Nauka » Matematyka » Równanie logarytmiczne

Zadanie - rozwiązać równanie logarytmiczne

Rozwiązać równanie $\log_{2}{(\log_{3}{x})}=0$

Rozwiązanie zadania uproszczone

Dziedzina równania:

$\begin{cases} x^>0 \\ \log_{3}{x}>0 \end{cases}$

x	1/3	1	3
log₃x	-1	0	1

$\begin{cases} x^>0 \\ \log_{3}{x}>0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^>0 \\ x>1 \end{cases} \Leftrightarrow x\in (1;+\infty)$

$\log_{2}{(\log_{3}{x})}=0 \\ t=\log_{3}{x} \\ log_{2}{t}=0$
$\log_{2}{t}=0 \Leftrightarrow 2^0=t \\ t=1$
$\log_{3}{x}=1 \\ 3^1=x \\ x=3$
Rozwiązaniem równania $\log_{2}{(\log_{3}{x})}=0$ jest liczba 3.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Najpierw określamy dziedzinę równania, czyli zbiór wszystkich wartości x, dla których równanie ma sens matematyczny. Musimy zdefiniować dwa warunki. Po pierwsze z definicji logarytmu wynika, że liczba logarytmowana musi być większa od zera. Logarytmujemy tutaj zmienną x oraz sam logarytm o podstawie 3. Mamy więc:

$\begin{cases} x^>0 \\ \log_{3}{x}>0 \end{cases}$

Jak poradzić sobie z drugą nierównością? Możemy rozwiązywać nierówność logarytmiczną albo odczytać rozwiązanie bezpośrednio z wykresu. Kiedy narysujemy wykres funkcji y=log₃x, to bez problemu odczytamy dla jakich x wartości tej funkcji są dodatnie (leżą nad osią OX). Tutaj skorzystamy z tej właśnie metody.

Sporządzamy prostą tabelkę zmienności funkcji:

x	1/3	1	3
log₃x	-1	0	1

Sporządzamy szkic wykresu i zaznaczamy interesujący nas przedział.

Rysunek pomocniczy , wykres funkcji logarytm

Nasz warunek opisany wyżej spełniony jest dla x>1. Możemy więc teraz zapisać nasz warunek następująco:

$\begin{cases} x^>0 \\ \log_{3}{x}>0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^>0 \\ x>1 \end{cases} \Leftrightarrow x\in (1;+\infty)$

Przedział znajdujemy na podstawie rysunku:

rysunek pomocniczy - oś liczbowa i przedziały

Rozwiązań będziemy szukać w zbiorze określonym powyżej.

Możemy przystąpić do rozwiązywania równania. Zastosujemy podstawienie.

$\log_{2}{(\log_{3}{x})}=0 \\ t=\log_{3}{x} \\ log_{2}{t}=0$ tło

Wystarczy teraz skorzystać z definicji logarytmu. Dla $a,b\in R_+ \ i \ a\neq 1$

$\log_{a}{b}=c \Leftrightarrow a^c=b$

Mamy więc:

$\log_{2}{t}=0 \Leftrightarrow 2^0=t \\ t=1$ tło

Możemy dalej rozwiązywać równanie ze względu na zmienną x:

$\log_{3}{x}=1 \\ 3^1=x \\ x=3$

Liczba 3 należy do dziedziny równania, którą określiliśmy na wstępie. Jest to więc rozwiązanie równania $\log_{2}{(\log_{3}{x})}=0$

Odpowiedź

Rozwiązaniem równania $\log_{2}{(\log_{3}{x})}=0$ jest liczba 3.

Zadania podobne

Zadanie - równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie $\log_{x}{x}=2$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie $\log_{x}{x}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - rozwiązać równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie $\log_{x}{3x}=3$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - rozwiąż równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie logarytmiczne $\log_{4}{[\log_{2}{(x-4)}]}=2$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie logarytmiczne $\log_{3}{(1-x)}=\log_{3}{(x-3)}+2$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie logarytmiczne $\log_{\frac{1}{3}}{(x+2)}+\log_{3}{(x+3)}+1=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie logarytmiczne $\frac{2}{\log{x}+1}-\frac{1}{\log{x}-1}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania