Logo Media Nauka

Zadanie - Zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły

Zamienić liczbę 0,(13) na ułamek zwykły.

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

0,131313...=0,13+0,0013+0,000013+0,00000013+...= \\ =0,13+0,13\cdot 0,01 + 0,13\cdot 0,0001+0,13\cdot 0,000001+...= \\ =0,13+0,13\cdot 0,01+0,13\cdot (0,01)^2+0,13\cdot (0,01)^3+...
a_1=0,13 \\ q=0,01 \\ S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{0,13}{1-0,01}=\frac{\frac{13}{100}}{\frac{99}{100}}=\frac{13}{\cancel{100}}\cdot \frac{\cancel{100}}{99}=\frac{13}{99} \\ 0,1313...=\frac{13}{99}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Liczbę 0,(13) możemy zapisać w następującej postaci: 0,131313...

Aby zamienić ją na ułamek zwykły skorzystamy z sumy szeregu geometrycznego i przedstawić liczbę 0,1313... w postaci ciągu sum częściowych:

a_1+a_1 q+a_1 q^2+...+a_1 q^{n-1}+...

Nietrudno zauważyć, że:

0,131313...=0,13+0,0013+0,000013+0,00000013+...= \\ =0,13+0,13\cdot 0,01 + 0,13\cdot 0,0001+0,13\cdot 0,000001+...= \\ =0,13+0,13\cdot 0,01+0,13\cdot (0,01)^2+0,13\cdot (0,01)^3+... tło tło tło tło tło tło tło

Kolorem niebieskim zaznaczono w szeregu wyraz a1, na zielonym - iloraz q. Właśnie wyraziliśmy liczbę 0,131313... jako szereg geometryczny. Możemy więc teraz zastosować wzór na sumę szeregu geometrycznego. Obliczamy więc sumę wszystkich nieskończenie wielu wyrazów naszego szeregu. Wzór na sumę szeregu geometrycznego jest następujący:

S=\frac{a_1}{1-q} \ dla \ |q|<1

Możemy więc napisać:

a_1=0,13 \\ q=0,01 \\ S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{0,13}{1-0,01}=\frac{\frac{13}{100}}{\frac{99}{100}}=\frac{13}{\cancel{100}}\cdot \frac{\cancel{100}}{99}=\frac{13}{99} \\ 0,1313...=\frac{13}{99}

ksiązki Odpowiedź

0,(13)=\frac{13}{99}

© medianauka.pl, 2009-12-31, ZAD-469



Zadania podobne

kulkaZadanie - zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły
Zamienić liczbę 0,24(7) na ułamek zwykły.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły
Zamienić liczbę 0,(c) na ułamek zwykły, gdzie c\in \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego
Środki kwadratu o boku długości a połączono ze sobą. W ten sposób został utworzony kwadrat, którego środki boków znów połączono ze sobą i tak dalej. Obliczyć pole powierzchni wszystkich utworzonych w ten sposób figur geometrycznych.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego
Nieskończenie wiele odcinków, każdy o długości o 1/3 mniejszej od długości poprzedniego, ustawiono w linii prostej jeden za drugim. Linijką jakiej długości trzeba dysponować, aby zmierzyć ich łączną długość, jeżeli najdłuższy odcinek ma długość 10 cm?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - szereg geometryczny - suma szeregu
Obliczyć \frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - szereg geometryczny
Obliczyć 1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+...

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego, suma szeregu
Rozwiązać równanie 5+\frac{5}{x}+\frac{5}{x^2}+\frac{5}{x^3}+...=10

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - szereg geometryczny - równanie
Rozwiązać równanie 1+x+x^2+x^3+..=\frac{8}{7}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zbieżność szeregu geometrycznego
Dla jakich wartości parametru x szereg geometryczny 1+x^3+x+1+(x^3+x+1)^2+(x^3+x+1)^3+... jest zbieżny?

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.