Nauka » Matematyka » Suma szeregu geometrycznego

Zadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego

Środki kwadratu o boku długości a połączono ze sobą. W ten sposób został utworzony kwadrat, którego środki boków znów połączono ze sobą i tak dalej. Obliczyć pole powierzchni wszystkich utworzonych w ten sposób figur geometrycznych.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Zaczynamy od sporządzenia rysunku

Mamy więc obliczyć pole powierzchni wszystkich kwadratów k₁, k₂, k₃, ...
Niech P oznacza szukane pole powierzchni, a p_n pole powierzchni kwadratu k_n.

$P=p_1+p_2+p_3+... \\ p_1=a^2$

Pole p₁ było łatwo policzyć. Aby policzyć pole kolejnego kwadratu musimy znać jego długość boku. Spójrz na poniższy rysunek:

Mamy tu do czynienia z trójkątem prostokątnym. Długość boku kwadratu k₂ jest równa długości przeciwprostokątnej w zaznaczonym trójkącie. Przeciwprostokątne mają długość równą połowie długości boku kwadratu k₂. Korzystamy więc z twierdzenia Pitagorasa:

$(\frac{a}{2})^2+(\frac{a}{2})^2=b^2\\ \frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}=b^2\\ \frac{2\cdot a^2}{4}=b^2 \\ \frac{a^2}{4}=b^2 \\ b=\sqrt{\frac{a^2}{4}} \\ b=\frac{a\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}} \\ b=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Zauważmy, że otrzymaliśmy zależność między dwoma kolejnymi długościami boków kwadratów, gdyż długość boku następnego kwadratu obliczalibyśmy w ten sam sposób. Możemy zapisać, że długość boku kolejnego kwadratu a_n jest równa długości boku większego (poprzedniego) kwadratu a_n-1 pomnożona przez czynnik $\frac{\sqrt{2}}{2}$ . To samo można zapisać za pomocą wzoru i obliczyć wszystkie kolejne długości boków kwadratów:

$a_n=\frac{\sqrt{2}}{2}a_{n-1} \\ a_1=a \\ a_2=\frac{\sqrt{2}}{2}a_1=\frac{\sqrt{2}}{2}a \\ a_3=\frac{\sqrt{2}}{2}a_2=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}a=\frac{2}{4}a=\frac{a}{2} \\ a_4=\frac{\sqrt{2}}{2}a_3=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{a}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}a \\ ...$

Ponieważ pole kwadratu to długość boku podniesiona do kwadratu, więc znaleźliśmy wzór na pole kolejnego kwadratu:

$p_n=(a_n)^2 \\ p_1=a^2 \\ p_2=(\frac{\sqrt{2}}{2}a)^2=\frac{1}{2}a^2 \\ p_3=\frac{1}{4}a^2 \\ p_4=(\frac{\sqrt{2}}{4}a)^2=\frac{2}{16}a^2=\frac{1}{8}a^2 \\ ...$

Pole wszystkich kwadratów jest równe:

$P=p_1+p_2+p_3+...=a^2+\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{4}a^2+\frac{1}{8}a^2+ ...= \\ = a^2+\frac{1}{2}a^2+a^2(\frac{1}{2})^2+a^2(\frac{1}{2})^3+ ...$

Otrzymaliśmy szereg geometryczny. (Zostawiliśmy dla zachowania spójności oznaczeń z kursem oznaczenie wyrazu ciągu a₁, które wcześniej oznaczało długość boku. Teraz zmieniamy sens tego oznaczenia). Gdy porównamy powyższą sumę z definicją szeregu:

$a_1+a_1q+a_1q^2+a_1q^3+...+a_1q^{n-1}+...$

to widać, że

$a_1=a^2 \\ q=\frac{1}{2}$

Jeżeli |q|<1 (a tak jest w naszym przypadku, bo q=1/2), to szereg geometryczny jest zbieżny i ma sumę, która jest równa:

$S=\frac{a_1}{1-q}$

Zatem suma pól wszystkich kwadratów to nic innego jak suma szeregu geometrycznego. Możemy napisać, że:

$P=S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{a^2}{1-\frac{1}{2}}=\frac{a^2}{\frac{1}{2}}=2a^2$

Odpowiedź

Pole powierzchni wszystkich kwadratów jest równe

Zadania podobne

Zadanie - zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły
Zamienić liczbę 0,24(7) na ułamek zwykły.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły
Zamienić liczbę 0,(13) na ułamek zwykły.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły
Zamienić liczbę 0,(c) na ułamek zwykły, gdzie $c\in \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego
Nieskończenie wiele odcinków, każdy o długości stanowiącej 1/3 długości poprzedniego, ustawiono w linii prostej jeden za drugim. Linijką jakiej długości trzeba dysponować, aby zmierzyć ich łączną długość, jeżeli najdłuższy odcinek ma długość 5 cm?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - szereg geometryczny - suma szeregu
Obliczyć $\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - szereg geometryczny
Obliczyć $1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+...$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego, suma szeregu
Rozwiązać równanie $5+\frac{5}{x}+\frac{5}{x^2}+\frac{5}{x^3}+...=10$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - szereg geometryczny - równanie
Rozwiązać równanie $1+x+x^2+x^3+..=\frac{8}{7}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zbieżność szeregu geometrycznego
Dla jakich wartości parametru x szereg geometryczny

jest zbieżny?

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.