Strona główna » Matematyka » Równanie logarytmiczne

Zadanie - rozwiązać równanie logarytmiczne

Rozwiązać równanie $\log_{x}{3x}=3$

Rozwiązanie zadania uproszczone

Określamy dziedzinę równania:

$\begin{cases} x^>0 \\ x\neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow x\in (0;1)\cup (1;+\infty)$

$\log_{x}{3x}=3 \Leftrightarrow x^3=3x$
$x^3-3x=0 \\ x(x^2-3)=0 \\ x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0\\ x_1=0, \ x_2=\sqrt{3}, \ x_3=-\sqrt{3}$
Tylko x₂ należy do dziedziny równania. Równanie $\log_{x}{3x}=3$ ma zatem jedno rozwiązanie: $\sqrt{3}$ .

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Określamy na początku dziedzinę równania, czyli zbiór wszystkich wartości x, dla których równanie (w tym logarytm) ma sens matematyczny.

Warunek 1

Liczba logarytmowana musi być większa od zera.

Warunek 2

Podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią i różną od jedności.

Oba warunki możemy zapisać w następujący sposób:

$\begin{cases} 3x^>0/:3 \\ x\neq 1 \end{cases} \ \Leftrightarrow \begin{cases} x^>0/:3 \\ x\neq 1 \end{cases} \ \ \Leftrightarrow x\in (0;1)\cup (1;+\infty)$

Rozwiązań naszego równania będziemy szukać wyłącznie w zbiorze określonym w powyższej ramce.

Aby rozwiązać dane równanie wystarczy skorzystać wprost z definicji logarytmu.

Dla $a,b\in R_+ \ i \ a\neq 1$

$\log_{a}{b}=c \Leftrightarrow a^c=b$

Mamy więc:

$\log_{x}{3x}=3 \Leftrightarrow x^3=3x$ tło

Teraz rozwiązujemy zwykłe równanie algebraiczne.

Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę i doprowadzamy je do postaci iloczynowej (wyjmujemy x przed nawias, a następnie korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów).

$x^3=x \\ x^3-x=0 \\ x(x^2-3)=0 \\ x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0\\ x_1=0, \ x_2=\sqrt{3}, \ x_3=-\sqrt{3}$

W ten sposób otrzymaliśmy trzy rozwiązania. Pierwszy i trzeci pierwiastek nie należy do dziedziny równania, którą określiliśmy na wstępie. Należy do tego zbioru tylko drugi pierwiastek i tylko ta liczba może być rozwiązaniem danego równania logarytmicznego.

Zatem równanie $\log_{x}{3x}=3$ ma jedno rozwiązanie: $\sqrt{3}$ .