Nauka » Matematyka » Własności logarytmów

Zadanie - własności logarytmów, oblicz wartość wyrażenia

Oblicz wartość wyrażenia $4^{1-\log_{2}{3}}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$4^{1-\log_{2}{3}}=(2^2)^{1-\log_{2}{3}}=2^{2(1-\log_{2}{3})}=2^{2-2\log_{2}{3}}=$
$=2^{\log_{2}{4}-\log_{2}{3^2}}=2^{\log_{2}{4}-\log_{2}{9}}=2^{\log_{2}{\frac{4}{9}}}=\frac{4}{9}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Musimy w tym przypadku skorzystać z własności logarytmów i potęg. Kluczową własnością logarytmów będzie w naszym przypadku:

$a^{log_{a}{b}}=b$

W podstawie logarytmu mamy liczbę 2, natomiast w podstawie potęgi liczbę 4. Musimy dokonać drobnego przekształcenia, korzystając przy okazji z własności działań na potęgach:

$(a^m)^{n}=a^{m\cdot n}$

Mamy zatem:

$4^{1-\log_{2}{3}}=(2^2)^{1-\log_{2}{3}}=2^{2(1-\log_{2}{3})}=2^{2-2\log_{2}{3}}$ tło

Nie możemy jeszcze skorzystać z pierwszego wzoru. Musimy najpierw przekształcić wykładnik potęgi.
Liczbę 2 możemy zamienić na logarytm w prosty sposób: 2=log₂4, bo 2²=4. Natomiast w drugim składniku różnicy skorzystamy z następującej własności logarytmów:

$n\cdot\log_{a}{b}=\log_{a}{b^n}$

Przekształcamy wykładnik według powyższego w następujący sposób:

$2^{2-2\log_{2}{3}}=2^{\log_{2}{4}-\log_{2}{3^2}}=2^{\log_{2}{4}-\log_{2}{9}}$ tło

W tej chwili należy skorzystać ze wzoru na różnicę logarytmów.

$\log_{a}{b}-\log_{a}{c}=\log_{a}{\frac{b}{c}}$

Otrzymujemy:

$2^{\log_{2}{4}-\log_{2}{9}}=2^{\log_{2}{\frac{4}{9}}}=\frac{4}{9}$

W ostatnim kroku mogliśmy w końcu skorzystać z pierwszej przytoczonej tutaj własności logarytmów.

Odpowiedź

$4^{1-\log_{2}{3}}=\frac{4}{9}$

Zadania podobne

Zadanie - równanie wykładnicze
Rozwiązać równanie:
a)

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - własności logarytmów - oblicz wartość wyrażenia
Oblicz wartość wyrażenia $W=5\log{a}-2\log{\frac{a^3}{b^2}}+\log{ab^6}$ dla $a=\frac{7}{11} \ i \ b=\frac{1}{10}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - własności logarytmów - Oblicz wartość wyrażenia
Oblicz: $\frac{5^{-\log_{5}{\frac{1}{8}}}}{2\log_{5}{10}-\log_{5}{4}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - własności logarytmów
Oblicz wartość wyrażenia: $W=\log_{\frac{1}{3}}{x}+\log_{9}{x^2}+\log_{\sqrt{3}}{\sqrt{x}}-log_{3}{x}$ dla x>0

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - własności logarytmów - obliczanie logarytmów
Oblicz wartość wyrażenia: $\log_{4}{a}+4\log_{a}{2}$ wiedząc, że $\log_{16}{a}=3$ i a>1.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - własności logarytmów
Oblicz:
a) $\log_{5}{25\sqrt[3]{5}}$
b) $\log_{2}{\frac{\sqrt{2}}{4}}$
c) $\log_{2}{16^{\log_{3}{\sqrt{3}}}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 2, matura 2016 (poziom podstawowy)
Liczba $\log_{\sqrt{2}}{(2\sqrt{2})}$ jest równa:

A. 3/2
B. 2
C. 5/2
D. 3

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 4, matura 2014
Suma log₈16+1 jest równa

A. 3
B. 3/2
C. log₈17
D. 7/3

Pokaż rozwiązanie zadania