Nauka » Matematyka » Równanie logarytmiczne

Zadanie - równanie logarytmiczne

Rozwiązać równanie logarytmiczne $\frac{2}{\log{x}+1}-\frac{1}{\log{x}-1}=0$

Rozwiązanie zadania uproszczone

Określamy dziedzinę równania
$\begin{cases} x^>0 \\ \log{x}+1\neq 0 \\ \log{x}-1\neq 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x^>0 \\ \log{x}\neq -1 \\ \log{x}\neq 1 \end{cases} \\ \begin{cases} x^>0 \\ x\neq -\frac{1}{10} \\ x\neq 10 \end{cases} \\ x\in (0;10)\cup (10;+\infty)$

$\frac{2}{\log{x}+1}-\frac{1}{\log{x}-1}=0 \\ \log{x}=t \\ \frac{2}{t+1}-\frac{1}{t-1}=0$
$\frac{2(t-1)}{(t+1)(t-1)}-\frac{t+1}{(t-1)(t+1)}=0 \\ \frac{2(t-1)-(t+1)}{(t-1)(t+1)}=0 \\ \frac{2t-2-t-1}{(t-1)(t+1)}=0 \\ \frac{t-3}{(t-1)(t+1)}=0$
$t-3=0 \\ t=3 \\ \log{x}=3 \Leftrightarrow 10^3=x \\ x=1000$

Liczba 1000 należy do dziedziny równania. Rozwiązaniem równania $\frac{2}{\log{x}+1}-\frac{1}{\log{x}-1}=0$ jest liczba 1000.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

W pierwszej kolejności musimy określić dziedzinę danego równania, czyli zbiór wszystkich wartości x, dla których równanie ma sens matematyczny.

Warunek1: Korzystamy z definicji logarytmu: liczba logarytmowana musi być większa od zera. Logarytmujemy tutaj wartość zmiennej x.

Warunek 2: Ponadto mianowniki obu ułamków muszą być różne od zera.

W równaniach nie zapisano podstaw logarytmów. Oznacza to, że podstawą logarytmów jest liczba 10. Mamy więc trzy warunki, które zapisujemy w układzie. Następnie rozwiązujemy go.

$\begin{cases} x^>0 \\ \log{x}+1\neq 0 \\ \log{x}-1\neq 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x^>0 \\ \log{x}\neq -1 \\ \log{x}\neq 1 \end{cases} \\ \begin{cases} x^>0 \\ x\neq -\frac{1}{10} \\ x\neq 10 \end{cases} \\ x\in (0;10)\cup (10;+\infty)$

Rozwiązaliśmy tutaj przy okazji dwa proste równania logarytmiczne na podstawie definicji logarytmu.

$\log{x}\neq -1 \Leftrightarrow 10^{-1}\neq x \Leftrightarrow x\neq \frac{1}{10}$

oraz

$\log{x}\neq 1 \Leftrightarrow 10^{1}\neq x \Leftrightarrow x\neq 10$

W zbiorze określonym wyżej będziemy szukać rozwiązań równania logarytmicznego.

Rozwiązujemy teraz równanie logarytmiczne.

Najłatwiej będzie zastosować tutaj podstawienie za logx nową zmienną t.

$\frac{2}{\log{x}+1}-\frac{1}{\log{x}-1}=0 \\ \log{x}=t \\ \frac{2}{t+1}-\frac{1}{t-1}=0$

Aby rozwiązać powyższe równanie, musimy sprowadzić oba ułamki do wspólnego mianownika, mnożąc licznik i mianownik jednego ułamka przez mianownik drugiego. W mianowniku możemy wówczas zastosować wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

$\frac{2}{t+1}-\frac{1}{t-1}=0 \\ \frac{2(t-1)}{(t+1)(t-1)}-\frac{t+1}{(t-1)(t+1)}=0 \\ \frac{2(t-1)-(t+1)}{(t-1)(t+1)}=0 \\ \frac{2t-2-t-1}{(t-1)(t+1)}=0 \\ \frac{t-3}{(t-1)(t+1)}=0$

Ułamek jest równy zero, jeżeli jego licznik jest równy zero. Możemy więc przyrównać do zera licznik powyższego ułamka i wrócić do pierwotnej zmiennej.

$t-3=0 \\ t=3 \\ \log{x}=3 \Leftrightarrow 10^3=x \\ x=1000$

Ponieważ liczba 1000 należy do dziedziny równania, jest jednocześnie rozwiązaniem naszego równania logarytmicznego.

Odpowiedź

Rozwiązaniem równania $\frac{2}{\log{x}+1}-\frac{1}{\log{x}-1}=0$ jest liczba 1000.

Zadania podobne

Zadanie - równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie $\log_{x}{x}=2$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie $\log_{x}{x}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - rozwiązać równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie $\log_{x}{3x}=3$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - rozwiązać równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie $\log_{2}{(\log_{3}{x})}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - rozwiąż równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie logarytmiczne $\log_{4}{[\log_{2}{(x-4)}]}=2$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie logarytmiczne $\log_{3}{(1-x)}=\log_{3}{(x-3)}+2$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie logarytmiczne $\log_{\frac{1}{3}}{(x+2)}+\log_{3}{(x+3)}+1=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.