Zadanie - równanie logarytmiczne

Treść zadania:

Rozwiązać równanie logarytmiczne \(\frac{2}{\log{x}+1}-\frac{1}{\log{x}-1}=0\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

W pierwszej kolejności musimy określić dziedzinę danego równania, czyli zbiór wszystkich wartości \(x\), dla których równanie ma sens matematyczny.

Warunek 1: Korzystamy z definicji logarytmu: liczba logarytmowana musi być większa od zera. Logarytmujemy tutaj wartość zmiennej \(x\).

Warunek 2: Ponadto mianowniki obu ułamków muszą być różne od zera.

W równaniach nie zapisano podstaw logarytmów. Oznacza to, że podstawą logarytmów jest liczba 10. Mamy więc trzy warunki, które zapisujemy w układzie. Następnie rozwiązujemy go.

\(\begin{cases} x^>0 \\ \log{x}+1\neq 0 \\ \log{x}-1\neq 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x^>0 \\ \log{x}\neq -1 \\ \log{x}\neq 1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x^>0 \\ x\neq -\frac{1}{10} \\ x\neq 10 \end{cases}\)

\(x\in (0;10)\cup (10;+\infty)\)

Rozwiązaliśmy tutaj przy okazji dwa proste równania logarytmiczne na podstawie definicji logarytmu.

\(\log{x}\neq -1 \Leftrightarrow 10^{-1}\neq x \Leftrightarrow x\neq \frac{1}{10}\)

oraz

\(\log{x}\neq 1 \Leftrightarrow 10^{1}\neq x \Leftrightarrow x\neq 10\)

W zbiorze określonym wyżej będziemy szukać rozwiązań równania logarytmicznego.


Rozwiązujemy teraz równanie logarytmiczne.

Najłatwiej będzie zastosować tutaj podstawienie za \(\log{x}\) nową zmienną \(t\).

\(\frac{2}{\log{x}+1}-\frac{1}{\log{x}-1}=0\)

\(\log{x}=t\)

\(\frac{2}{t+1}-\frac{1}{t-1}=0\)

Aby rozwiązać powyższe równanie, musimy sprowadzić oba ułamki do wspólnego mianownika, mnożąc licznik i mianownik jednego ułamka przez mianownik drugiego. W mianowniku możemy wówczas zastosować wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

\(\frac{2}{t+1}-\frac{1}{t-1}=0\)

\(\frac{2(t-1)}{(t+1)(t-1)}-\frac{t+1}{(t-1)(t+1)}=0\)

\(\frac{2(t-1)-(t+1)}{(t-1)(t+1)}=0\)

\(\frac{2t-2-t-1}{(t-1)(t+1)}=0\)

\(\frac{t-3}{(t-1)(t+1)}=0\)

Ułamek jest równy zero, jeżeli jego licznik jest równy zero. Możemy więc przyrównać do zera licznik powyższego ułamka i wrócić do pierwotnej zmiennej.

\(t-3=0\)

\(t=3\)

\(\log{x}=3 \Leftrightarrow 10^3=x\)

\(x=1000\)

Ponieważ liczba 1000 należy do dziedziny równania, jest jednocześnie rozwiązaniem naszego równania logarytmicznego.

ksiązki Odpowiedź

Rozwiązaniem równania \(\frac{2}{\log{x}+1}-\frac{1}{\log{x}-1}=0\) jest liczba \(1000\).

© medianauka.pl, 2009-12-12, ZAD-432

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać równanie \(\log_{x}{x}=2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać równanie \(\log_{x}{x}=1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać równanie \(\log_{x}{3x}=3\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać równanie \(\log_{2}{(\log_{3}{x})}=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać równanie logarytmiczne \(\log_{4}{[\log_{2}{(x-4)}]}=2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Rozwiązać równanie logarytmiczne \(\log_{3}{(1-x)}=\log_{3}{(x-3)}+2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Rozwiązać równanie logarytmiczne \(\log_{\frac{1}{3}}{(x+2)}+\log_{3}{(x+3)}+1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.