Zadanie maturalne nr 6, matura 2022 - poziom rozszerzony
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) takich, że \(2x>y\), spełniona jest nierówność \(7x^3+4x^2y\geq y^3+2xy^2-x^3\).
Rozwiązanie zadania
Przekształcamy nasze wyrażenie:
\(7x^3+4x^2y\geq y^3+2xy^2-x^3\)
\(7x^3+4x^2y-y^3-2xy^2+x^3\geq 0\)
\(8x^3+4x^2y-y^3-2xy^2\geq 0\)
\(4x^2(2x+y)-y^2(2x+y)\geq 0\)
\((2x+y)(4x^2-y^2)\geq 0\)
\((2x+y)(2x-y)(2x+y)\geq 0\)
\((2x-y)(2x+y)^2\geq 0\)
Ponieważ w warunku zadania mamy określone, że \(2x>y\), czyli \(2x-y>0\) i kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, to udowodniliśmy, że wyrażenie \((2x-y)(2x+y)^2\geq 0\) jest prawdziwe dla \(2x>y\).
© medianauka.pl, 2023-04-28, ZAD-4884
Zadania podobne

Wykazać na podstawie definicji, że funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.
Pokaż rozwiązanie zadania

Wykazać na podstawie definicji, że funkcja f(x) = 5-x jest malejąca w całej swojej dziedzinie.
Pokaż rozwiązanie zadania

Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność a(a − 2b) + 2b2 > 0 .
Pokaż rozwiązanie zadania

Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb a,b i c takich, że a < b, spełniona jest nierówność a/b < (a+c)/(b+c).
Pokaż rozwiązanie zadania

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) takich, że \(b\neq a\), spełniona jest nierówność \(\frac{a^2+b^2}{2}>(\frac{a+b}{2})^2\).
Pokaż rozwiązanie zadania