Zadanie maturalne nr 10, matura 2023 - poziom rozszerzony

Rozwiązanie zadania

Obliczmy długości boków kolejnych kwadratów:

\(a_1=a\)

Ponieważ wierzchołek \(K_2\) dzieli bok o długości \(a\) w stosunku \(1:3\), to skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa do wyznaczenia \(a_2\):

\(a_2^2=(\frac{3}{4}a)^2+(\frac{1}{4}a)^2\)

\(a_2^2=\frac{9}{16}a^2+\frac{1}{16}a^2\)

\(a_2^2=\frac{10}{16}a^2\)

Stąd:

\(a_2=\frac{\sqrt{10}}{4}a\)

Dalej:

\(a_3=\frac{\sqrt{10}}{4}a_2=\frac{\sqrt{10}}{4} \cdot \frac{\sqrt{10}}{4}a=\frac{5}{8}a\)

\(a_4=\frac{\sqrt{10}}{4}a_3= \frac{5\sqrt{10}}{32}a\)

Obwód \(i\)-tego kwadratu wynosi \(L_i=4a_i\), a ich suma:

\(L=L_1+L_2+L+3+...=\)

\(=4a+4\cdot \frac{\sqrt{10}}{4}a +4\cdot \frac{5}{8}a + 4\cdot \frac{5\sqrt{10}}{32}a+...=\)

\(=4a(1+\frac{\sqrt{10}}{4}+ \frac{5}{8} + \frac{5\sqrt{10}}{32}+...)\)

W nawiasie otrzymaliśmy sumę szeregu geometrycznego, w którym \(a'_1=1\) i \(q=\frac{\sqrt{10}}{4}\). Ponieważ \(|q|<1\), szereg jest zbieżny i posiada skończoną sumę:

\(L=4a \cdot \frac{a'_1}{1-q}=\)

\(=4a\cdot \frac{1}{1-\frac{\sqrt{10}}{4}}= \frac{4a}{1-\frac{\sqrt{10}}{4}}\)

Pozbądźmy się niewymierności z mianownika:

\(L= \frac{4a(1+\frac{\sqrt{10}}{4})}{(1-\frac{\sqrt{10}}{4})(1+\frac{\sqrt{10}}{4})}\)

\(L=\frac{4a(1+\frac{\sqrt{10}}{4})}{1-(\frac{\sqrt{10}}{4})^2}\)

\(L=\frac{4a(1+\frac{\sqrt{10}}{4})}{1-\frac{10}{16}}\)

\(L=\frac{4a(1+\frac{\sqrt{10}}{4})}{\frac{6}{16}}\)

\(L=\frac{16a(1+\frac{\sqrt{10}}{4})}{3}= \frac{4a(4+\sqrt{10})}{3}\)

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2023-07-21, ZAD-4946

Zadania podobne

Zamienić liczbę 0,24(7) na ułamek zwykły.

Zamienić liczbę 0,(13) na ułamek zwykły.

Zamienić liczbę 0,(c) na ułamek zwykły, gdzie \(c\in \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace\).

Środki kwadratu o boku długości a połączono ze sobą. W ten sposób został utworzony kwadrat, którego środki boków znów połączono ze sobą i tak dalej. Obliczyć pole powierzchni wszystkich utworzonych w ten sposób figur geometrycznych.

Nieskończenie wiele odcinków, każdy o długości stanowiącej 1/3 długości poprzedniego, ustawiono w linii prostej jeden za drugim. Jakiej długości linijki trzeba dysponować, aby zmierzyć ich łączną długość, jeżeli najdłuższy odcinek ma długość 5 cm?

Obliczyć \(\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...\).

Obliczyć \(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+...\).

Rozwiązać równanie \(5+\frac{5}{x}+\frac{5}{x^2}+\frac{5}{x^3}+...=10\).

Rozwiązać równanie \(1+x+x^2+x^3+..=\frac{8}{7}\).

Dla jakich wartości parametru \(x\) szereg geometryczny \(1+x^3+x+1+(x^3+x+1)^2+(x^3+x+1)^3+...\) jest zbieżny?