Liczby zespolone

Czy istnieją liczby inne niż rzeczywiste? Aż trudno uwierzyć że odpowiedź jest twierdząca! Są to tak zwane liczby zespolone, tworzące zbór liczb zespolonych.

Trochę historii

Już Heron z Aleksandrii w roku około 10-80 użył następującego zapisu pierwiastka z liczby ujemnej:

\sqrt{(81-144)}.

W latach 200-284 Diofantos zapisał liczbę

\sqrt{(1849-2016)}

jako możliwy wynik równania kwadratowego.

Pierwszym matematykiem, który zapisał wzór wykorzystujący pierwiastek z liczby ujemnej był Gerolamo Cardano. Rozważał następujący problem: Jak podzielić liczbę 10 na dwie części, aby ich iloczyn wyniósł 40. Nie da się? Gdy zapiszemy układ równań:

\begin{cases} x+y=10\\xy=40\end{cases}

otrzymamy rozwiązanie:

x=5+\sqrt{-15}\\y=5-\sqrt{-15}

Mimo, iż w zbiorze liczb rzeczywistych pierwiastek z liczby ujemnej nie istnieje to zauważmy, że:

(5+\sqrt{-15})(5-\sqrt{-15})=5^2-(\sqrt{-15})^2=25-(-15)=40

Działanie daje nam poprawny wynik mimo, że używamy "dziwnego" pierwiastka w rachunkach!

W 1777 roku Euler oznaczył pierwiastek kwadratowy z wartości ujemnej przez "i" od słowa łacińskiego imaginarius, co znaczy "urojony".

Liczby urojone

Jednostka urojona jest to liczba, której kwadrat jest równy -1.

i2=-1

Zauważ, że jednostka urojona to nic innego jak i=\sqrt{-1}.

Jednostka urojona posłuży nam do określenia algebraicznej postaci liczby zespolonej.

Postać algebraiczna liczby zespolonej

Liczba zespolona z jest to suma liczby rzeczywistej i urojonej:

z=a+ib

gdzie:

a,b - liczby rzeczywiste;

i - jednostka urojona.

Liczbę x nazywamy częścią rzeczywistą a=Re(z) liczby zespolonej, a liczbę b nazywamy częścią urojoną liczby z: b=Im(z).

Zauważmy, że gdy b=0, to z=a. Oznacza to, że liczby rzeczywiste są szczególnymi przypadkami liczb zespolonych.

Liczba urojona jest to liczba w postaci z=0+ib.

Zbiór liczb zespolonych oznaczamy symbolem \mathbb{C}.

Równość liczb zespolonych

Dwie liczby zespolone są sobie równe, jeśli ich części rzeczywiste i urojone są sobie odpowiednio równe.

Nie rozpatrujemy zaś pojęć "mniejsza" i "większa" dla liczb urojonych.

Postać trygonometryczna i wykładnicza liczb zespolonych

W układzie biegunowym możemy wyrazić liczby zespolone w następujący sposób:

z=re^{i\theta}=r(cos\theta+isin\theta)

gdzie r jest to tak zwany moduł liczby zespolonej, oznaczany przez |z|.

Jaki jest związek pomiędzy a,b,r,θ?

Oto przydatne wzory:

a=rcos\theta\\b=rsin\theta\\r=\sqrt{a^2+b^2}

Przykład

Przykład tej samej liczby zespolonej w różnych reprezentacjach:

  • postać algebraiczna: z=3+i\sqrt{3}
  • postać trygonometryczna: z=2(cos{\frac{\pi}{3}}+isin{\frac{\pi}{3}})
  • postać wykładnicza: z=2e^{i\frac{\pi}{3}}

Moduł liczby zespolonej |z|=\sqrt{1^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.

Interpretacja geometryczna liczb zespolonych

Liczby rzeczywiste przedstawiamy na osi liczbowej. Liczby zespolone możemy przedstawić na płaszczyźnie, gdzie x jest osią rzeczywistą, natomiast y jest osią urojoną.

interpretacja geometryczna liczb zespolonych

Liczby zespolone sprzężone

Dwie liczby z i z* są sprzężone, jeżeli ich części rzeczywiste są równe, a części urojone różnią się znakiem. To punkty symetryczne względem osi rzeczywistej.

Interesujący jest poniższy wzór:

zz*=r2

Czasem wydziela się pewną klasę liczb zespolonych, dla których zz*=1. Są to tak zwane czynniki fazowe.

Czy liczby zespolone się do czegoś przydają?

Ależ tak! Niemalże od razu liczby te znalazły zastosowanie w fizyce, w elektronice w teorii prądu przemiennego, gdzie liczby te okazały się bardzo użyteczne w rachunkach. W fizyce liczby te występują przy opisie fal elektromagnetycznych, do opisu drgań sinusoidalnych. W mechanice kwantowej funkcja falowa, a więc podstawowe pojęcie tej dziedziny nauki, jest funkcją zespoloną! Liczby zespolone odgrywają ogromną rolę w algebrze i geometrii.

Pytania

Czy istnieją liczby rozszerzające ciało liczb zespolonych?

Tak. To kwaterniony, wprowadzone przez W. Hamiltona w 1843 roku. Kwaterniony służą do opisu mechaniki w przestrzeni trójwymiarowej.

 



© medianauka.pl, 2019-03-02, ART-3626

 



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2018 r.