Nauka » Matematyka » Równanie logarytmiczne

Zadanie - równanie logarytmiczne

Treść zadania:

Rozwiązać równanie logarytmiczne \(\log_{\frac{1}{3}}{(x+2)}+\log_{3}{(x+3)}+1=0\).

Rozwiązanie zadania

Określamy dziedzinę równania, czyli zbiór wszystkich wartości \(x\), dla których równanie ma sens matematyczny.

Liczba logarytmowana musi być większa od zera. Logarytmujemy tutaj wartość \((x+2)\) oraz \((x+3)\). Zapisujemy więc oba warunki i rozwiązujemy układ nierówności:

\(\begin{cases} x+2^>0 \\ x+3>0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x^>-2 \\ x>-3 \end{cases}\)

rysunek pomocniczy

Rozwiązaniem układu jest część wspólna obu przedziałów, a wiec:

\(x\in (-2;+\infty)\)

W zbiorze określonym wyżej będziemy szukać rozwiązań równania logarytmicznego.

Przystępujemy do rozwiązania równania logarytmicznego.

Mamy tutaj dwa logarytmy o różnych podstawach. Musimy to zmienić. Skorzystamy z własności logarytmów (dla podstaw logarytmów dodatnich i różnych od jedności oraz dodatnich liczb logarytmowanych):

\(\log_{a}{b}= \log_{c}{a}\cdot \log_{c}{b}\)

Mamy zatem:

\(\log_{\frac{1}{3}}{(x+2)}+\log_{3}{(x+3)}+1=0\)

\(\log_{\frac{1}{3}}{(x+2)}+\log_{\frac{1}{3}}{3}\cdot \log_{\frac{1}{3}}{(x+3)}=-1\)

\(\log_{\frac{1}{3}}{(x+2)}+(-1)\cdot \log_{\frac{1}{3}}{(x+3)}=-1\)

\(\log_{\frac{1}{3}}{(x+2)}-\log_{\frac{1}{3}}{(x+3)}=-1\)

Teraz skorzystamy z innej własności działań na logarytmach:

\(\log_{a}{b}-\log_{a}{c}= \log_{a}{\frac{b}{c}}\)

Mamy zatem:

\(\log_{\frac{1}{3}}{(x+2)}-\log_{\frac{1}{3}}{(x+3)}=-1\)

\(\log_{\frac{1}{3}}{\frac{x+2}{x+3}}=-1\)

\((\frac{1}{3})^{-1}=\frac{x+2}{x+3}\)

W ostatnim kroku skorzystano z definicji logarytmu

\(\log_{a}{b}=c \Leftrightarrow a^c=b\)

Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę równania, sprowadzamy do wspólnego mianownika i korzystamy z własności ułamków: ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest zerem.

\((\frac{1}{3})^{-1}=\frac{x+2}{x+3}\)

\(3=\frac{x+2}{x+3}\)

\(3-\frac{x+2}{x+3}=0\)

\(\frac{3(x+3)}{x+3}-\frac{x+2}{x+3}=0\)

\(\frac{3(x+3)-(x+2)}{x+3}=0\)

\(3x+9-x-2=0\)

\(2x+7=0\)

\(2x=-7\)

\(x=-3\frac{1}{2}\)

Niestety liczba \(-3,5\) nie należy do dziedziny równania, zatem równanie logarytmiczne nie ma rozwiązania.