Zadanie - rozwiązać równanie logarytmiczne


Rozwiązać równanie \log_{x}{3x}=3

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Określamy dziedzinę równania:

\begin{cases} x^>0 \\ x\neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow x\in (0;1)\cup (1;+\infty)

\log_{x}{3x}=3 \Leftrightarrow x^3=3x
x^3-3x=0 \\ x(x^2-3)=0 \\ x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0\\ x_1=0, \ x_2=\sqrt{3}, \ x_3=-\sqrt{3}
Tylko x2 należy do dziedziny równania. Równanie \log_{x}{3x}=3 ma zatem jedno rozwiązanie: \sqrt{3}.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Określamy na początku dziedzinę równania, czyli zbiór wszystkich wartości x, dla których równanie (w tym logarytm) ma sens matematyczny.

Warunek 1

Liczba logarytmowana musi być większa od zera.

Warunek 2

Podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią i różną od jedności.

Oba warunki możemy zapisać w następujący sposób:

\begin{cases} 3x^>0/:3 \\ x\neq 1 \end{cases} \ \Leftrightarrow \begin{cases} x^>0/:3 \\ x\neq 1 \end{cases} \ \ \Leftrightarrow x\in (0;1)\cup (1;+\infty)

Rozwiązań naszego równania będziemy szukać wyłącznie w zbiorze określonym w powyższej ramce.

Aby rozwiązać dane równanie wystarczy skorzystać wprost z definicji logarytmu.

Dla a,b\in R_+ \ i \ a\neq 1

\log_{a}{b}=c \Leftrightarrow a^c=b

Mamy więc:

\log_{x}{3x}=3 \Leftrightarrow x^3=3x tło tło tło tło tło tło

Teraz rozwiązujemy zwykłe równanie algebraiczne.

Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę i doprowadzamy je do postaci iloczynowej (wyjmujemy x przed nawias, a następnie korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów).

x^3=x \\ x^3-x=0 \\ x(x^2-3)=0 \\ x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0\\ x_1=0, \ x_2=\sqrt{3}, \ x_3=-\sqrt{3}

W ten sposób otrzymaliśmy trzy rozwiązania. Pierwszy i trzeci pierwiastek nie należy do dziedziny równania, którą określiliśmy na wstępie. Należy do tego zbioru tylko drugi pierwiastek i tylko ta liczba może być rozwiązaniem danego równania logarytmicznego.

Zatem równanie \log_{x}{3x}=3 ma jedno rozwiązanie: \sqrt{3}.

ksiązki Odpowiedź

Rozwiązaniem równania \log_{x}{3x}=3 jest liczba \sqrt{3}.

© medianauka.pl, 2009-12-11, ZAD-428

Zadania podobne

kulkaZadanie - równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie \log_{x}{x}=2

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie \log_{x}{x}=1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - rozwiązać równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie \log_{2}{(\log_{3}{x})}=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - rozwiąż równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie logarytmiczne \log_{4}{[\log_{2}{(x-4)}]}=2

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie logarytmiczne \log_{3}{(1-x)}=\log_{3}{(x-3)}+2

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie logarytmiczne \log_{\frac{1}{3}}{(x+2)}+\log_{3}{(x+3)}+1=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie logarytmiczne \frac{2}{\log{x}+1}-\frac{1}{\log{x}-1}=0

Pokaż rozwiązanie zadania






Polecamy w naszym sklepie

Kolorowe skarpetki - kolorowe grochy
Krótka podróż w głąb matematyki
Matematyka olimpijska. Kombinatoryka
Mapa świata Puzzle
Liczby, ich dzieje, rodzaje, własności
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2022 r.