Zadanie - równanie stycznej do krzywej
Znaleźć równanie stycznej do okręgu

w punkcie

.
Rozwiązanie zadania uproszczone
![x_0=1\\ y_0=-\sqrt{2}\\ y=2-(x-1)^2\\ y=\pm \sqrt{2-(x-1)^2}\\ y'=\frac{\pm 1}{2\sqrt{2-(x-1)^2}}\cdot [-2(x-1)]=\frac{\pm(x-1)}{\sqrt{2-(x-1)^2}}\\ f'(x_0)=f'(1)=\frac{\pm(1-1)}{\sqrt{2-(1-1)^2}}=0\\ y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\\ y-(-\sqrt{2})=0\cdot(x-1)\\ y=-\sqrt{2}](matematyka/wzory/zad493/3.gif)
Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Dana jest funkcja 
Aby móc w sposób analityczny wyznaczyć równanie stycznej, musimy wyznaczyć z równania okręgu y:
Równanie stycznej do krzywej f(x) w punkcie A(x0,y0) wyraża się wzorem:
Odczytujemy współrzędne punktu, przez który przechodzi styczna:
i obliczamy pochodną funkcji w punkcie. Mamy tutaj do czynienia z pochodną funkcji złożonej. Funkcją "zewnętrzną" jest tutaj pierwiastek, wewnętrzną funkcja znajdująca się pod pierwiastkiem, która również jest złożona.
Obliczamy wartość pochodnej w punkcie x0:
Podstawiamy dane do wzoru i wyznaczamy równanie stycznej:
Sporządźmy jeszcze rysunek. Na podstawie równania okręgu wiemy, że w przypadku naszej funkcji mamy do czynienia z okręgiem o środku w punkcie (1,0) i promieniu równym pierwiastkowi z dwóch, bo:

Jak narysować okrąg o takim promieniu? Wystarczy sobie przypomnieć, że przekątna kwadratu o boku długości 1 ma właśnie długość równą pierwiastkowi z dwóch.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-09-20, ZAD-925
Zadania podobne
Zadanie - równanie stycznej do krzywej
Znaleźć równanie stycznej do krzywej
w punkcie (2,1).
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie - równanie stycznej do krzywej
Znaleźć równanie stycznej do krzywej
w punkcie
.
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie maturalne nr 12, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Funkcja f określona jest wzorem
dla każdej liczby rzeczywistej x. Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji f, które są równoległe do prostej o równaniu y=4x.
Pokaż rozwiązanie zadania
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz
wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
©® Media Nauka 2008-2023 r.
Drogi Internauto! Aby móc dostarczać coraz lepsze materiały i usługi potrzebujemy Twojej zgody na zapisywanie w pamięci Twojego urządzenia plików cookies oraz na dopasowanie treści marketingowych do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy utrzymywać nasze usługi.
Używamy cookies w celach funkcjonalnych oraz w celu tworzenia anonimowych statystyk. Ddbamy o Twoją prywatność.
Aby udzielić nam zgody na profilowanie i remarketing musisz mieć ukończone 16 lat. Brak zgody nie ograniczy w żaden sposób treści naszego serwisu. Udzieloną nam zgodę w każdej chwili możesz wycofać w Polityce prywatności lub przez wyczyszczenie historii przeglądarki.
Brak zgody oznacza wyłączenie profilowania, remarketingu i dostosowywania treści. Reklamy nadal będą się wyświetlać ale w sposób przypadkowy. Nadal będziemy używać zanonimizowanych danych do tworzenia statystyk serwisu. Dalsze korzystanie ze strony oznacza, że zgadzasz się na takie użycie danych.
Zapoznaj się z naszą Polityką Prywatności.
BRAK ZGODY ZGODA