Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - rozwiąż równanie logarytmiczne


Rozwiązać równanie logarytmiczne \log_{4}{[\log_{2}{(x-4)}]}=2


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Określamy dziedzinę równania:

\begin{cases} x-4^>0 \\ \log_{2}{(x-4)}>0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^>4 \\ \log_{2}{(x-4)}>\log_{2}{1} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^>4 \\ x-4>1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^>4 \\ x>5 \end{cases}

rysunek pomocniczy

x\in (5;+\infty)

Stosujemy podstawienie.

\log_{4}{[\log_{2}{(x-4)}]}=2 \\ t=\log_{2}{(x-4)} \\ log_{4}{t}=2
\log_{4}{t}=2 \Leftrightarrow 4^2=t \\ t=16
\log_{2}{(x-4)}=16 \\ 2^{16}=x-4 \\ x=2^{16}+4 \\ x=65540

Rozwiązaniem równania \log_{4}{[\log_{2}{(x-4)}]}=2 jest liczba 65540.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Określamy na wstępie dziedzinę równania, czyli zbiór wszystkich wartości x, dla których równanie (w tym logarytm) ma sens matematyczny.

Liczba logarytmowana musi być większa od zera. Logarytmujemy tutaj wartość x-4 oraz cały logarytm o podstawie 2. Mamy więc dwa następujące warunki:

\begin{cases} x-4^>0 \\ \log_{2}{(x-4)}>0 \end{cases}

Jak znaleźć rozwiązanie drugiego warunku? Możemy rozwiązywać nierówność logarytmiczną albo odczytać rozwiązanie bezpośrednio z wykresu. Kiedy narysujemy wykres funkcji y=log2(x-4), to bez problemu odczytamy dla jakich x wartości tej funkcji są dodatnie (leżą nad osią OX). Ponieważ z tej metody korzystaliśmy w innym zadaniu, tutaj rozwiążemy nierówność logarytmiczną.

\log_{2}{(x-4)}>0 \\ \log_{2}{(x-4)}>\log_{2}{1} \\ x-4>1 tło tło

Kilka słów wyjaśnień do powyższych rachunków. Wyraziliśmy liczbę 0 jako logarytm 0=\log_{2}{1}, \ bo \ 2^0=1. W drugim kroku korzystamy z własności funkcji logarytmicznej. Ponieważ podstawa logarytmu jest większa od jedności, funkcja logarytmiczna jest rosnąca i możemy zapisać, że

\log_{a}{b}>\log_{a}{c} \Leftrightarrow b>c

Kontynuujemy wyznaczanie dziedziny równania logarytmicznego. Mamy następujący układ nierówności:

\begin{cases} x-4^>0 \\ \log_{2}{(x-4)}>0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^>4 \\ x-4>1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^>4 \\ x>5 \end{cases}

rysunek pomocniczy

Znaleźliśmy dziedzinę równania logarytmicznego:

x\in (5;+\infty)

Rozwiązań będziemy szukać w zbiorze określonym powyżej.


Możemy przystąpić do rozwiązywania równania. Zastosujemy podstawienie.

\log_{4}{[\log_{2}{(x-4)}]}=2 \\ t=\log_{2}{(x-4)} \\ log_{4}{t}=2 tło tło tło

Wystarczy teraz skorzystać z definicji logarytmu. Dla a,b\in R_+ \ i \ a\neq 1

\log_{a}{b}=c \Leftrightarrow a^c=b

Mamy więc:

\log_{4}{t}=2 \Leftrightarrow 4^2=t \\ t=16 tło tło tło tło tło tło

Możemy dalej rozwiązywać równanie ze względu na zmienną x:

t=16 \\ \log_{2}{(x-4)}=16 \\ 2^{16}=x-4 \\ x=2^{16}+4 \\ x=65540

Liczba 65540 należy do dziedziny równania, którą określiliśmy na wstępie. Jest to więc rozwiązanie równania \log_{4}{[\log_{2}{(x-4)}]}=2

ksiązki Odpowiedź

Rozwiązaniem równania \log_{4}{[\log_{2}{(x-4)}]}=2 jest liczba 65540.

© medianauka.pl, 2009-12-12, ZAD-429





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.