Objętość

Definicja

Objętość figury jest to funkcja, która każdej figurze z pewnego zbioru figur przyporządkowuje liczbę nieujemną V(f), którą nazywamy objętością figury f. Funkcja ta określona jest tak, że:

figury przystające mają przystające objętości,
figura będąca sumą dwóch figur, które nie mają wewnętrznych punktów wspólnych ma objętość równą sumie objętości figur składowych.

Definicja

Jeżeli odcinek $\overline{u}$ jest jednostką długości, to sześcian o krawędzi $\overline{u}$ nazywamy jednostką objętości i oznaczamy $\overline{u}^3$ .

Przykład

Jeżeli za jednostkę długości przyjmiemy metr (m), to jednostką objętości będzie metr sześcienny (m³), jeżeli za jednostkę długości przyjmiemy decymetr (dm), to jednostką objętości będzie decymetr sześcienny (dm³) itd.

Zasada Cavalierego

Jeżeli dwie bryły zawarte między dwoma równoległymi płaszczyznami mają własność, że ich przekroje dowolną płaszczyzną równoległą do poprzednich dwóch płaszczyzn mają równe pola, to bryły te mają równe objętości (patrz rysunek).

Własności objętości:

każda figura płaska (zawarta w płaszczyźnie) ma objętość równą 0,
każda powierzchnia wielościanu ma objętość równą 0,
każda sfera i jej część ma objętość równą 0,
każda powierzchnia stożkowa i jej część ma objętość równą 0,
podobieństwo w skali s zmienia objętość figury w skali s³.

W poniższej tabeli zawarto podstawowe wzory na objętość brył:

Tablica objętości brył

Bryła	Rysunek	Objętość
sześcian
prostopadłościan
dowolny graniastosłup prosty i pochyły		$V=P_p\cdot h\\ P_p \ - \ pole\ podstawy\\ h\ - \ wysokosc$
czworościan foremny		$V=\frac{1}{12}a^3\sqrt{2}$
dowolny ostrosłup prosty lub pochyły		$V=\frac{1}{3}P_p\cdot h$
piramida		$V=\frac{a^2h}{3}$
ostrosłup ścięty		$V=\frac{1}{3}h(B+\sqrt{Bb}+b)$
ośmiościan foremny		$V=\frac{1}{3}a^3\sqrt{2}$
dwunastościan foremny		$V=\frac{1}{4}a^3(15+7\sqrt{5})$
dwudziestościan foremny		$V=\frac{5}{12}a^3(3+\sqrt{5})$
walec		$V=\pi r^2h$
stożek		$V=\frac{1}{3}\pi r^2h$
kula		$V=\frac{4}{3}\pi r^3$