:

rysunek pomocniczy - oś liczbowa i przedziały

Rozwiązań będziemy szukać w zbiorze określonym powyżej.


Możemy przystąpić do rozwiązywania równania. Zastosujemy podstawienie.

\log_{2}{(\log_{3}{x})}=0 \\ t=\log_{3}{x} \\ log_{2}{t}=0 tło tło tło

Wystarczy teraz skorzystać z definicji logarytmu. Dla a,b\in R_+ \ i \ a\neq 1

\log_{a}{b}=c \Leftrightarrow a^c=b

Mamy więc:

\log_{2}{t}=0 \Leftrightarrow 2^0=t \\ t=1 tło tło tło tło tło tło

Możemy dalej rozwiązywać równanie ze względu na zmienną x:

\log_{3}{x}=1 \\ 3^1=x \\ x=3

Liczba 3 należy do dziedziny równania, którą określiliśmy na wstępie. Jest to więc rozwiązanie równania \log_{2}{(\log_{3}{x})}=0

ksiązki Odpowiedź

Rozwiązaniem równania \log_{2}{(\log_{3}{x})}=0 jest liczba 3.

© medianauka.pl, 2009-12-11, ZAD-427





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.