Zadanie maturalne nr 10, matura 2023 - poziom rozszerzony
Określamy kwadraty \(K_1, K_2, K_3, ...\) następująco:
• \(K_1\) jest kwadratem o boku długości \(a\).
• \(K_2\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_1\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).
• \(K_3\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_2\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).
i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 2\)
• \(K_n\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_n-1\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).
Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.
Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie zadania
Obliczmy długości boków kolejnych kwadratów:
\(a_1=a\)
Ponieważ wierzchołek \(K_2\) dzieli bok o długości \(a\) w stosunku \(1:3\), to skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa do wyznaczenia \(a_2\):
\(a_2^2=(\frac{3}{4}a)^2+(\frac{1}{4}a)^2\)
\(a_2^2=\frac{9}{16}a^2+\frac{1}{16}a^2\)
\(a_2^2=\frac{10}{16}a^2\)
Stąd:
\(a_2=\frac{\sqrt{10}}{4}a\)
Dalej:
\(a_3=\frac{\sqrt{10}}{4}a_2=\frac{\sqrt{10}}{4} \cdot \frac{\sqrt{10}}{4}a=\frac{5}{8}a\)
\(a_4=\frac{\sqrt{10}}{4}a_3= \frac{5\sqrt{10}}{32}a\)
Obwód \(i\)-tego kwadratu wynosi \(L_i=4a_i\), a ich suma:
\(L=L_1+L_2+L+3+...=\)
\(=4a+4\cdot \frac{\sqrt{10}}{4}a +4\cdot \frac{5}{8}a + 4\cdot \frac{5\sqrt{10}}{32}a+...=\)
\(=4a(1+\frac{\sqrt{10}}{4}+ \frac{5}{8} + \frac{5\sqrt{10}}{32}+...)\)
W nawiasie otrzymaliśmy sumę szeregu geometrycznego, w którym \(a'_1=1\) i \(q=\frac{\sqrt{10}}{4}\). Ponieważ \(|q|<1\), szereg jest zbieżny i posiada skończoną sumę:
\(L=4a \cdot \frac{a'_1}{1-q}=\)
\(=4a\cdot \frac{1}{1-\frac{\sqrt{10}}{4}}= \frac{4a}{1-\frac{\sqrt{10}}{4}}\)
Pozbądźmy się niewymierności z mianownika:
\(L= \frac{4a(1+\frac{\sqrt{10}}{4})}{(1-\frac{\sqrt{10}}{4})(1+\frac{\sqrt{10}}{4})}\)
\(L=\frac{4a(1+\frac{\sqrt{10}}{4})}{1-(\frac{\sqrt{10}}{4})^2}\)
\(L=\frac{4a(1+\frac{\sqrt{10}}{4})}{1-\frac{10}{16}}\)
\(L=\frac{4a(1+\frac{\sqrt{10}}{4})}{\frac{6}{16}}\)
\(L=\frac{16a(1+\frac{\sqrt{10}}{4})}{3}= \frac{4a(4+\sqrt{10})}{3}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-07-21, ZAD-4946
Zadania podobne

Zamienić liczbę 0,24(7) na ułamek zwykły.
Pokaż rozwiązanie zadania

Zamienić liczbę 0,(13) na ułamek zwykły.
Pokaż rozwiązanie zadania

Zamienić liczbę 0,(c) na ułamek zwykły, gdzie \(c\in \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace\).
Pokaż rozwiązanie zadania

Środki kwadratu o boku długości a połączono ze sobą. W ten sposób został utworzony kwadrat, którego środki boków znów połączono ze sobą i tak dalej. Obliczyć pole powierzchni wszystkich utworzonych w ten sposób figur geometrycznych.
Pokaż rozwiązanie zadania

Nieskończenie wiele odcinków, każdy o długości stanowiącej 1/3 długości poprzedniego, ustawiono w linii prostej jeden za drugim. Jakiej długości linijki trzeba dysponować, aby zmierzyć ich łączną długość, jeżeli najdłuższy odcinek ma długość 5 cm?
Pokaż rozwiązanie zadania

Obliczyć \(\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...\).
Pokaż rozwiązanie zadania

Obliczyć \(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+...\).
Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać równanie \(5+\frac{5}{x}+\frac{5}{x^2}+\frac{5}{x^3}+...=10\).
Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać równanie \(1+x+x^2+x^3+..=\frac{8}{7}\).
Pokaż rozwiązanie zadania

Dla jakich wartości parametru \(x\) szereg geometryczny \(1+x^3+x+1+(x^3+x+1)^2+(x^3+x+1)^3+...\) jest zbieżny?
Pokaż rozwiązanie zadania