Nauka » Matematyka » Równanie stycznej do krzywej

Zadanie maturalne nr 12, matura 2015 (poziom rozszerzony)

Funkcja f określona jest wzorem

dla każdej liczby rzeczywistej x. Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji f, które są równoległe do prostej o równaniu y=4x.

Rozwiązanie zadania

Równanie stycznej do krzywej f(x) w punkcie (x₀,y₀) jest dane wzorem:

Obliczamy pierwszą pochodną naszej funkcji:

Styczne mają być równoległe do prostej o równaniu y=4x, a zatem wszystkie ich współczynniki kierunkowe muszą być sobie równe. Współczynnik kierunkowy stycznej jest równy wartości pierwszej pochodnej funkcji w punkcie styczności. Zatem:

$f'(x_0)=4=3x^2-4x\\3x^2-4x-4=0\\ \Delta=16+4\cdot 4\cdot 3=64\\\sqrt{\Delta}=8\\x_0_1=\frac{4-8}{2}=-\frac{2}{3}\\x_0_2=\frac{4+8}{2}=2$

Mamy więc dwa punkty styczności, w których styczna jest równoległa do danej prostej. Szukamy teraz współrzędnej y tych punktów, wstawiając wyznaczone x do wzoru naszej funkcji.

$f(x_0_1)=(-\frac{2}{3})^3-2\cdot (-\frac{2}{3})^2+1=-\frac{8}{27}-\frac{8}{9}+1=-\frac{5}{27}\\f(x_0_2)=8-8+1=1\\P_1=(-\frac{2}{3},-\frac{5}{27})\\P_2=(2,1)$

Korzystamy teraz ze wzoru . Równanie pierwszej stycznej:

$y-(-\frac{5}{27})=4(x-(-\frac{2}{3}))\\y=4x+\frac{8}{3}-\frac{5}{27}\\y=4x+\frac{67}{27}$

Równanie drugiej stycznej:

Odpowiedź

Równania stycznych: y=4x+67/27 oraz y=4x-7

Zadania podobne

Zadanie - równanie stycznej do krzywej
Znaleźć równanie stycznej do krzywej $f(x)=\frac{2}{x}$ w punkcie (2,1).

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie stycznej do krzywej
Znaleźć równanie stycznej do krzywej $f(x)=\sin{x}$ w punkcie $(\frac{\pi}{2},1)$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie stycznej do krzywej
Znaleźć równanie stycznej do okręgu

w punkcie $(1,-\sqrt{2})$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.