Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - własności logarytmów, oblicz wartość wyrażenia


Oblicz wartość wyrażenia 4^{1-\log_{2}{3}}


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

4^{1-\log_{2}{3}}=(2^2)^{1-\log_{2}{3}}=2^{2(1-\log_{2}{3})}=2^{2-2\log_{2}{3}}=
=2^{\log_{2}{4}-\log_{2}{3^2}}=2^{\log_{2}{4}-\log_{2}{9}}=2^{\log_{2}{\frac{4}{9}}}=\frac{4}{9}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Musimy w tym przypadku skorzystać z własności logarytmów i potęg. Kluczową własnością logarytmów będzie w naszym przypadku:

a^{log_{a}{b}}=b

W podstawie logarytmu mamy liczbę 2, natomiast w podstawie potęgi liczbę 4. Musimy dokonać drobnego przekształcenia, korzystając przy okazji z własności działań na potęgach:

(a^m)^{n}=a^{m\cdot n}

Mamy zatem:

4^{1-\log_{2}{3}}=(2^2)^{1-\log_{2}{3}}=2^{2(1-\log_{2}{3})}=2^{2-2\log_{2}{3}} tło tło

Nie możemy jeszcze skorzystać z pierwszego wzoru. Musimy najpierw przekształcić wykładnik potęgi.
Liczbę 2 możemy zamienić na logarytm w prosty sposób: 2=log24, bo 22=4. Natomiast w drugim składniku różnicy skorzystamy z następującej własności logarytmów:

n\cdot\log_{a}{b}=\log_{a}{b^n}

Przekształcamy wykładnik według powyższego w następujący sposób:

2^{2-2\log_{2}{3}}=2^{\log_{2}{4}-\log_{2}{3^2}}=2^{\log_{2}{4}-\log_{2}{9}} tło tło tło tło

W tej chwili należy skorzystać ze wzoru na różnicę logarytmów.

\log_{a}{b}-\log_{a}{c}=\log_{a}{\frac{b}{c}}

Otrzymujemy:

2^{\log_{2}{4}-\log_{2}{9}}=2^{\log_{2}{\frac{4}{9}}}=\frac{4}{9}

W ostatnim kroku mogliśmy w końcu skorzystać z pierwszej przytoczonej tutaj własności logarytmów.

ksiązki Odpowiedź

4^{1-\log_{2}{3}}=\frac{4}{9}

© medianauka.pl, 2009-12-02, ZAD-409


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.