Logo Media Nauka

Czy liczb całkowitych jest więcej od liczb naturalnych?

nieskończoność

Zdrowy rozsądek podpowiada nam, że liczb całkowitych jest około dwa razy więcej niż liczb naturalnych, bo oprócz liczb naturalnych w zborze liczb całkowitych są jeszcze przecież liczby do nich przeciwne.

Jest jednak inaczej. Liczb naturalnych jest dokładnie tyle samo ile liczb całkowitych!

Nie trzeba wcale wyższej matematyki, aby to udowodnić. Wystarczy oprzeć się na zasadzie liczenia elementów zbioru.

Spójrz na poniższy przykład. Zbiory A i B mają tyle samo elementów, bo wszystkie elementy tych zbiorów można połączyć w pary. Mówimy, że zbory te są równoliczne. Małpek jest tyle samo ile słoni. Mówiąc inaczej znaleźliśmy odwzorowanie takie, że każdemu elementowi ze zbioru A przypisujemy dokładnie jeden element ze zbioru B (odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne, bijekcja).

zbiory równoliczne

Spójrzmy na poniższy przykład:

zbiory nierównoliczne

Ponieważ jednemu elementowi ze zbioru A nie możemy przypisać żadnego elementu ze zbioru B, możemy z całą pewnością powiedzieć, że krokodyli jest więcej niż ryb.

Poprzez analogię postąpimy z liczbami naturalnymi i całkowitymi:

Równolicznośc zbioru liczb całkowitych i naturalnych.

Jak widać każdemu elementowi ze zbioru liczb naturalnych możemy przypisać dokładnie jeden element ze zbioru liczb całkowitych. Wszystkie liczby z obu zbiorów mamy połączone w pary!

Liczb całkowitych jest więc tyle samo ile liczb naturalnych!

Uwaga! Nie możemy tego samego powiedzieć o wszystkich zbiorach, które mają nieskończenie wiele elementów. O ile można udowodnić, że liczb naturalnych jest tyle ile na przykład liczb parzystych (spróbuj sam), to już liczb rzeczywistych jest więcej niż całkowitych.

Mamy tu, jak widać, do czynienia z "większymi" i "mniejszymi" nieskończonościami. Nieskończonościami (w tym liczbami kardynalnymi) zajmował się jako pierwszy niemiecki matematyk - Georg Cantor (1845-1918).


© medianauka.pl, 2019-07-14, ART-3648

 




Ostatnio opublikowane w Pytajniku ...

Czy rezonans magnetyczny jest bezpieczny dla osób z tatuażem?
Czy rezonans magnetyczny jest bezpieczny dla osób z tatuażem?

W prasie można czasem przeczytać, że niektóre osoby mogą ulec poparzeniu, szczególnie te z tatuażem. Czy to prawda i na czym polega niebezpieczeństwo?

Dlaczego w szklarni jest cieplej?
Dlaczego w szklarni jest cieplej?

Czy zauważalnie wyższa temperatura w szklarni lub w zamkniętym samochodzie wystawionym na słońce wynika z właściwości szyb, czy przyczyna takiego stanu rzeczy jest inna?

Czy istnieją rośliny bez liści i korzeni?
Czy istnieją rośliny bez liści i korzeni?

Rośliny aby żyć potrzebują pobierać wodę i związki organiczne z podłoża, do czego służą im korzenie. Dzięki liściom rośliny, wykorzystując światło i dwutlenek węgla w procesie fotosyntezy, produkją związki pokarmowe. Czy istnieją rośliny, które nie mają tych organów?



Zobacz też

ZbiórZbiór
Zbiór jest pojęciem pierwotnym, a więc nie definiujemy go. Pojęciem pierwotnym jest także element zbioru.
Alef zeroAlef zero
Alef zero jest to liczba kardynalna równa mocy zbioru liczb naturalnych. Warto wiedzieć, że najmniejszą liczbą kardynalną nieskończoną jest właśnie moc zbioru liczb naturalnych.
LiczbyLiczby
Omówienie działu Liczby
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2020 r.