zadanie maturalne

Zadanie maturalne nr 10, matura 2023 - poziom rozszerzony

Treść zadania:

Określamy kwadraty \(K_1, K_2, K_3, ...\) następująco:
• \(K_1\) jest kwadratem o boku długości \(a\).
• \(K_2\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_1\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).
• \(K_3\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_2\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).

i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 2\)

• \(K_n\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_n-1\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.

Zadanie 10, matura 2023, matematyka rozszerzona

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Obliczmy długości boków kolejnych kwadratów:

\(a_1=a\)

Ponieważ wierzchołek \(K_2\) dzieli bok o długości \(a\) w stosunku \(1:3\), to skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa do wyznaczenia \(a_2\):

\(a_2^2=(\frac{3}{4}a)^2+(\frac{1}{4}a)^2\)

\(a_2^2=\frac{9}{16}a^2+\frac{1}{16}a^2\)

\(a_2^2=\frac{10}{16}a^2\)

Stąd:

\(a_2=\frac{\sqrt{10}}{4}a\)

Dalej:

\(a_3=\frac{\sqrt{10}}{4}a_2=\frac{\sqrt{10}}{4} \cdot \frac{\sqrt{10}}{4}a=\frac{5}{8}a\)

\(a_4=\frac{\sqrt{10}}{4}a_3= \frac{5\sqrt{10}}{32}a\)

Obwód \(i\)-tego kwadratu wynosi \(L_i=4a_i\), a ich suma:

\(L=L_1+L_2+L+3+...=\)

\(=4a+4\cdot \frac{\sqrt{10}}{4}a +4\cdot \frac{5}{8}a + 4\cdot \frac{5\sqrt{10}}{32}a+...=\)

\(=4a(1+\frac{\sqrt{10}}{4}+ \frac{5}{8} + \frac{5\sqrt{10}}{32}+...)\)

W nawiasie otrzymaliśmy sumę szeregu geometrycznego, w którym \(a'_1=1\) i \(q=\frac{\sqrt{10}}{4}\). Ponieważ \(|q|<1\), szereg jest zbieżny i posiada skończoną sumę:

\(L=4a \cdot \frac{a'_1}{1-q}=\)

\(=4a\cdot \frac{1}{1-\frac{\sqrt{10}}{4}}= \frac{4a}{1-\frac{\sqrt{10}}{4}}\)

Pozbądźmy się niewymierności z mianownika:

\(L= \frac{4a(1+\frac{\sqrt{10}}{4})}{(1-\frac{\sqrt{10}}{4})(1+\frac{\sqrt{10}}{4})}\)

\(L=\frac{4a(1+\frac{\sqrt{10}}{4})}{1-(\frac{\sqrt{10}}{4})^2}\)

\(L=\frac{4a(1+\frac{\sqrt{10}}{4})}{1-\frac{10}{16}}\)

\(L=\frac{4a(1+\frac{\sqrt{10}}{4})}{\frac{6}{16}}\)

\(L=\frac{4a(1+\frac{\sqrt{10}}{4})}{\frac{3}{8}}\)

\(L=\frac{32a(1+\frac{\sqrt{10}}{4})}{3}= \frac{32a+8a\sqrt{10}}{3}\)

ksiązki Odpowiedź

\(L=\frac{32a+8a\sqrt{10}}{3}\)

© medianauka.pl, 2023-07-21, ZAD-4946

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Zamienić liczbę 0,24(7) na ułamek zwykły.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Zamienić liczbę 0,(13) na ułamek zwykły.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Zamienić liczbę 0,(c) na ułamek zwykły, gdzie \(c\in \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Środki kwadratu o boku długości a połączono ze sobą. W ten sposób został utworzony kwadrat, którego środki boków znów połączono ze sobą i tak dalej. Obliczyć pole powierzchni wszystkich utworzonych w ten sposób figur geometrycznych.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Nieskończenie wiele odcinków, każdy o długości stanowiącej 1/3 długości poprzedniego, ustawiono w linii prostej jeden za drugim. Jakiej długości linijką trzeba dysponować, aby zmierzyć ich łączną długość. Najdłuższy odcinek ma długość 5 cm?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Obliczyć \(\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Obliczyć \(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+...\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Rozwiązać równanie \(5+\frac{5}{x}+\frac{5}{x^2}+\frac{5}{x^3}+...=10\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9.

Rozwiązać równanie \(1+x+x^2+x^3+..=\frac{8}{7}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10.

Dla jakich wartości parametru \(x\) szereg geometryczny \(1+x^3+x+1+(x^3+x+1)^2+(x^3+x+1)^3+...\) jest zbieżny?

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.