Liczby zespolone
Czy istnieją liczby inne niż rzeczywiste? Aż trudno uwierzyć, że odpowiedź jest twierdząca! Są to tak zwane liczby zespolone, tworzące zbór liczb zespolonych.
Trochę historii
Już Heron z Aleksandrii w roku około 10-80 użył następującego zapisu pierwiastka z liczby ujemnej:
\(\sqrt{(81-144)}\).
W latach 200-284 Diofantos zapisał liczbę \(\sqrt{(1849-2016)}\) jako możliwy wynik równania kwadratowego.
Pierwszym matematykiem, który zapisał wzór wykorzystujący pierwiastek z liczby ujemnej, był Gerolamo Cardano. Rozważał następujący problem: Jak podzielić liczbę 10 na dwie części, aby ich iloczyn wyniósł 40. Nie da się? Gdy zapiszemy układ równań:
\(\begin{cases} x+y=10\\xy=40\end{cases}\)
otrzymamy rozwiązanie:
\(x=5+\sqrt{-15}\)
\(y=5-\sqrt{-15}\)
Mimo iż w zbiorze liczb rzeczywistych pierwiastek z liczby ujemnej nie istnieje, to zauważmy, że:
\((5+\sqrt{-15})(5-\sqrt{-15})=5^2-(\sqrt{-15})^2=25-(-15)=40\)
Działanie daje nam poprawny wynik, mimo że używamy „dziwnego” pierwiastka w rachunkach!
W 1777 roku Euler oznaczył pierwiastek kwadratowy z wartości ujemnej przez „\(i\)” od słowa łacińskiego imaginarius, co znaczy „urojony”.
Liczby urojone
Jednostka urojona jest to liczba, której kwadrat jest równy -1.
Zauważ, że jednostka urojona to nic innego jak \(i=\sqrt{-1}\).
Jednostka urojona posłuży nam do określenia algebraicznej postaci liczby zespolonej.
Postać algebraiczna liczby zespolonej
Liczba zespolona \(z\) jest to suma liczby rzeczywistej i urojonej:
gdzie:
\(a, b\) - liczby rzeczywiste;
\(i\) - jednostka urojona.
Liczbę a nazywamy częścią rzeczywistą \(a=Re(z)\) liczby zespolonej, natomiast liczbę b nazywamy częścią urojoną liczby z: \(b=Im(z)\).
Zauważmy, że gdy \(b=0\), to \(z=a\). Oznacza to, że liczby rzeczywiste są szczególnymi przypadkami liczb zespolonych.
Liczba urojona jest to liczba w postaci \(z=0+ib\).
Zbiór liczb zespolonych oznaczamy symbolem \(\mathbb{C}\).
Równość liczb zespolonych
Dwie liczby zespolone są sobie równe, jeśli ich części rzeczywiste i urojone są sobie odpowiednio równe.
Nie rozpatrujemy zaś relacji „mniejsza” i „większa” dla liczb urojonych.
Postać trygonometryczna i wykładnicza liczb zespolonych
W układzie biegunowym możemy wyrazić liczby zespolone w następujący sposób:
gdzie\(r\) jest to tak zwany moduł liczby zespolonej, oznaczany przez \(|z|\).
Jaki jest związek pomiędzy a, b, r, θ?
Oto przydatne wzory:
\(a=rcos\theta\)
\(b=rsin\theta\)
\(r=\sqrt{a^2+b^2}\)
Przykład
Przykład tej samej liczby zespolonej w różnych reprezentacjach:
- postać algebraiczna: \(z=3+i\sqrt{3}\)
- postać trygonometryczna: \(z=2(cos{\frac{\pi}{3}}+isin{\frac{\pi}{3}})\)
- postać wykładnicza: \(z=2e^{i\frac{\pi}{3}}\)
Moduł liczby zespolonej \(|z|=\sqrt{1^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2\).
Interpretacja geometryczna liczb zespolonych
Liczby rzeczywiste przedstawiamy na osi liczbowej. Liczby zespolone możemy przedstawić na płaszczyźnie, gdzie x jest osią rzeczywistą, natomiast y jest osią urojoną.
Liczby zespolone sprzężone
Dwie liczby z i z* są sprzężone, jeżeli ich części rzeczywiste są równe, a części urojone różnią się znakiem. To punkty symetryczne względem osi rzeczywistej.
Interesujący jest poniższy wzór:
Czasem wydziela się pewną klasę liczb zespolonych, dla których \(zz^* = 1\). Są to tak zwane czynniki fazowe.
Kalkulator liczb zespolonych
Za pomocą tego kalkulatora można wykonać dodawanie, odejmowanie, mnożenie oraz dzielenie liczb zespolonych. Kalkulator pokazuje kolejne kroki poszczególnych działań.
![Kalkulator naukowy](grafika/x-kalkulator.gif)
Działania na liczbach zespolonych
Wpisz dane:
miejsc po przecinku.
Objaśnienia:
- Jeżeli wynik wskaże wartość „infinity” to oznacza, że jest poza zakresem dostępnym dla niniejszego kalkulatora.
- Zapis wyniku 1.2e+12 oznacza liczbę 1.2 pomnożoną przez 1012.
- Gdy jedna z liczb będąca wynikiem działań jest większa od jej reprezentacji 64-bitowej, kalkulator stosuje przybliżenia wyniku.
- Jeżeli podasz liczbę rzeczywistą, do obliczeń zostanie wzięta jedynie jej część całkowita.
Czy liczby zespolone się do czegoś przydają?
Ależ tak! Niemalże od razu liczby te znalazły zastosowanie w fizyce, w elektronice w teorii prądu przemiennego, gdzie liczby te okazały się bardzo użyteczne w rachunkach. W fizyce liczby te występują przy opisie fal elektromagnetycznych, do opisu drgań sinusoidalnych. W mechanice kwantowej funkcja falowa, a więc podstawowe pojęcie tej dziedziny nauki, jest funkcją zespoloną! Liczby zespolone odgrywają ogromną rolę w algebrze i geometrii.
Pytania
Czy istnieją liczby rozszerzające ciało liczb zespolonych?
Tak. To kwaterniony, wprowadzone przez W. Hamiltona w 1843 roku. Kwaterniony służą do opisu mechaniki w przestrzeni trójwymiarowej.
Inne zagadnienia z tej lekcji
© medianauka.pl, 2019-03-02, A-3626
Data aktualizacji artykułu: 2023-02-19