Nauka » Matematyka » Równanie stycznej do krzywej

Zadanie - równanie stycznej do krzywej

Znaleźć równanie stycznej do okręgu

w punkcie $(1,-\sqrt{2})$ .

Rozwiązanie zadania uproszczone

$x_0=1\\ y_0=-\sqrt{2}\\ y=2-(x-1)^2\\ y=\pm \sqrt{2-(x-1)^2}\\ y'=\frac{\pm 1}{2\sqrt{2-(x-1)^2}}\cdot [-2(x-1)]=\frac{\pm(x-1)}{\sqrt{2-(x-1)^2}}\\ f'(x_0)=f'(1)=\frac{\pm(1-1)}{\sqrt{2-(1-1)^2}}=0\\ y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\\ y-(-\sqrt{2})=0\cdot(x-1)\\ y=-\sqrt{2}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dana jest funkcja

Aby móc w sposób analityczny wyznaczyć równanie stycznej, musimy wyznaczyć z równania okręgu y:

$y^2=2-(x-1)^2\\ y=\pm \sqrt{2-(x-1)^2}$

Równanie stycznej do krzywej f(x) w punkcie A(x₀,y₀) wyraża się wzorem:

Odczytujemy współrzędne punktu, przez który przechodzi styczna:

$x_0=1, \ y_0=-\sqrt{2}$

i obliczamy pochodną funkcji w punkcie. Mamy tutaj do czynienia z pochodną funkcji złożonej. Funkcją "zewnętrzną" jest tutaj pierwiastek, wewnętrzną funkcja znajdująca się pod pierwiastkiem, która również jest złożona.

$f(x)=\pm \sqrt{2-(x-1)^2}\\ f'(x)=\pm \frac{1}{2\sqrt{2-(x-1)^2}}\cdot [2-(x-1)^2]'=\\ =\pm \frac{1}{2\sqrt{2-(x-1)^2}}\cdot [0-2(x-1)^1] \cdot (x-1)'=\\ =\pm \frac{1}{2\sqrt{2-(x-1)^2}}\cdot [-2(x-1)]\cdot 1=\\ =\pm \frac{-\cancel{2}(x-1)}{\cancel{2}\sqrt{2-(x-1)^2}}=\pm \frac{x-1}{\sqrt{2-(x-1)^2}}$

Obliczamy wartość pochodnej w punkcie x₀:

$f'(x_0)=f'(1)=\pm \frac{1-1}{\sqrt{2-(1-1)^2}}=0$

Podstawiamy dane do wzoru i wyznaczamy równanie stycznej:

$y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\\ y-(-\sqrt{2})=0\cdot (x-1)\\ y+\sqrt{2}=0\\ y=-sqrt{2}$

Sporządźmy jeszcze rysunek. Na podstawie równania okręgu wiemy, że w przypadku naszej funkcji mamy do czynienia z okręgiem o środku w punkcie (1,0) i promieniu równym pierwiastkowi z dwóch, bo:

$(x-x_{sr})^2+(y-y_{sr})=r^2\\ (x-1)^2+(y-1)^2=2=(\sqrt{2})^2\\ x_{sr}=1, \ y_{sr}=0 \\ r=\sqrt{2}$

Jak narysować okrąg o takim promieniu? Wystarczy sobie przypomnieć, że przekątna kwadratu o boku długości 1 ma właśnie długość równą pierwiastkowi z dwóch.

Odpowiedź

$y=-\sqrt{2}$

Zadania podobne

Zadanie - równanie stycznej do krzywej
Znaleźć równanie stycznej do krzywej $f(x)=\frac{2}{x}$ w punkcie (2,1).

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie stycznej do krzywej
Znaleźć równanie stycznej do krzywej $f(x)=\sin{x}$ w punkcie $(\frac{\pi}{2},1)$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 12, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Funkcja f określona jest wzorem

dla każdej liczby rzeczywistej x. Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji f, które są równoległe do prostej o równaniu y=4x.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.