Nauka » Matematyka » Równanie logarytmiczne

Zadanie - rozwiąż równanie logarytmiczne

Rozwiązać równanie logarytmiczne $\log_{4}{[\log_{2}{(x-4)}]}=2$

Rozwiązanie zadania uproszczone

Określamy dziedzinę równania:

$\begin{cases} x-4^>0 \\ \log_{2}{(x-4)}>0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^>4 \\ \log_{2}{(x-4)}>\log_{2}{1} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^>4 \\ x-4>1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^>4 \\ x>5 \end{cases}$

rysunek pomocniczy

$x\in (5;+\infty)$

Stosujemy podstawienie.

$\log_{4}{[\log_{2}{(x-4)}]}=2 \\ t=\log_{2}{(x-4)} \\ log_{4}{t}=2$
$\log_{4}{t}=2 \Leftrightarrow 4^2=t \\ t=16$
$\log_{2}{(x-4)}=16 \\ 2^{16}=x-4 \\ x=2^{16}+4 \\ x=65540$

Rozwiązaniem równania $\log_{4}{[\log_{2}{(x-4)}]}=2$ jest liczba 65540.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Określamy na wstępie dziedzinę równania, czyli zbiór wszystkich wartości x, dla których równanie (w tym logarytm) ma sens matematyczny.

Liczba logarytmowana musi być większa od zera. Logarytmujemy tutaj wartość x-4 oraz cały logarytm o podstawie 2. Mamy więc dwa następujące warunki:

$\begin{cases} x-4^>0 \\ \log_{2}{(x-4)}>0 \end{cases}$

Jak znaleźć rozwiązanie drugiego warunku? Możemy rozwiązywać nierówność logarytmiczną albo odczytać rozwiązanie bezpośrednio z wykresu. Kiedy narysujemy wykres funkcji y=log₂(x-4), to bez problemu odczytamy dla jakich x wartości tej funkcji są dodatnie (leżą nad osią OX). Ponieważ z tej metody korzystaliśmy w innym zadaniu, tutaj rozwiążemy nierówność logarytmiczną.

$\log_{2}{(x-4)}>0 \\ \log_{2}{(x-4)}>\log_{2}{1} \\ x-4>1$ tło

Kilka słów wyjaśnień do powyższych rachunków. Wyraziliśmy liczbę 0 jako logarytm $0=\log_{2}{1}, \ bo \ 2^0=1$ . W drugim kroku korzystamy z własności funkcji logarytmicznej. Ponieważ podstawa logarytmu jest większa od jedności, funkcja logarytmiczna jest rosnąca i możemy zapisać, że

$\log_{a}{b}>\log_{a}{c} \Leftrightarrow b>c$

Kontynuujemy wyznaczanie dziedziny równania logarytmicznego. Mamy następujący układ nierówności:

$\begin{cases} x-4^>0 \\ \log_{2}{(x-4)}>0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^>4 \\ x-4>1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^>4 \\ x>5 \end{cases}$

Znaleźliśmy dziedzinę równania logarytmicznego:

$x\in (5;+\infty)$

Rozwiązań będziemy szukać w zbiorze określonym powyżej.

Możemy przystąpić do rozwiązywania równania. Zastosujemy podstawienie.

$\log_{4}{[\log_{2}{(x-4)}]}=2 \\ t=\log_{2}{(x-4)} \\ log_{4}{t}=2$ tło

Wystarczy teraz skorzystać z definicji logarytmu. Dla $a,b\in R_+ \ i \ a\neq 1$

$\log_{a}{b}=c \Leftrightarrow a^c=b$

Mamy więc:

$\log_{4}{t}=2 \Leftrightarrow 4^2=t \\ t=16$ tło

Możemy dalej rozwiązywać równanie ze względu na zmienną x:

$t=16 \\ \log_{2}{(x-4)}=16 \\ 2^{16}=x-4 \\ x=2^{16}+4 \\ x=65540$

Liczba 65540 należy do dziedziny równania, którą określiliśmy na wstępie. Jest to więc rozwiązanie równania $\log_{4}{[\log_{2}{(x-4)}]}=2$

Odpowiedź

Rozwiązaniem równania $\log_{4}{[\log_{2}{(x-4)}]}=2$ jest liczba 65540.

Zadania podobne

Zadanie - równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie $\log_{x}{x}=2$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie $\log_{x}{x}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - rozwiązać równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie $\log_{x}{3x}=3$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - rozwiązać równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie $\log_{2}{(\log_{3}{x})}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie logarytmiczne $\log_{3}{(1-x)}=\log_{3}{(x-3)}+2$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie logarytmiczne $\log_{\frac{1}{3}}{(x+2)}+\log_{3}{(x+3)}+1=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie logarytmiczne $\frac{2}{\log{x}+1}-\frac{1}{\log{x}-1}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.