Zadanie - rozwiązać równanie logarytmiczne
Treść zadania:
Rozwiązać równanie \(\log_{2}{(\log_{3}{x})}=0\).
Rozwiązanie zadania
Najpierw określamy dziedzinę równania, czyli zbiór wszystkich wartości \(x\), dla których równanie ma sens matematyczny. Musimy zdefiniować dwa warunki. Po pierwsze z definicji logarytmu wynika, że liczba logarytmowana musi być większa od zera. Logarytmujemy tutaj zmienną \(x\) oraz sam logarytm o podstawie 3. Mamy więc:
\(\begin{cases} x^>0\\\log_{3}{x}>0 \end{cases}\)
Jak poradzić sobie z drugą nierównością? Możemy rozwiązywać nierówność logarytmiczną albo odczytać rozwiązanie bezpośrednio z wykresu. Kiedy narysujemy wykres funkcji \(y=\log_{3}x\), to bez problemu odczytamy dla jakich \(x\) wartości tej funkcji są dodatnie (leżą nad osią \(Ox\)). Tutaj skorzystamy z tej właśnie metody.
Sporządzamy prostą tabelkę zmienności funkcji:
| \(x\) | \(\frac{1}{3}\) | \(1\) | \(3\) |
| \(log_{3}x\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) |
Sporządzamy szkic wykresu i zaznaczamy interesujący nas przedział.
Nasz warunek opisany wyżej spełniony jest dla \(x>1\). Możemy więc teraz zapisać nasz warunek następująco:
\(\begin{cases} x^>0\\\log_{3}{x}>0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^>0 \\ x>1 \end{cases} \Leftrightarrow x\in (1;+\infty)\)
Przedział znajdujemy na podstawie rysunku:
Rozwiązań będziemy szukać w zbiorze określonym powyżej.
Możemy przystąpić do rozwiązywania równania. Zastosujemy podstawienie.
\(\log_{2}{(\log_{3}{x})}=0\)
\(t=\log_{3}{x}\)
\(log_{2}{t}=0\)
Wystarczy teraz skorzystać z definicji logarytmu. Dla \(a,b\in \mathbb{R}_+\) i \(a\neq 1\):
Mamy więc:
\(\log_{2}{t}=0 \Leftrightarrow 2^0=t\)
\(t=1\)
Możemy dalej rozwiązywać równanie ze względu na zmienną \(x\):
\(\log_{3}{x}=1\)
\(3^1=x\)
\(x=3\)
Liczba \(3\) należy do dziedziny równania, którą określiliśmy na wstępie. Jest to więc rozwiązanie równania \(\log_{2}{(\log_{3}{x})}=0\).
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2009-12-11, ZAD-427
Zadania podobne
Zadanie nr 4.
Rozwiązać równanie logarytmiczne \(\log_{4}{[\log_{2}{(x-4)}]}=2\).
Zadanie nr 5.
Rozwiązać równanie logarytmiczne \(\log_{3}{(1-x)}=\log_{3}{(x-3)}+2\).
Zadanie nr 6.
Rozwiązać równanie logarytmiczne \(\log_{\frac{1}{3}}{(x+2)}+\log_{3}{(x+3)}+1=0\).
Zadanie nr 7.
Rozwiązać równanie logarytmiczne \(\frac{2}{\log{x}+1}-\frac{1}{\log{x}-1}=0\).