Zadanie maturalne nr 30, matura 2021

Rozwiązanie zadania

Przekształcamy nasze wyrażenie:

\(\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}\)

\(\frac{a}{b}-\frac{a+c}{b+c}<0\)

\(\frac{a(b+c)}{b(b+c)}-\frac{b(a+c)}{b(b+c)}<0\)

\(\frac{ab+ac-ab-bc}{b(b+c)}<0\)

\(\frac{ac-bc}{b(b+c)}<0\)

\(\frac{c(a-b)}{b(b+c)}<0\)

\((a-b)\cdot \frac{c}{b(b+c)}<0\)

Z warunków zadania wynika, że \(a<b\), więc czynnik (a-b) jest zawsze ujemny. W liczniku ułamka mamy c - liczbę dodatnią, w mianowniku iloczyn dwóch liczb dodatnich, a zatem \(\frac{c}{b(b+c)}>0\).

Iloczyn liczby ujemnej i dodatniej jest zawsze ujemny, a zatem wyrażenie \((a-b)\cdot \frac{c}{b(b+c)}<0\) czego należało dowieść.

© medianauka.pl, 2023-03-28, ZAD-4819

Zadania podobne

Wykazać na podstawie definicji, że funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

Wykazać na podstawie definicji, że funkcja f(x) = 5-x jest malejąca w całej swojej dziedzinie.

Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność a(a − 2b) + 2b² > 0 .

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) takich, że \(b\neq a\), spełniona jest nierówność \(\frac{a^2+b^2}{2}>(\frac{a+b}{2})^2\).

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) takich, że \(2x>y\), spełniona jest nierówność \(7x^3+4x^2y\geq y^3+2xy^2-x^3\).