Objętość

Co to jest objętość brył? Oto definicja objętości:

Objętość figury jest to funkcja, która każdej figurze z pewnego zbioru figur przyporządkowuje liczbę nieujemną \(V(f)\), którą nazywamy objętością figury \(f\). Funkcja ta określona jest tak, że:

Wzory na objętość brył

Jak obliczyć objętość danej figury geometrycznej przestrzennej? Najczęściej obliczanie objętości sprowadza się do zastosowania odpowiedniego wzoru. W poniższej tabeli zawarto podstawowe wzory na objętość brył:

Tablica

Tablica objętości brył
Poniższa tabela zawiera wzory na objętość brył, najczęściej wykorzystywane w kursie matematyki.


BryłaRysunek Wzór na objętość
Sześcianobjętość sześcianu\(V=a^3\)
Prostopadłościanobjętość prostopadłościanu\(V=abc\)
Dowolny graniastosłup
prosty i pochyły
objętość graniastosłupa\(V=P_p\cdot h\)
\(P_p\) — pole podstawy,
\(h\) — wysokość.
Czworościan foremnyobjętość czworościanu foremnego\(V=\frac{1}{12}a^3\sqrt{2}\)
Dowolny ostrosłup
prosty lub pochyły
objętość ostrosłupa\(V=\frac{1}{3}P_p\cdot h\)
Piramidaobjętość piramidy\(V=\frac{a^2h}{3}\)
Ostrosłup ściętyobjętość ostrosłupa ściętego\(V=\frac{1}{3}h(B+\sqrt{Bb}+b)\)
Ośmiościan foremnyobjętość osmiościanu foremnego\(V=\frac{1}{3}a^3\sqrt{2}\)
Dwunastościan foremnyobjętość dwunastościanu foremnego\(V=\frac{1}{4}a^3(15+7\sqrt{5})\)
Dwudziestościan foremnyobjętość dwudziestościanu foremnego\(V=\frac{5}{12}a^3(3+\sqrt{5})\)
Walecobjętość walca\(V=\pi r^2h\)
Stożekobjętość stożka\(V=\frac{1}{3}\pi r^2h\)
Kulaobjętość kuli\(V=\frac{4}{3}\pi r^3\)

Jednostka objętości

Jeżeli odcinek \(\overline{u}\) jest jednostką długości, to sześcian o krawędzi \(\overline{u}\) nazywamy jednostką objętości i oznaczamy \(\overline{u}^3\).

Przykład

Jeżeli za jednostkę długości przyjmiemy metr (\(m\)), to jednostką objętości będzie metr sześcienny (\(m^3\)), jeżeli za jednostkę długości przyjmiemy decymetr (\(dm\)), to jednostką objętości będzie decymetr sześcienny (\(dm^3\)) itd.

Oto jednostki objętości dawne i obecnie stosowane.

Metr sześcienny

W układzie SI legalną jednostką objętości jest metr sześcienny (\(m^3\)). Stosując różne przedrostki, otrzymujemy centymetry sześcienne, decymetry sześcienne itd.

Litr

Pozaukładową jednostką jest litr, którą oznaczamy przez \(l\) (mała litera). Przelicznik litra na jednostki układu SI jest następujący:

\(1\ l = 1\ dm^3 = \frac{1}{1000}\ m^3\)

Litr jest to objętość, jaką zajmuje 1 kg destylowanej wody w odpowiednich warunkach.

Anglosaskie jednostki objętości

W krajach anglosaskich stosuje się następujące jednostki objętości:

Dawne miary objętości

Oto przykładowe dawne miary objętości:

Przeliczanie jednostek objętości

W naszym kalkulatorze możesz w prosty sposób przeliczyć dane objętości między różnymi układami jednostek.

Kalkulatory © Lakee MNP - stock.adobe.com
Przeliczanie jednostek objętości.

Zasada Cavalierego

Jeżeli dwie bryły zawarte między dwoma równoległymi płaszczyznami mają własność, że ich przekroje dowolną płaszczyzną równoległą do poprzednich dwóch płaszczyzn mają równe pola, to bryły te mają równe objętości (patrz rysunek).

Zasada Cavalierego

Własności objętości

Ciekawostki — przykładowe objętości

W Poniższej tabeli wyszczególniono przykładowe wartości objętości.

Objętość obiektuV [\(m^3\)]
Wszechświat (obserwowalny)Około \(10^{79}\)
Objętość Słońca\(1,41\cdot 10^{27}\)
Objętość Ziemi\(1,08\cdot 10^{21}\)
Objętość wielorybaMaksymalnie \(200\)
Objętość płuc człowieka\(0,003-0,007\) (\(3-7\) litrów)
Objętość ludzkiej krwi\(0,0035-0,006\) (od \(3,5\) do \(6\) litrów)
Objętość komórki bakterii\(10^{-18}-10^{-16}\)
Objętość jądra atomu tlenu\(5\cdot 10^{-44}\)

Zadania

Zadania z obliczania objętości znajdziesz w sekcji poświęconej poszczególnym bryłom.

Pytania

Jak obliczyć objętość?

Najczęściej korzystamy z powyższych wzorów. Jeżeli jednak bryłą ma skomplikowany kształt, spróbuj ją podzielić na bryły, których objętość można policzyć i dodaj do siebie tak wyznaczone objętości. W praktyce objętość bryły o nieregularnych kształtach można wyznaczyć, zanurzając ją w wodzie i obliczeniu objętości wypartej w ten sposób wody.

Jak obliczyć objętość prostokąta?

Prostokąt nie jest bryłą. Ma zerową objętość.



Powiązane quizy

Widok z góry

Liczba pytań: 10
Quiz szkolny
Średni wynik:
5.07 pkt / 50.7%
2024-01-27

Ile kostek?

Liczba pytań: 12
Quiz szkolny
Średni wynik:
7.6 pkt / 63.33%
2024-01-27

Objętość — quiz

Liczba pytań: 18
Quiz szkolny
Średni wynik:
9.98 pkt / 55.44%
2024-01-22


Wybrane karty pracy

ikona - karta pracy

Objętość — hasło




Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2011-08-09, A-1409
Data aktualizacji artykułu: 2023-07-01



Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.