Nauka » Matematyka » Równanie logarytmiczne

Zadanie - równanie logarytmiczne

Rozwiązać równanie $\log_{x}{x}=1$

Rozwiązanie zadania uproszczone

Określamy dziedzinę równania:

$\begin{cases} x^>0 \\ x\neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow x\in (0;1)\cup (1;+\infty)$

$\log_{x}{x}=2 \Leftrightarrow x^1=x$
$x^1=x \\ x-x=0 \\ 0=0$
Równanie $\log_{x}{x}=1$ jest tożsamościowe (ma nieskończenie wiele rozwiązań).

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Najpierw musimy określić dziedzinę równania, czyli zbiór wszystkich wartości x, dla których równanie (w tym logarytm) ma sens matematyczny.

Warunek pierwszy to taki, że liczba logarytmowana musi być większa od zera. Warunek drugi, jaki musi być spełniony jest taki, że podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią i różną od jedności. Oba warunki możemy zapisać używając klamry lub przedziałów:

$\begin{cases} x^>0 \\ x\neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow x\in (0;1)\cup (1;+\infty)$

Rozwiązań równania będziemy szukać w zbiorze określonym powyżej.

Aby rozwiązać dane równanie wystarczy skorzystać z definicji logarytmu. Mamy więc dla $a,b\in R_+ \ i \ a\neq 1$

$\log_{a}{b}=c \Leftrightarrow a^c=b$

Mamy więc:

$\log_{x}{x}=2 \Leftrightarrow x^1=x$ tło

Dalej już rozwiązujemy zwykłe równanie liniowe (pierwszego stopnia).

Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę.

$x^1=x \\ x-x=0 \\ 0=0$

Równanie $\log_{x}{x}=1$ ma zatem nieskończenie wiele rozwiązań. Cokolwiek byśmy nie podstawili za x (oczywiście w granicy dziedziny równania) otrzymamy zawsze równość prawdziwą.