Nauka » Matematyka » Równanie logarytmiczne

Zadanie - równanie logarytmiczne

Rozwiązać równanie $\log_{x}{x}=2$

Rozwiązanie zadania uproszczone

Określamy dziedzinę równania:

$\begin{cases} x^>0 \\ x\neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow x\in (0;1)\cup (1;+\infty)$

$\log_{x}{x}=2 \Leftrightarrow x^2=x$
$x^2=x \\ x^2-x=0 \\ x(x-1)=0 \\ x_1=0, \ x_2=1$
Żaden z pierwiastków nie należy do dziedziny naszego równania logarytmicznego, więc równanie $\log_{x}{x}=2$ jest sprzeczne (nie ma rozwiązania).

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

W pierwszej kolejności określamy dziedzinę równania, czyli zbiór wszystkich wartości x, dla których równanie (w tym logarytm) ma sens matematyczny

Po pierwsze liczba logarytmowana musi być większa od zera, a po drugie podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią i różną od jedności. Oba warunki możemy zapisać w następujący sposób:

$\begin{cases} x^>0 \\ x\neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow x\in (0;1)\cup (1;+\infty)$

Rozwiązań będziemy szukać w zbiorze określonym powyżej. Aby rozwiązać nasze równanie wystarczy skorzystać z definicji logarytmu. Dla

$\log_{a}{b}=c \Leftrightarrow a^c=b$

Mamy więc:

$\log_{x}{x}=2 \Leftrightarrow x^2=x$ tło

Dalej już rozwiązujemy równanie kwadratowe, przenosząc wszystkie wyrazy na jedną stronę i wyłączając x przed nawias. Otrzymujemy postać iloczynową, z której odczytujemy rozwiązanie.

$x^2=x \\ x^2-x=0 \\ x(x-1)=0 \\ x_1=0, \ x_2=1$

Żaden z pierwiastków nie należy do dziedziny naszego równania logarytmicznego, a więc równanie $\log_{x}{x}=2$ nie ma rozwiązań.

Odpowiedź

Równanie $\log_{x}{x}=2$ jest sprzeczne.

Zadania podobne

Zadanie - równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie $\log_{x}{x}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - rozwiązać równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie $\log_{x}{3x}=3$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - rozwiązać równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie $\log_{2}{(\log_{3}{x})}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - rozwiąż równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie logarytmiczne $\log_{4}{[\log_{2}{(x-4)}]}=2$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie logarytmiczne $\log_{3}{(1-x)}=\log_{3}{(x-3)}+2$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie logarytmiczne $\log_{\frac{1}{3}}{(x+2)}+\log_{3}{(x+3)}+1=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie logarytmiczne $\frac{2}{\log{x}+1}-\frac{1}{\log{x}-1}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.