Logo Media Nauka

Czy liczb całkowitych jest więcej od liczb naturalnych?

nieskończoność

Zdrowy rozsądek podpowiada nam, że liczb całkowitych jest około dwa razy więcej niż liczb naturalnych, bo oprócz liczb naturalnych w zborze liczb całkowitych są jeszcze przecież liczby do nich przeciwne.

Jest jednak inaczej. Liczb naturalnych jest dokładnie tyle samo ile liczb całkowitych!

Nie trzeba wcale wyższej matematyki, aby to udowodnić. Wystarczy oprzeć się na zasadzie liczenia elementów zbioru.

Spójrz na poniższy przykład. Zbiory A i B mają tyle samo elementów, bo wszystkie elementy tych zbiorów można połączyć w pary. Mówimy, że zbory te są równoliczne. Małpek jest tyle samo ile słoni. Mówiąc inaczej znaleźliśmy odwzorowanie takie, że każdemu elementowi ze zbioru A przypisujemy dokładnie jeden element ze zbioru B (odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne, bijekcja).

zbiory równoliczne

Spójrzmy na poniższy przykład:

zbiory nierównoliczne

Ponieważ jednemu elementowi ze zbioru A nie możemy przypisać żadnego elementu ze zbioru B, możemy z całą pewnością powiedzieć, że krokodyli jest więcej niż ryb.

Poprzez analogię postąpimy z liczbami naturalnymi i całkowitymi:

Równolicznośc zbioru liczb całkowitych i naturalnych.

Jak widać każdemu elementowi ze zbioru liczb naturalnych możemy przypisać dokładnie jeden element ze zbioru liczb całkowitych. Wszystkie liczby z obu zbiorów mamy połączone w pary!

Liczb całkowitych jest więc tyle samo ile liczb naturalnych!

Uwaga! Nie możemy tego samego powiedzieć o wszystkich zbiorach, które mają nieskończenie wiele elementów. O ile można udowodnić, że liczb naturalnych jest tyle ile na przykład liczb parzystych (spróbuj sam), to już liczb rzeczywistych jest więcej niż całkowitych.

Mamy tu, jak widać, do czynienia z "większymi" i "mniejszymi" nieskończonościami. Nieskończonościami (w tym liczbami kardynalnymi) zajmował się jako pierwszy niemiecki matematyk - Georg Cantor (1845-1918).


© medianauka.pl, 2019-07-14, ART-3648

 




Ostatnio opublikowane w Pytajniku ...

Jak mrówki nawigują i co mają z tym wspólnego wektory?
Jak mrówki nawigują i co mają z tym wspólnego wektory?

Istnieje pewien rodzaj mrówek, który posługuje się specyficznym sposobem orientowania się w przestrzeni. Czy ma to coś wspólnego z wektorami? Otóż okazuje się, że tak!

Jak powstaje zorza polarna?
Jak powstaje zorza polarna?

W okolicach bieguna i koła podbiegunowego, a czasem i na naszej szerokości geograficznej można obserwować cudowne zjawisko, jakim jest zorza polarna. Zorza osiąga czasem ogromne rozmiary. Jak powstaje zorza?

Z jakich pierwiastków składa się nasz wszechświat?
Z jakich pierwiastków składa się nasz wszechświat?

W tablicy Mendelejewa można znaleźć 118 pierwiastków, z czego w naturze na naszej planecie można znaleźć 90 z nich. Reszta powstała w laboratoriach człowieka. Czy w Kosmosie jest podobnie?



Zobacz też

ZbiórZbiór
Zbiór jest pojęciem pierwotnym, a więc nie definiujemy go. Pojęciem pierwotnym jest także element zbioru.
Alef zeroAlef zero
Alef zero jest to liczba kardynalna równa mocy zbioru liczb naturalnych. Warto wiedzieć, że najmniejszą liczbą kardynalną nieskończoną jest właśnie moc zbioru liczb naturalnych.
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2019 r.