logo

Objętość

Definicja Definicja

Objętość figury jest to funkcja, która każdej figurze z pewnego zbioru figur przyporządkowuje liczbę nieujemną V(f), którą nazywamy objętością figury f. Funkcja ta określona jest tak, że:

  • figury przystające mają przystające objętości,
  • figura będąca sumą dwóch figur, które nie mają wewnętrznych punktów wspólnych ma objętość równą sumie objętości figur składowych.

Jednostka objętości

Definicja Definicja

Jeżeli odcinek \overline{u} jest jednostką długości, to sześcian o krawędzi \overline{u} nazywamy jednostką objętości i oznaczamy \overline{u}^3.

Przykład Przykład

Jeżeli za jednostkę długości przyjmiemy metr (m), to jednostką objętości będzie metr sześcienny (m3), jeżeli za jednostkę długości przyjmiemy decymetr (dm), to jednostką objętości będzie decymetr sześcienny (dm3) itd.

Zasada Cavalierego

Jeżeli dwie bryły zawarte między dwoma równoległymi płaszczyznami mają własność, że ich przekroje dowolną płaszczyzną równoległą do poprzednich dwóch płaszczyzn mają równe pola, to bryły te mają równe objętości (patrz rysunek).

Zasada Cavalierego

Własności objętości

  • każda figura płaska (zawarta w płaszczyźnie) ma objętość równą 0,
  • każda powierzchnia wielościanu ma objętość równą 0,
  • każda sfera i jej część ma objętość równą 0,
  • każda powierzchnia stożkowa i jej część ma objętość równą 0,
  • podobieństwo w skali s zmienia objętość figury w skali s3.

Wzory na objętość brył

W poniższej tabeli zawarto podstawowe wzory na objętość brył:

Tablica

Tablica objętości brył
Poniższa tabela zawiera wzory na objętość brył, najczęściej wykorzystywane w kursie matematyki.


BryłaRysunek Wzór na objętość
sześcianobjętość sześcianuV=a^3
prostopadłościanobjętość prostopadłościanuV=abc
dowolny graniastosłup
prosty i pochyły
objętość graniastosłupaV=P_p\cdot h\\ P_p \ - \ pole\ podstawy\\ h\ - \ wysokosc
czworościan foremnyobjętość czworościanu foremnegoV=\frac{1}{12}a^3\sqrt{2}
dowolny ostrosłup
prosty lub pochyły
objętość ostrosłupaV=\frac{1}{3}P_p\cdot h
piramidaobjętość piramidyV=\frac{a^2h}{3}
ostrosłup ściętyobjętość ostrosłupa ściętegoV=\frac{1}{3}h(B+\sqrt{Bb}+b)
ośmiościan foremnyobjętość osmiościanu foremnegoV=\frac{1}{3}a^3\sqrt{2}
dwunastościan foremnyobjętość dwunastościanu foremnegoV=\frac{1}{4}a^3(15+7\sqrt{5})
dwudziestościan foremnyobjętość dwudziestościanu foremnegoV=\frac{5}{12}a^3(3+\sqrt{5})
walecobjętość walcaV=\pi r^2h
stożekobjętość stożkaV=\frac{1}{3}\pi r^2h
kulaobjętość kuliV=\frac{4}{3}\pi r^3

Pytania

Jak obliczyć objętość?

Najczęściej korzystamy z powyższych wzorów. Jeżeli jednak bryłą ma skomplikowany kształt, spróbuj ją podzielić na bryły, których objętość można policzyć i dodaj do siebie tak wyznaczone objętości. W praktyce objętość bryły o nieregularnych kształtach można wyznaczyć, zanurzając ją w wodzie i obliczeniu objętości wypartej w ten sposób wody.

Jak obliczyć objętość prostokąta?

Prostokąt nie jest bryłą. Ma zerową objętość.



Inne zagadnienia z tej lekcji

Stereometria

Stereometria

Stereometria jest geometrią przestrzeni, którą stanowi zbiór wszystkich punktów. Przestrzeń oznaczamy grecką literą omega - Ω.

Bryła

Bryła

Bryła jest to figura geometryczna, która jest ograniczona, domknięta, spójna, w każdym otoczeniu każdego punktu znajduje się co najmniej jeden punkt wewnętrzny.

Kąt dwuścienny i wielościenny

Kąt dwuścienny i wielościenny

Kąt dwuścienny to figura utworzona przez dwie różne półpłaszczyzny o wspólnej krawędzi i jedną z dwóch figur wyciętych w przestrzeni przez te półpłaszczyzny.

Proste prostopadłe w przestrzeni

Proste prostopadłe w przestrzeni

Proste w przestrzeni są prostopadłe, jeżeli dowolny wektor niezerowy zawarty w jednej prostej i dowolny wektor niezerowy w drugiej prostej tworzą kąt prosty.

Test wiedzy

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.


Powiązane quizy

Ile kostek?

Ile kostek?

Szkoła podstawowa
Klasa 3
Liczba pytań: 12

Widok z góry

Widok z góry

Szkoła podstawowa
Klasa 3
Liczba pytań: 10

Objętość

Objętość

Szkoła podstawowa
Klasa 5
Liczba pytań: 18

ikona - karta pracy

Objętość - hasło

karta085.pdf
Szkoła podstawowa
Klasa 5



© medianauka.pl, 2011-08-09, ART-1409





Polecamy w naszym sklepie

Matematyka - karty edukacyjne z pisakiem - klasa 1-3
Kolorowe skarpetki urodzinowe
Kalkulatory maukowe
Kolorowe skarpetki 3D
50 wielkich idei które powinieneś znać
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2022 r.