Nauka » Matematyka » Równanie logarytmiczne

Zadanie - równanie logarytmiczne

Rozwiązać równanie logarytmiczne $\log_{3}{(1-x)}=\log_{3}{(x-3)}+2$

Rozwiązanie zadania uproszczone

Określamy dziedzinę równania:

$\begin{cases} 1-x^>0/\cdot (-1) \\ x-3>0 \end{cases} \\ \begin{cases} x-1^<0 \\ x>3 \end{cases} \\ \begin{cases} x^<1 \\ x>3 \end{cases}$
rysunek pomocniczy

$x\in \empty$
Równanie $\log_{3}{(1-x)}=\log_{3}{(x-3)}+2$ nie ma rozwiązania.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

W pierwszej kolejności, jak zawsze w przypadku równań logarytmicznych, określamy dziedzinę równania, czyli zbiór wszystkich takich wartości x, dla których równanie logarytmiczne ma sens matematyczny.

Na podstawie definicji logarytmu wiemy, że liczba logarytmowana musi być większa od zera. Logarytmujemy tutaj wartość (1-x) oraz (x+3). Mamy więc dwa warunki, które ujmujemy w klamrę i rozwiązujemy układ nierówności liniowych:

$\begin{cases} 1-x^>0/\cdot (-1) \\ x-3>0 \end{cases} \\ \begin{cases} x-1^<0 \\ x>3 \end{cases} \\ \begin{cases} x^<1 \\ x>3 \end{cases}$

Można jeszcze naszkicować oś liczbową z zaznaczonymi przedziałami i odczytać rozwiązanie - część wspólną przedziałów.
rysunek pomocniczy

$x\in \empty$

Jak widać, oba zbiory nie mają części wspólnej. Dziedziną tego równania jest zbiór pusty (nie ma takiej wartości x, dla której oba logarytmy mają jednocześnie sens matematyczny).

Nie znajdziemy więc żadnego rozwiązania naszego równania logarytmicznego.