Nauka » Matematyka » Równanie logarytmiczne

Zadanie - równanie logarytmiczne

Rozwiązać równanie logarytmiczne $\log_{\frac{1}{3}}{(x+2)}+\log_{3}{(x+3)}+1=0$

Rozwiązanie zadania uproszczone

Określamy dziedzinę równania
$\begin{cases} x+2^>0 \\ x+3>0 \end{cases} \\ \begin{cases} x^>-2 \\ x>-3 \end{cases}$
rysunek pomocniczy

$x\in (-2;+\infty)$

$\log_{\frac{1}{3}}{(x+2)}+\log_{3}{(x+3)}+1=0 \\ \log_{\frac{1}{3}}{(x+2)}+\log_{\frac{1}{3}}{3}\cdot \log_{\frac{1}{3}}{(x+3)}=-1 \\ \log_{\frac{1}{3}}{(x+2)}-\log_{\frac{1}{3}}{(x+3)}=-1$
$\log_{\frac{1}{3}}{\frac{x+2}{x+3}}=-1 \\ (\frac{1}{3})^{-1}=\frac{x+2}{x+3}$
$3=\frac{x+2}{x+3} \\ 3-\frac{x+2}{x+3}=0 \\ \frac{3(x+3)}{x+3}-\frac{x+2}{x+3}=0 \\ \frac{3(x+3)-(x+2)}{x+3}=0 \\ 3x+9-x-2=0 \\ 2x+7=0 \\ 2x=-7 \\ x=-3\frac{1}{2}$
Liczba -3,5 nie należy do dziedziny równania.
Równanie $\log_{\frac{1}{3}}{(x+2)}+\log_{3}{(x+3)}+1=0$ nie ma rozwiązania.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Określamy dziedzinę równania, czyli zbiór wszystkich wartości x, dla których równanie ma sens matematyczny.

Liczba logarytmowana musi być większa od zera. Logarytmujemy tutaj wartość (x+2) oraz (x+3). Zapisujemy więc oba warunki i rozwiązujemy układ nierówności:

$\begin{cases} x+2^>0 \\ x+3>0 \end{cases} \\ \begin{cases} x^>-2 \\ x>-3 \end{cases}$

rysunek pomocniczy

Rozwiązaniem układu jest część wspólna obu przedziałów, a wiec:

$x\in (-2;+\infty)$

W zbiorze określonym wyżej będziemy szukać rozwiązań równania logarytmicznego.

Przystępujemy do rozwiązania równania logarytmicznego.

Mamy tutaj dwa logarytmy o różnych podstawach. Musimy to zmienić. Skorzystamy z własności logarytmów (dla podstaw logarytmów dodatnich i różnych od jedności oraz dodatnich liczb logarytmowanych):

$\log_{a}{b}=\log_{c}{a}\cdot \log_{c}{b}$

Mamy zatem:

Teraz skorzystamy z innej własności działań na logarytmach:

$\log_{a}{b}-\log_{a}{c}=\log_{a}{\frac{b}{c}}$

Mamy zatem:

$\log_{\frac{1}{3}}{(x+2)}-\log_{\frac{1}{3}}{(x+3)}=-1 \\ \log_{\frac{1}{3}}{\frac{x+2}{x+3}}=-1 \\ (\frac{1}{3})^{-1}=\frac{x+2}{x+3}$

W ostatnim kroku skorzystano z definicji logarytmu

$\log_{a}{b}=c \Leftrightarrow a^c=b$

Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę równania, sprowadzamy do wspólnego mianownika i korzystamy z własności ułamków: ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest zerem.

$(\frac{1}{3})^{-1}=\frac{x+2}{x+3} \\ 3=\frac{x+2}{x+3} \\ 3-\frac{x+2}{x+3}=0 \\ \frac{3(x+3)}{x+3}-\frac{x+2}{x+3}=0 \\ \frac{3(x+3)-(x+2)}{x+3}=0 \\ 3x+9-x-2=0 \\ 2x+7=0 \\ 2x=-7 \\ x=-3\frac{1}{2}$