Logo Media Nauka

Facebook

Zadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego


Środki kwadratu o boku długości a połączono ze sobą. W ten sposób został utworzony kwadrat, którego środki boków znów połączono ze sobą i tak dalej. Obliczyć pole powierzchni wszystkich utworzonych w ten sposób figur geometrycznych.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Zaczynamy od sporządzenia rysunku

tło

Mamy więc obliczyć pole powierzchni wszystkich kwadratów k1, k2, k3, ...
Niech P oznacza szukane pole powierzchni, a pn pole powierzchni kwadratu kn.

P=p_1+p_2+p_3+... \\ p_1=a^2

Pole p1 było łatwo policzyć. Aby policzyć pole kolejnego kwadratu musimy znać jego długość boku. Spójrz na poniższy rysunek:

tło

Mamy tu do czynienia z trójkątem prostokątnym. Długość boku kwadratu k2 jest równa długości przeciwprostokątnej w zaznaczonym trójkącie. Przeciwprostokątne mają długość równą połowie długości boku kwadratu k2. Korzystamy więc z twierdzenia Pitagorasa:

(\frac{a}{2})^2+(\frac{a}{2})^2=b^2\\ \frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}=b^2\\ \frac{2\cdot a^2}{4}=b^2 \\ \frac{a^2}{4}=b^2 \\ b=\sqrt{\frac{a^2}{4}} \\ b=\frac{a\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}} \\ b=\frac{a\sqrt{2}}{2}

Zauważmy, że otrzymaliśmy zależność między dwoma kolejnymi długościami boków kwadratów, gdyż długość boku następnego kwadratu obliczalibyśmy w ten sam sposób. Możemy zapisać, że długość boku kolejnego kwadratu an jest równa długości boku większego (poprzedniego) kwadratu an-1 pomnożona przez czynnik \frac{\sqrt{2}}{2}. To samo można zapisać za pomocą wzoru i obliczyć wszystkie kolejne długości boków kwadratów:

a_n=\frac{\sqrt{2}}{2}a_{n-1} \\ a_1=a \\ a_2=\frac{\sqrt{2}}{2}a_1=\frac{\sqrt{2}}{2}a \\ a_3=\frac{\sqrt{2}}{2}a_2=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}a=\frac{2}{4}a=\frac{a}{2} \\ a_4=\frac{\sqrt{2}}{2}a_3=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{a}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}a \\ ...

Ponieważ pole kwadratu to długość boku podniesiona do kwadratu, więc znaleźliśmy wzór na pole kolejnego kwadratu:

p_n=(a_n)^2 \\ p_1=a^2 \\ p_2=(\frac{\sqrt{2}}{2}a)^2=\frac{1}{2}a^2 \\ p_3=\frac{1}{4}a^2 \\ p_4=(\frac{\sqrt{2}}{4}a)^2=\frac{2}{16}a^2=\frac{1}{8}a^2 \\ ...

Pole wszystkich kwadratów jest równe:

P=p_1+p_2+p_3+...=a^2+\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{4}a^2+\frac{1}{8}a^2+ ...= \\ = a^2+\frac{1}{2}a^2+a^2(\frac{1}{2})^2+a^2(\frac{1}{2})^3+ ...

Otrzymaliśmy szereg geometryczny. (Zostawiliśmy dla zachowania spójności oznaczeń z kursem oznaczenie wyrazu ciągu a1, które wcześniej oznaczało długość boku. Teraz zmieniamy sens tego oznaczenia). Gdy porównamy powyższą sumę z definicją szeregu:

a_1+a_1q+a_1q^2+a_1q^3+...+a_1q^{n-1}+...

to widać, że

a_1=a^2 \\ q=\frac{1}{2}

Jeżeli |q|<1 (a tak jest w naszym przypadku, bo q=1/2), to szereg geometryczny jest zbieżny i ma sumę, która jest równa:

S=\frac{a_1}{1-q}

Zatem suma pól wszystkich kwadratów to nic innego jak suma szeregu geometrycznego. Możemy napisać, że:

P=S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{a^2}{1-\frac{1}{2}}=\frac{a^2}{\frac{1}{2}}=2a^2

ksiązki Odpowiedź

Pole powierzchni wszystkich kwadratów jest równe 2a^2

© medianauka.pl, 2009-12-31, ZAD-471

Zadania podobne

kulkaZadanie - zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły
Zamienić liczbę 0,24(7) na ułamek zwykły.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły
Zamienić liczbę 0,(13) na ułamek zwykły.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły
Zamienić liczbę 0,(c) na ułamek zwykły, gdzie c\in \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego
Nieskończenie wiele odcinków, każdy o długości o 1/3 mniejszej od długości poprzedniego, ustawiono w linii prostej jeden za drugim. Linijką jakiej długości trzeba dysponować, aby zmierzyć ich łączną długość, jeżeli najdłuższy odcinek ma długość 10 cm?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - szereg geometryczny - suma szeregu
Obliczyć \frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - szereg geometryczny
Obliczyć 1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+...

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego, suma szeregu
Rozwiązać równanie 5+\frac{5}{x}+\frac{5}{x^2}+\frac{5}{x^3}+...=10

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - szereg geometryczny - równanie
Rozwiązać równanie 1+x+x^2+x^3+..=\frac{8}{7}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zbieżność szeregu geometrycznego
Dla jakich wartości parametru x szereg geometryczny 1+x^3+x+1+(x^3+x+1)^2+(x^3+x+1)^3+... jest zbieżny?

Pokaż rozwiązanie zadania






Polecamy w naszym sklepie

Matematyka Część 3 Liczby zespolone Wektory macierze Wyznaczniki Geometria analityczna i różniczkowa
Kubek matematyka pi
Rodzinna matematyka
Nowoczesne kompendium matematyki
kolorowe skarpetki matematyka
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2021 r.