Zadanie maturalne nr 6, matura 2022 - poziom rozszerzony


Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) takich, że \(2x>y\), spełniona jest nierówność \(7x^3+4x^2y\geq y^3+2xy^2-x^3\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Przekształcamy nasze wyrażenie:

\(7x^3+4x^2y\geq y^3+2xy^2-x^3\)

\(7x^3+4x^2y-y^3-2xy^2+x^3\geq 0\)

\(8x^3+4x^2y-y^3-2xy^2\geq 0\)

\(4x^2(2x+y)-y^2(2x+y)\geq 0\)

\((2x+y)(4x^2-y^2)\geq 0\)

\((2x+y)(2x-y)(2x+y)\geq 0\)

\((2x-y)(2x+y)^2\geq 0\)

Ponieważ w warunku zadania mamy określone, że \(2x>y\), czyli \(2x-y>0\) i kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, to udowodniliśmy, że wyrażenie \((2x-y)(2x+y)^2\geq 0\) jest prawdziwe dla \(2x>y\).


© medianauka.pl, 2023-04-28, ZAD-4884

Zadania podobne

kulkaZadanie - monotoniczność funkcji, dowód wprost

Wykazać na podstawie definicji, że funkcja f(x)=\frac{x}{2}-3 jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - monotoniczność funkcji na podstawie definicji

Wykazać na podstawie definicji, że funkcja f(x) = 5-x jest malejąca w całej swojej dziedzinie.



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 28, matura 2020

Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność a(a − 2b) + 2b2 > 0 .



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 30, matura 2021

Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb a,b i c takich, że a < b, spełniona jest nierówność a/b < (a+c)/(b+c).



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 31, matura 2022

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) takich, że \(b\neq a\), spełniona jest nierówność \(\frac{a^2+b^2}{2}>(\frac{a+b}{2})^2\).



Pokaż rozwiązanie zadania




Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
©® Media Nauka 2008-2023 r.