Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie maturalne nr 12, matura 2015 (poziom rozszerzony)


Funkcja f określona jest wzorem f(x)=x^3-2x^2+1dla każdej liczby rzeczywistej x. Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji f, które są równoległe do prostej o równaniu y=4x.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Równanie stycznej do krzywej f(x) w punkcie (x0,y0) jest dane wzorem:

y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)

Obliczamy pierwszą pochodną naszej funkcji:

Styczne mają być równoległe do prostej o równaniu y=4x, a zatem wszystkie ich współczynniki kierunkowe muszą być sobie równe. Współczynnik kierunkowy stycznej jest równy wartości pierwszej pochodnej funkcji w punkcie styczności. Zatem:

f'(x_0)=4=3x^2-4x\\3x^2-4x-4=0\\ \Delta=16+4\cdot 4\cdot 3=64\\\sqrt{\Delta}=8\\x_0_1=\frac{4-8}{2}=-\frac{2}{3}\\x_0_2=\frac{4+8}{2}=2

Mamy więc dwa punkty styczności, w których styczna jest równoległa do danej prostej. Szukamy teraz współrzędnej y tych punktów, wstawiając wyznaczone x do wzoru naszej funkcji.

f(x_0_1)=(-\frac{2}{3})^3-2\cdot (-\frac{2}{3})^2+1=-\frac{8}{27}-\frac{8}{9}+1=-\frac{5}{27}\\f(x_0_2)=8-8+1=1\\P_1=(-\frac{2}{3},-\frac{5}{27})\\P_2=(2,1)

Korzystamy teraz ze wzoru y-y_0=f'(x_0)(x-x_0). Równanie pierwszej stycznej:

y-(-\frac{5}{27})=4(x-(-\frac{2}{3}))\\y=4x+\frac{8}{3}-\frac{5}{27}\\y=4x+\frac{67}{27}

Równanie drugiej stycznej:

 

ksiązki Odpowiedź

Równania stycznych: y=4x+67/27 oraz y=4x-7

© medianauka.pl, 2017-01-10, ZAD-3370





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.