Nauka » Matematyka » Aksjomat i twierdzenie

Zadanie maturalne nr 31, matura 2022

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $a$ i każdej liczby rzeczywistej $b$ takich, że $b\neq a$, spełniona jest nierówność $\frac{a^2+b^2}{2}>(\frac{a+b}{2})^2$.

Rozwiązanie zadania

Wykonujemy działania:

$\frac{a^2+b^2}{2}>(\frac{a+b}{2})^2$

$\frac{a^2+b^2}{2}>\frac{a^2+2ab+b^2}{4}\cdot 4$

$2a^2+2b^2>a^2+2ab+b^2$

$a^2-2ab+b^2>0$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

$(a-b)^2>0$

Ponieważ $a\neq b$, to kwadrat różnicy tych liczb jest zawsze większy od zera, czego należało dowieść.

Odpowiedź

Odpowiedź A

Zadania podobne

Zadanie - monotoniczność funkcji, dowód wprost

Wykazać na podstawie definicji, że funkcja $f(x)=\frac{x}{2}-3$ jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - monotoniczność funkcji na podstawie definicji

Wykazać na podstawie definicji, że funkcja f(x) = 5-x jest malejąca w całej swojej dziedzinie.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 28, matura 2020

Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność a(a − 2b) + 2b² > 0 .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 30, matura 2021

Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb a,b i c takich, że a < b, spełniona jest nierówność a/b < (a+c)/(b+c).

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 6, matura 2022 - poziom rozszerzony

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ takich, że $2x>y$, spełniona jest nierówność $7x^3+4x^2y\geq y^3+2xy^2-x^3$.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.