Zadanie maturalne nr 10, matura 2023 - poziom rozszerzony
Treść zadania:
Określamy kwadraty \(K_1, K_2, K_3, ...\) następująco:
• \(K_1\) jest kwadratem o boku długości \(a\).
• \(K_2\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_1\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).
• \(K_3\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_2\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).
i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 2\)
• \(K_n\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_n-1\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).
Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.
Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie zadania
Obliczmy długości boków kolejnych kwadratów:
\(a_1=a\)
Ponieważ wierzchołek \(K_2\) dzieli bok o długości \(a\) w stosunku \(1:3\), to skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa do wyznaczenia \(a_2\):
\(a_2^2=(\frac{3}{4}a)^2+(\frac{1}{4}a)^2\)
\(a_2^2=\frac{9}{16}a^2+\frac{1}{16}a^2\)
\(a_2^2=\frac{10}{16}a^2\)
Stąd:
\(a_2=\frac{\sqrt{10}}{4}a\)
Dalej:
\(a_3=\frac{\sqrt{10}}{4}a_2=\frac{\sqrt{10}}{4} \cdot \frac{\sqrt{10}}{4}a=\frac{5}{8}a\)
\(a_4=\frac{\sqrt{10}}{4}a_3= \frac{5\sqrt{10}}{32}a\)
Obwód \(i\)-tego kwadratu wynosi \(L_i=4a_i\), a ich suma:
\(L=L_1+L_2+L+3+...=\)
\(=4a+4\cdot \frac{\sqrt{10}}{4}a +4\cdot \frac{5}{8}a + 4\cdot \frac{5\sqrt{10}}{32}a+...=\)
\(=4a(1+\frac{\sqrt{10}}{4}+ \frac{5}{8} + \frac{5\sqrt{10}}{32}+...)\)
W nawiasie otrzymaliśmy sumę szeregu geometrycznego, w którym \(a'_1=1\) i \(q=\frac{\sqrt{10}}{4}\). Ponieważ \(|q|<1\), szereg jest zbieżny i posiada skończoną sumę:
\(L=4a \cdot \frac{a'_1}{1-q}=\)
\(=4a\cdot \frac{1}{1-\frac{\sqrt{10}}{4}}= \frac{4a}{1-\frac{\sqrt{10}}{4}}\)
Pozbądźmy się niewymierności z mianownika:
\(L= \frac{4a(1+\frac{\sqrt{10}}{4})}{(1-\frac{\sqrt{10}}{4})(1+\frac{\sqrt{10}}{4})}\)
\(L=\frac{4a(1+\frac{\sqrt{10}}{4})}{1-(\frac{\sqrt{10}}{4})^2}\)
\(L=\frac{4a(1+\frac{\sqrt{10}}{4})}{1-\frac{10}{16}}\)
\(L=\frac{4a(1+\frac{\sqrt{10}}{4})}{\frac{6}{16}}\)
\(L=\frac{4a(1+\frac{\sqrt{10}}{4})}{\frac{3}{8}}\)
\(L=\frac{32a(1+\frac{\sqrt{10}}{4})}{3}= \frac{32a+8a\sqrt{10}}{3}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-07-21, ZAD-4946
Zadania podobne
Zadanie nr 3.
Zamienić liczbę 0,(c) na ułamek zwykły, gdzie \(c\in \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace\).
Zadanie nr 4.
Środki kwadratu o boku długości a połączono ze sobą. W ten sposób został utworzony kwadrat, którego środki boków znów połączono ze sobą i tak dalej. Obliczyć pole powierzchni wszystkich utworzonych w ten sposób figur geometrycznych.
Zadanie nr 5.
Nieskończenie wiele odcinków, każdy o długości stanowiącej 1/3 długości poprzedniego, ustawiono w linii prostej jeden za drugim. Jakiej długości linijką trzeba dysponować, aby zmierzyć ich łączną długość. Najdłuższy odcinek ma długość 5 cm?
Zadanie nr 7.
Obliczyć \(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+...\).
Zadanie nr 8.
Rozwiązać równanie \(5+\frac{5}{x}+\frac{5}{x^2}+\frac{5}{x^3}+...=10\).
Zadanie nr 10.
Dla jakich wartości parametru \(x\) szereg geometryczny \(1+x^3+x+1+(x^3+x+1)^2+(x^3+x+1)^3+...\) jest zbieżny?