Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie - rozwiązać równanie logarytmiczne


Rozwiązać równanie \log_{x}{3x}=3


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Określamy dziedzinę równania:

\begin{cases} x^>0 \\ x\neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow x\in (0;1)\cup (1;+\infty)

\log_{x}{3x}=3 \Leftrightarrow x^3=3x
x^3-3x=0 \\ x(x^2-3)=0 \\ x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0\\ x_1=0, \ x_2=\sqrt{3}, \ x_3=-\sqrt{3}
Tylko x2 należy do dziedziny równania. Równanie \log_{x}{3x}=3 ma zatem jedno rozwiązanie: \sqrt{3}.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Określamy na początku dziedzinę równania, czyli zbiór wszystkich wartości x, dla których równanie (w tym logarytm) ma sens matematyczny.

Warunek 1

Liczba logarytmowana musi być większa od zera.

Warunek 2

Podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią i różną od jedności.

Oba warunki możemy zapisać w następujący sposób:

\begin{cases} 3x^>0/:3 \\ x\neq 1 \end{cases} \ \Leftrightarrow \begin{cases} x^>0/:3 \\ x\neq 1 \end{cases} \ \ \Leftrightarrow x\in (0;1)\cup (1;+\infty)

Rozwiązań naszego równania będziemy szukać wyłącznie w zbiorze określonym w powyższej ramce.

Aby rozwiązać dane równanie wystarczy skorzystać wprost z definicji logarytmu.

Dla a,b\in R_+ \ i \ a\neq 1

\log_{a}{b}=c \Leftrightarrow a^c=b

Mamy więc:

\log_{x}{3x}=3 \Leftrightarrow x^3=3x tło tło tło tło tło tło

Teraz rozwiązujemy zwykłe równanie algebraiczne.

Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę i doprowadzamy je do postaci iloczynowej (wyjmujemy x przed nawias, a następnie korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów).

x^3=x \\ x^3-x=0 \\ x(x^2-3)=0 \\ x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0\\ x_1=0, \ x_2=\sqrt{3}, \ x_3=-\sqrt{3}

W ten sposób otrzymaliśmy trzy rozwiązania. Pierwszy i trzeci pierwiastek nie należy do dziedziny równania, którą określiliśmy na wstępie. Należy do tego zbioru tylko drugi pierwiastek i tylko ta liczba może być rozwiązaniem danego równania logarytmicznego.

Zatem równanie \log_{x}{3x}=3 ma jedno rozwiązanie: \sqrt{3}.

ksiązki Odpowiedź

Rozwiązaniem równania \log_{x}{3x}=3 jest liczba \sqrt{3}.

© medianauka.pl, 2009-12-11, ZAD-428





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.