Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - równanie logarytmiczne


Rozwiązać równanie logarytmiczne \frac{2}{\log{x}+1}-\frac{1}{\log{x}-1}=0


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Określamy dziedzinę równania
\begin{cases} x^>0 \\ \log{x}+1\neq 0 \\ \log{x}-1\neq 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x^>0 \\ \log{x}\neq -1 \\ \log{x}\neq 1 \end{cases} \\ \begin{cases} x^>0 \\ x\neq -\frac{1}{10} \\ x\neq 10 \end{cases} \\ x\in (0;10)\cup (10;+\infty)
\frac{2}{\log{x}+1}-\frac{1}{\log{x}-1}=0 \\ \log{x}=t \\ \frac{2}{t+1}-\frac{1}{t-1}=0
\frac{2(t-1)}{(t+1)(t-1)}-\frac{t+1}{(t-1)(t+1)}=0 \\ \frac{2(t-1)-(t+1)}{(t-1)(t+1)}=0 \\ \frac{2t-2-t-1}{(t-1)(t+1)}=0 \\ \frac{t-3}{(t-1)(t+1)}=0
t-3=0 \\ t=3 \\ \log{x}=3 \Leftrightarrow 10^3=x \\ x=1000

Liczba 1000 należy do dziedziny równania. Rozwiązaniem równania \frac{2}{\log{x}+1}-\frac{1}{\log{x}-1}=0 jest liczba 1000.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

W pierwszej kolejności musimy określić dziedzinę danego równania, czyli zbiór wszystkich wartości x, dla których równanie ma sens matematyczny.

Warunek1: Korzystamy z definicji logarytmu: liczba logarytmowana musi być większa od zera. Logarytmujemy tutaj wartość zmiennej x.

Warunek 2: Ponadto mianowniki obu ułamków muszą być różne od zera.

W równaniach nie zapisano podstaw logarytmów. Oznacza to, że podstawą logarytmów jest liczba 10. Mamy więc trzy warunki, które zapisujemy w układzie. Następnie rozwiązujemy go.

\begin{cases} x^>0 \\ \log{x}+1\neq 0 \\ \log{x}-1\neq 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x^>0 \\ \log{x}\neq -1 \\ \log{x}\neq 1 \end{cases} \\ \begin{cases} x^>0 \\ x\neq -\frac{1}{10} \\ x\neq 10 \end{cases} \\ x\in (0;10)\cup (10;+\infty)

Rozwiązaliśmy tutaj przy okazji dwa proste równania logarytmiczne na podstawie definicji logarytmu.

\log{x}\neq -1 \Leftrightarrow 10^{-1}\neq x \Leftrightarrow x\neq \frac{1}{10}

oraz

\log{x}\neq 1 \Leftrightarrow 10^{1}\neq x \Leftrightarrow x\neq 10

W zbiorze określonym wyżej będziemy szukać rozwiązań równania logarytmicznego.


Rozwiązujemy teraz równanie logarytmiczne.

Najłatwiej będzie zastosować tutaj podstawienie za logx nową zmienną t.

\frac{2}{\log{x}+1}-\frac{1}{\log{x}-1}=0 \\ \log{x}=t \\ \frac{2}{t+1}-\frac{1}{t-1}=0

Aby rozwiązać powyższe równanie, musimy sprowadzić oba ułamki do wspólnego mianownika, mnożąc licznik i mianownik jednego ułamka przez mianownik drugiego. W mianowniku możemy wówczas zastosować wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

\frac{2}{t+1}-\frac{1}{t-1}=0 \\ \frac{2(t-1)}{(t+1)(t-1)}-\frac{t+1}{(t-1)(t+1)}=0 \\ \frac{2(t-1)-(t+1)}{(t-1)(t+1)}=0 \\ \frac{2t-2-t-1}{(t-1)(t+1)}=0 \\ \frac{t-3}{(t-1)(t+1)}=0

Ułamek jest równy zero, jeżeli jego licznik jest równy zero. Możemy więc przyrównać do zera licznik powyższego ułamka i wrócić do pierwotnej zmiennej.

t-3=0 \\ t=3 \\ \log{x}=3 \Leftrightarrow 10^3=x \\ x=1000

Ponieważ liczba 1000 należy do dziedziny równania, jest jednocześnie rozwiązaniem naszego równania logarytmicznego.

ksiązki Odpowiedź

Rozwiązaniem równania \frac{2}{\log{x}+1}-\frac{1}{\log{x}-1}=0 jest liczba 1000.

© medianauka.pl, 2009-12-12, ZAD-432





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.