Strona główna » Matematyka » Własności logarytmów

zadanie

Zadanie - własności logarytmów, oblicz wartość wyrażenia

Oblicz wartość wyrażenia $4^{1-\log_{2}{3}}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$4^{1-\log_{2}{3}}=(2^2)^{1-\log_{2}{3}}=2^{2(1-\log_{2}{3})}=2^{2-2\log_{2}{3}}=$
$=2^{\log_{2}{4}-\log_{2}{3^2}}=2^{\log_{2}{4}-\log_{2}{9}}=2^{\log_{2}{\frac{4}{9}}}=\frac{4}{9}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Musimy w tym przypadku skorzystać z własności logarytmów i potęg. Kluczową własnością logarytmów będzie w naszym przypadku:

$a^{log_{a}{b}}=b$

W podstawie logarytmu mamy liczbę 2, natomiast w podstawie potęgi liczbę 4. Musimy dokonać drobnego przekształcenia, korzystając przy okazji z własności działań na potęgach:

$(a^m)^{n}=a^{m\cdot n}$

Mamy zatem:

$4^{1-\log_{2}{3}}=(2^2)^{1-\log_{2}{3}}=2^{2(1-\log_{2}{3})}=2^{2-2\log_{2}{3}}$ tło

Nie możemy jeszcze skorzystać z pierwszego wzoru. Musimy najpierw przekształcić wykładnik potęgi.
Liczbę 2 możemy zamienić na logarytm w prosty sposób: 2=log₂4, bo 2²=4. Natomiast w drugim składniku różnicy skorzystamy z następującej własności logarytmów:

$n\cdot\log_{a}{b}=\log_{a}{b^n}$

Przekształcamy wykładnik według powyższego w następujący sposób:

$2^{2-2\log_{2}{3}}=2^{\log_{2}{4}-\log_{2}{3^2}}=2^{\log_{2}{4}-\log_{2}{9}}$ tło

W tej chwili należy skorzystać ze wzoru na różnicę logarytmów.

$\log_{a}{b}-\log_{a}{c}=\log_{a}{\frac{b}{c}}$

Otrzymujemy:

$2^{\log_{2}{4}-\log_{2}{9}}=2^{\log_{2}{\frac{4}{9}}}=\frac{4}{9}$

W ostatnim kroku mogliśmy w końcu skorzystać z pierwszej przytoczonej tutaj własności logarytmów.

Odpowiedź

$4^{1-\log_{2}{3}}=\frac{4}{9}$

© medianauka.pl, 2009-12-02, ZAD-409

Zadania podobne

Zadanie - równanie wykładnicze
Rozwiązać równanie:
a)

Zadanie - własności logarytmów - oblicz wartość wyrażenia
Oblicz wartość wyrażenia $W=5\log{a}-2\log{\frac{a^3}{b^2}}+\log{ab^6}$ dla $a=\frac{7}{11} \ i \ b=\frac{1}{10}$

Zadanie - własności logarytmów - Oblicz wartość wyrażenia
Oblicz: $\frac{5^{-\log_{5}{\frac{1}{8}}}}{2\log_{5}{10}-\log_{5}{4}}$

Zadanie - własności logarytmów
Oblicz wartość wyrażenia: $W=\log_{\frac{1}{3}}{x}+\log_{9}{x^2}+\log_{\sqrt{3}}{\sqrt{x}}-log_{3}{x}$ dla x>0

Zadanie - własności logarytmów - obliczanie logarytmów
Oblicz wartość wyrażenia: $\log_{4}{a}+4\log_{a}{2}$ wiedząc, że $\log_{16}{a}=3$ i a>1.

Zadanie - własności logarytmów
Oblicz:
a) $\log_{5}{25\sqrt[3]{5}}$
b) $\log_{2}{\frac{\sqrt{2}}{4}}$
c) $\log_{2}{16^{\log_{3}{\sqrt{3}}}}$

Zadanie maturalne nr 2, matura 2016 (poziom podstawowy)
Liczba $\log_{\sqrt{2}}{(2\sqrt{2})}$ jest równa:

A. 3/2
B. 2
C. 5/2
D. 3

Zadanie maturalne nr 4, matura 2014
Suma log₈16+1 jest równa

A. 3
B. 3/2
C. log₈17
D. 7/3

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka

Polecamy

Elementy mechaniki kwantowej dla filozofów

Elementy mechaniki kwantowej dla filozofów
Michał Heller

114 całek funkcji wielu zmiennych

114 całek funkcji wielu zmiennych
Regel Wiesława

Nowa fizyka i nowa teologia

Nowa fizyka i nowa teologia
Michał Heller

Zasady statystyki jedno- i dwuwymiarowej T.2

Zasady statystyki jedno- i dwuwymiarowej T.2
Wiesław Wagner, Andrzej Mantaj

© Media Nauka 2008-2017 r.