Relacje

Pomiędzy dowolnymi elementami zbiorów można określić pewne związki logiczne, które nazywamy relacjami.

W zbiorze liczb rzeczywistych określone są relacje:

równości (=)
mniejszości (<)

Jeżeli liczby a i b są równe, zapisujemy wówczas, że a=b

Jeżeli liczba a jest mniejsza od b, to zapisujemy to w następujący sposób: a<b. Można to zdanie również zapisać w taki sposób: b>a (b jest większe od a) - jest to zapis równoważny.

Prawo trychotomii

Dla każdych dwóch liczb rzeczywistych zachodzi dokładnie jedna relacja z trzech:

a=b
a<b
b<a

Relacja mniejszości porządkuje zbiór R

Relacja (oznaczmy przykładową relację przez ☼) jest równowartościowa, gdy jest:

zwrotna, tzn. a ☼ a
symetryczna tzn. a ☼ b $\Rightarrow$ b ☼ a
przechodnia, tzn. [(a ☼ b) $\wedge$ (b ☼ c)] $\Rightarrow$ a ☼ c

Przykład

Relacja równości jest zwrotna (ponieważ a = a), natomiast relacja mniejszości nie jest zwrotna.
Relacja równości jest symetryczna (ponieważ a = b $\Rightarrow$ b = a), natomiast relacja mniejszości nie jest symetryczna.
Relacja równości jest przechodnia, ponieważ [(a = b) $\wedge$ (b = c)] $\Rightarrow$ a = c (czytaj: jeżeli a jest równe b i b jest równe c, to a jest równe c )
Relacja mniejszości również jest przechodnia, ponieważ jeżeli a jest mniejsze o b i b jest mniejsze od c, to a jest mniejsze od c.

Przykład

A oto inny przykład relacji - podzielność dwóch liczb naturalnych. Możemy określić wszystkie pary liczb naturalnych będących ze sobą w relacji podzielności drugiej przez pierwszą. Takimi parami są (2,4), (3,9),(10,10000),... ale już nie (3,4) czy (2,177181). Oznaczmy tę relację przez "|". Możemy wówczas zapisać tę relację między a i b jako a|b.
Zauważamy, że relacja "|" jest zwrotna (bo liczba jest podzielna sama przez siebie, tzn. a|a), nie jest symetryczna (na przykład 4 jest podzielne przez 2, ale 2 nie jest podzielne przez 4) i jest przechodnia.
Celowo w tym przykładzie pokazano, że o relacji możemy mówić jak o parach liczb, aby zilustrować, że:
Relacja to nic innego jak podzbiór iloczynu kartezjańskiego zbiorów (w tym przykładzie jest to podzbiór zbioru N×N)
Oczywiście możemy również definiować relacje wieloargumentowe, jednak najczęściej posługujemy się relacjami dwuargumentowymi (=, <, >, |, ≤ i wiele innych ).