Objętość

Definicja

Objętość figury jest to funkcja, która każdej figurze z pewnego zbioru figur przyporządkowuje liczbę nieujemną V(f), którą nazywamy objętością figury f. Funkcja ta określona jest tak, że:

figury przystające mają przystające objętości,
figura będąca sumą dwóch figur, które nie mają wewnętrznych punktów wspólnych ma objętość równą sumie objętości figur składowych.

Jednostka objętości

Definicja

Jeżeli odcinek $\overline{u}$ jest jednostką długości, to sześcian o krawędzi $\overline{u}$ nazywamy jednostką objętości i oznaczamy $\overline{u}^3$ .

Przykład

Jeżeli za jednostkę długości przyjmiemy metr (m), to jednostką objętości będzie metr sześcienny (m³), jeżeli za jednostkę długości przyjmiemy decymetr (dm), to jednostką objętości będzie decymetr sześcienny (dm³) itd.

Zasada Cavalierego

Jeżeli dwie bryły zawarte między dwoma równoległymi płaszczyznami mają własność, że ich przekroje dowolną płaszczyzną równoległą do poprzednich dwóch płaszczyzn mają równe pola, to bryły te mają równe objętości (patrz rysunek).

Własności objętości

każda figura płaska (zawarta w płaszczyźnie) ma objętość równą 0,
każda powierzchnia wielościanu ma objętość równą 0,
każda sfera i jej część ma objętość równą 0,
każda powierzchnia stożkowa i jej część ma objętość równą 0,
podobieństwo w skali s zmienia objętość figury w skali s³.

Wzory na objętość brył

W poniższej tabeli zawarto podstawowe wzory na objętość brył:

Tablica objętości brył
Poniższa tabela zawiera wzory na objętość brył, najczęściej wykorzystywane w kursie matematyki.

Bryła	Rysunek	Wzór na objętość
sześcian
prostopadłościan
dowolny graniastosłup prosty i pochyły		$V=P_p\cdot h\\ P_p \ - \ pole\ podstawy\\ h\ - \ wysokosc$
czworościan foremny		$V=\frac{1}{12}a^3\sqrt{2}$
dowolny ostrosłup prosty lub pochyły		$V=\frac{1}{3}P_p\cdot h$
piramida		$V=\frac{a^2h}{3}$
ostrosłup ścięty		$V=\frac{1}{3}h(B+\sqrt{Bb}+b)$
ośmiościan foremny		$V=\frac{1}{3}a^3\sqrt{2}$
dwunastościan foremny		$V=\frac{1}{4}a^3(15+7\sqrt{5})$
dwudziestościan foremny		$V=\frac{5}{12}a^3(3+\sqrt{5})$
walec		$V=\pi r^2h$
stożek		$V=\frac{1}{3}\pi r^2h$
kula		$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

Pytania

Jak obliczyć objętość?

Najczęściej korzystamy z powyższych wzorów. Jeżeli jednak bryłą ma skomplikowany kształt, spróbuj ją podzielić na bryły, których objętość można policzyć i dodaj do siebie tak wyznaczone objętości. W praktyce objętość bryły o nieregularnych kształtach można wyznaczyć, zanurzając ją w wodzie i obliczeniu objętości wypartej w ten sposób wody.

Jak obliczyć objętość prostokąta?

Prostokąt nie jest bryłą. Ma zerową objętość.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Stereometria
Stereometria jest geometrią przestrzeni, którą stanowi zbiór wszystkich punktów. Przestrzeń oznaczamy grecką literą omega - Ω.

Bryła
Bryła jest to figura geometryczna, która jest ograniczona, domknięta, spójna, w każdym otoczeniu każdego punktu znajduje się co najmniej jeden punkt wewnętrzny.

Kąt dwuścienny i wielościenny
Kąt dwuścienny to figura utworzona przez dwie różne półpłaszczyzny o wspólnej krawędzi i jedną z dwóch figur wyciętych w przestrzeni przez te półpłaszczyzny.

Proste prostopadłe w przestrzeni
Proste w przestrzeni są prostopadłe, jeżeli dowolny wektor niezerowy zawarty w jednej prostej i dowolny wektor niezerowy w drugiej prostej tworzą kąt prosty.

Test wiedzy