Logo Serwisu Media Nauka


Objętość

Definicja Definicja

Objętość figury jest to funkcja, która każdej figurze z pewnego zbioru figur przyporządkowuje liczbę nieujemną V(f), którą nazywamy objętością figury f. Funkcja ta określona jest tak, że:

  • figury przystające mają przystające objętości,
  • figura będąca sumą dwóch figur, które nie mają wewnętrznych punktów wspólnych ma objętość równą sumie objętości figur składowych.

Definicja Definicja

Jeżeli odcinek \overline{u} jest jednostką długości, to sześcian o krawędzi \overline{u} nazywamy jednostką objętości i oznaczamy \overline{u}^3.

Przykład Przykład

Jeżeli za jednostkę długości przyjmiemy metr (m), to jednostką objętości będzie metr sześcienny (m3), jeżeli za jednostkę długości przyjmiemy decymetr (dm), to jednostką objętości będzie decymetr sześcienny (dm3) itd.

Teoria Zasada Cavalierego

Jeżeli dwie bryły zawarte między dwoma równoległymi płaszczyznami mają własność, że ich przekroje dowolną płaszczyzną równoległą do poprzednich dwóch płaszczyzn mają równe pola, to bryły te mają równe objętości (patrz rysunek).

Zasada Cavalierego

Własności objętości:

  • każda figura płaska (zawarta w płaszczyźnie) ma objętość równą 0,
  • każda powierzchnia wielościanu ma objętość równą 0,
  • każda sfera i jej część ma objętość równą 0,
  • każda powierzchnia stożkowa i jej część ma objętość równą 0,
  • podobieństwo w skali s zmienia objętość figury w skali s3.

W poniższej tabeli zawarto podstawowe wzory na objętość brył:

BryłaRysunekObjętość
sześcianobjętość sześcianuV=a^3
prostopadłościanobjętość prostopadłościanuV=abc
dowolny graniastosłup
prosty i pochyły
objętość graniastosłupaV=P_p\cdot h\\ P_p \ - \ pole\ podstawy\\ h\ - \ wysokosc
czworościan foremnyobjętość czworościanu foremnegoV=\frac{1}{12}a^3\sqrt{2}
dowolny ostrosłup
prosty lub pochyły
objętość ostrosłupaV=\frac{1}{3}P_p\cdot h
piramidaobjętość piramidyV=\frac{a^2h}{3}
ostrosłup ściętyobjętość ostrosłupa ściętegoV=\frac{1}{3}h(B+\sqrt{Bb}+b)
ośmiościan foremnyobjętość osmiościanu foremnegoV=\frac{1}{3}a^3\sqrt{2}
dwunastościan foremnyobjętość dwunastościanu foremnegoV=\frac{1}{4}a^3(15+7\sqrt{5})
dwudziestościan foremnyobjętość dwudziestościanu foremnegoV=\frac{5}{12}a^3(3+\sqrt{5})
walecobjętość walcaV=\pi r^2h
stożekobjętość stożkaV=\frac{1}{3}\pi r^2h
kulaobjętość kuliV=\frac{4}{3}\pi r^3

© Media Nauka, 2011-08-09, ART-1409





Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy