Nauka » Matematyka » Aksjomat i twierdzenie

Zadanie maturalne nr 6, matura 2022 - poziom rozszerzony

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ takich, że $2x>y$, spełniona jest nierówność $7x^3+4x^2y\geq y^3+2xy^2-x^3$.

Rozwiązanie zadania

Przekształcamy nasze wyrażenie:

$7x^3+4x^2y\geq y^3+2xy^2-x^3$

$7x^3+4x^2y-y^3-2xy^2+x^3\geq 0$

$8x^3+4x^2y-y^3-2xy^2\geq 0$

$4x^2(2x+y)-y^2(2x+y)\geq 0$

$(2x+y)(4x^2-y^2)\geq 0$

$(2x+y)(2x-y)(2x+y)\geq 0$

$(2x-y)(2x+y)^2\geq 0$

Ponieważ w warunku zadania mamy określone, że $2x>y$, czyli $2x-y>0$ i kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, to udowodniliśmy, że wyrażenie $(2x-y)(2x+y)^2\geq 0$ jest prawdziwe dla $2x>y$.

Zadania podobne

Zadanie - monotoniczność funkcji, dowód wprost

Wykazać na podstawie definicji, że funkcja $f(x)=\frac{x}{2}-3$ jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - monotoniczność funkcji na podstawie definicji

Wykazać na podstawie definicji, że funkcja f(x) = 5-x jest malejąca w całej swojej dziedzinie.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 28, matura 2020

Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność a(a − 2b) + 2b² > 0 .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 30, matura 2021

Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb a,b i c takich, że a < b, spełniona jest nierówność a/b < (a+c)/(b+c).

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 31, matura 2022

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $a$ i każdej liczby rzeczywistej $b$ takich, że $b\neq a$, spełniona jest nierówność $\frac{a^2+b^2}{2}>(\frac{a+b}{2})^2$.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.