Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Zadanie - równanie logarytmiczne

Rozwiązać równanie \log_{x}{x}=2

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Określamy dziedzinę równania:

\begin{cases} x^>0 \\ x\neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow x\in (0;1)\cup (1;+\infty)

\log_{x}{x}=2 \Leftrightarrow x^2=x
x^2=x \\ x^2-x=0 \\ x(x-1)=0 \\ x_1=0, \ x_2=1
Żaden z pierwiastków nie należy do dziedziny naszego równania logarytmicznego, więc równanie \log_{x}{x}=2 jest sprzeczne (nie ma rozwiązania).

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

W pierwszej kolejności określamy dziedzinę równania, czyli zbiór wszystkich wartości x, dla których równanie (w tym logarytm) ma sens matematyczny

Po pierwsze liczba logarytmowana musi być większa od zera, a po drugie podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią i różną od jedności. Oba warunki możemy zapisać w następujący sposób:

\begin{cases} x^>0 \\ x\neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow x\in (0;1)\cup (1;+\infty)

Rozwiązań będziemy szukać w zbiorze określonym powyżej. Aby rozwiązać nasze równanie wystarczy skorzystać z definicji logarytmu. Dla <h2><img src="grafika/teoria-ikona.gif" alt="" width="40" height="30" style="vertical-align:bottom;" /> Rozwiązanie zadania uproszczone</h2>

\log_{a}{b}=c \Leftrightarrow a^c=b

Mamy więc:

\log_{x}{x}=2 \Leftrightarrow x^2=x tło tło tło tło tło tło

Dalej już rozwiązujemy równanie kwadratowe, przenosząc wszystkie wyrazy na jedną stronę i wyłączając x przed nawias. Otrzymujemy postać iloczynową, z której odczytujemy rozwiązanie.

x^2=x \\ x^2-x=0 \\ x(x-1)=0 \\ x_1=0, \ x_2=1

Żaden z pierwiastków nie należy do dziedziny naszego równania logarytmicznego, a więc równanie \log_{x}{x}=2 nie ma rozwiązań.

ksiązki Odpowiedź

Równanie \log_{x}{x}=2 jest sprzeczne.

© medianauka.pl, 2009-12-11, ZAD-425





Zadania podobne

kulkaZadanie - równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie \log_{x}{x}=1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - rozwiązać równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie \log_{x}{3x}=3

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - rozwiązać równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie \log_{2}{(\log_{3}{x})}=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - rozwiąż równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie logarytmiczne \log_{4}{[\log_{2}{(x-4)}]}=2

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie logarytmiczne \log_{3}{(1-x)}=\log_{3}{(x-3)}+2

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie logarytmiczne \log_{\frac{1}{3}}{(x+2)}+\log_{3}{(x+3)}+1=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie logarytmiczne \frac{2}{\log{x}+1}-\frac{1}{\log{x}-1}=0

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.