Strona główna » Matematyka » Suma szeregu geometrycznego

Zadanie - Zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły

Zamienić liczbę 0,(13) na ułamek zwykły.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$0,131313...=0,13+0,0013+0,000013+0,00000013+...= \\ =0,13+0,13\cdot 0,01 + 0,13\cdot 0,0001+0,13\cdot 0,000001+...= \\ =0,13+0,13\cdot 0,01+0,13\cdot (0,01)^2+0,13\cdot (0,01)^3+...$
$a_1=0,13 \\ q=0,01 \\ S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{0,13}{1-0,01}=\frac{\frac{13}{100}}{\frac{99}{100}}=\frac{13}{\cancel{100}}\cdot \frac{\cancel{100}}{99}=\frac{13}{99} \\ 0,1313...=\frac{13}{99}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Liczbę 0,(13) możemy zapisać w następującej postaci: 0,131313...

Aby zamienić ją na ułamek zwykły skorzystamy z sumy szeregu geometrycznego i przedstawić liczbę 0,1313... w postaci ciągu sum częściowych:

$a_1+a_1 q+a_1 q^2+...+a_1 q^{n-1}+...$

Nietrudno zauważyć, że:

$0,131313...=0,13+0,0013+0,000013+0,00000013+...= \\ =0,13+0,13\cdot 0,01 + 0,13\cdot 0,0001+0,13\cdot 0,000001+...= \\ =0,13+0,13\cdot 0,01+0,13\cdot (0,01)^2+0,13\cdot (0,01)^3+...$ tło

Kolorem niebieskim zaznaczono w szeregu wyraz a₁, na zielonym - iloraz q. Właśnie wyraziliśmy liczbę 0,131313... jako szereg geometryczny. Możemy więc teraz zastosować wzór na sumę szeregu geometrycznego. Obliczamy więc sumę wszystkich nieskończenie wielu wyrazów naszego szeregu. Wzór na sumę szeregu geometrycznego jest następujący:

$S=\frac{a_1}{1-q} \ dla \ |q|<1$

Możemy więc napisać:

$a_1=0,13 \\ q=0,01 \\ S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{0,13}{1-0,01}=\frac{\frac{13}{100}}{\frac{99}{100}}=\frac{13}{\cancel{100}}\cdot \frac{\cancel{100}}{99}=\frac{13}{99} \\ 0,1313...=\frac{13}{99}$