Nauka » Matematyka » Suma szeregu geometrycznego

Zadanie - Zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły

Zamienić liczbę 0,(13) na ułamek zwykły.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$0,131313...=0,13+0,0013+0,000013+0,00000013+...= \\ =0,13+0,13\cdot 0,01 + 0,13\cdot 0,0001+0,13\cdot 0,000001+...= \\ =0,13+0,13\cdot 0,01+0,13\cdot (0,01)^2+0,13\cdot (0,01)^3+...$
$a_1=0,13 \\ q=0,01 \\ S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{0,13}{1-0,01}=\frac{\frac{13}{100}}{\frac{99}{100}}=\frac{13}{\cancel{100}}\cdot \frac{\cancel{100}}{99}=\frac{13}{99} \\ 0,1313...=\frac{13}{99}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Liczbę 0,(13) możemy zapisać w następującej postaci: 0,131313...

Aby zamienić ją na ułamek zwykły skorzystamy z sumy szeregu geometrycznego i przedstawić liczbę 0,1313... w postaci ciągu sum częściowych:

$a_1+a_1 q+a_1 q^2+...+a_1 q^{n-1}+...$

Nietrudno zauważyć, że:

$0,131313...=0,13+0,0013+0,000013+0,00000013+...= \\ =0,13+0,13\cdot 0,01 + 0,13\cdot 0,0001+0,13\cdot 0,000001+...= \\ =0,13+0,13\cdot 0,01+0,13\cdot (0,01)^2+0,13\cdot (0,01)^3+...$ tło

Kolorem niebieskim zaznaczono w szeregu wyraz a₁, na zielonym - iloraz q. Właśnie wyraziliśmy liczbę 0,131313... jako szereg geometryczny. Możemy więc teraz zastosować wzór na sumę szeregu geometrycznego. Obliczamy więc sumę wszystkich nieskończenie wielu wyrazów naszego szeregu. Wzór na sumę szeregu geometrycznego jest następujący:

$S=\frac{a_1}{1-q} \ dla \ |q|<1$

Możemy więc napisać:

$a_1=0,13 \\ q=0,01 \\ S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{0,13}{1-0,01}=\frac{\frac{13}{100}}{\frac{99}{100}}=\frac{13}{\cancel{100}}\cdot \frac{\cancel{100}}{99}=\frac{13}{99} \\ 0,1313...=\frac{13}{99}$

Odpowiedź

$0,(13)=\frac{13}{99}$

Zadania podobne

Zadanie - zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły
Zamienić liczbę 0,24(7) na ułamek zwykły.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły
Zamienić liczbę 0,(c) na ułamek zwykły, gdzie $c\in \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego
Środki kwadratu o boku długości a połączono ze sobą. W ten sposób został utworzony kwadrat, którego środki boków znów połączono ze sobą i tak dalej. Obliczyć pole powierzchni wszystkich utworzonych w ten sposób figur geometrycznych.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego
Nieskończenie wiele odcinków, każdy o długości o 1/3 mniejszej od długości poprzedniego, ustawiono w linii prostej jeden za drugim. Linijką jakiej długości trzeba dysponować, aby zmierzyć ich łączną długość, jeżeli najdłuższy odcinek ma długość 10 cm?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - szereg geometryczny - suma szeregu
Obliczyć $\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - szereg geometryczny
Obliczyć $1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+...$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego, suma szeregu
Rozwiązać równanie $5+\frac{5}{x}+\frac{5}{x^2}+\frac{5}{x^3}+...=10$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - szereg geometryczny - równanie
Rozwiązać równanie $1+x+x^2+x^3+..=\frac{8}{7}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zbieżność szeregu geometrycznego
Dla jakich wartości parametru x szereg geometryczny

jest zbieżny?

Pokaż rozwiązanie zadania