Zadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego
Treść zadania:
Środki kwadratu o boku długości a połączono ze sobą. W ten sposób został utworzony kwadrat, którego środki boków znów połączono ze sobą i tak dalej. Obliczyć pole powierzchni wszystkich utworzonych w ten sposób figur geometrycznych.
Rozwiązanie zadania
Zaczynamy od sporządzenia rysunku.
Mamy więc obliczyć pole powierzchni wszystkich kwadratów \(k_1, k_2, k_3,...\).
Niech \(P\) oznacza szukane pole powierzchni, a \(p_n\) pole powierzchni kwadratu \(k_n\).
\(P=p_1+p_2+p_3+...\)
\(p_1=a^2\)
Pole \(p_1\) było łatwo policzyć. Aby policzyć pole kolejnego kwadratu, musimy znać jego długość boku. Spójrz na poniższy rysunek:
Mamy tu do czynienia z trójkątem prostokątnym. Długość boku kwadratu \(k_2\) jest równa długości przeciwprostokątnej w zaznaczonym trójkącie. Przeciwprostokątne mają długość równą połowie długości boku kwadratu \(k_2\). Korzystamy więc z twierdzenia Pitagorasa:
\((\frac{a}{2})^2+(\frac{a}{2})^2=b^2\)
\(\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}=b^2\)
\(\frac{2\cdot a^2}{4}=b^2\)
\(\frac{a^2}{4}=b^2\)
\(b=\sqrt{\frac{a^2}{4}}\)
\(b=\frac{a\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}\)
\(b=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
Zauważmy, że otrzymaliśmy zależność między dwoma kolejnymi długościami boków kwadratów, gdyż długość boku następnego kwadratu obliczalibyśmy w ten sam sposób. Możemy zapisać, że długość boku kolejnego kwadratu \(a_n\) jest równa długości boku większego (poprzedniego) kwadratu \(a_{n-1}\) pomnożona przez czynnik \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). To samo można zapisać za pomocą wzoru i obliczyć wszystkie kolejne długości boków kwadratów:
\(a_n=\frac{\sqrt{2}}{2}a_{n-1}\)
\(a_1=a\)
\(a_2=\frac{\sqrt{2}}{2}a_1=\frac{\sqrt{2}}{2}a\)
\(a_3=\frac{\sqrt{2}}{2}a_2=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}a=\frac{2}{4}a=\frac{a}{2}\)
\(a_4=\frac{\sqrt{2}}{2}a_3=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{a}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}a\)
\(...\)
Ponieważ pole kwadratu to długość boku podniesiona do kwadratu, więc znaleźliśmy wzór na pole kolejnego kwadratu:
\(p_n=(a_n)^2\)
\(p_1=a^2\)
\(p_2=(\frac{\sqrt{2}}{2}a)^2=\frac{1}{2}a^2\)
\(p_3=\frac{1}{4}a^2\)
\(p_4=(\frac{\sqrt{2}}{4}a)^2=\frac{2}{16}a^2=\frac{1}{8}a^2\)
\( ...\)
Pole wszystkich kwadratów jest równe:
\(P=p_1+p_2+p_3+...=a^2+\frac{1}{2}a^2 +\frac{1}{4}a^2+\frac{1}{8}a^2+ ...=\)
\(= a^2+\frac{1}{2}a^2+a^2(\frac{1}{2})^2 +a^2(\frac{1}{2})^3+ ...\)
Otrzymaliśmy szereg geometryczny. (Zostawiliśmy dla zachowania spójności oznaczeń z kursem oznaczenie wyrazu ciągu \(a_1\), które wcześniej oznaczało długość boku. Teraz zmieniamy sens tego oznaczenia). Gdy porównamy powyższą sumę z definicją szeregu,
to widać, że:
\(a_1=a^2\)
\(q=\frac{1}{2}\)
Jeżeli \(|q|<1\) (a tak jest w naszym przypadku, bo \(q=\frac{1}{2}\)), to szereg geometryczny jest zbieżny i ma sumę, która jest równa:
Zatem suma pól wszystkich kwadratów to nic innego jak suma szeregu geometrycznego. Możemy napisać, że:
\(P=S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{a^2}{1-\frac{1}{2}}=\frac{a^2}{\frac{1}{2}}=2a^2\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2009-12-31, ZAD-471
Zadania podobne
Zadanie nr 3.
Zamienić liczbę 0,(c) na ułamek zwykły, gdzie \(c\in \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace\).
Zadanie nr 4.
Nieskończenie wiele odcinków, każdy o długości stanowiącej 1/3 długości poprzedniego, ustawiono w linii prostej jeden za drugim. Jakiej długości linijki trzeba dysponować, aby zmierzyć ich łączną długość, jeżeli najdłuższy odcinek ma długość 5 cm?
Zadanie nr 6.
Obliczyć \(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+...\).
Zadanie nr 7.
Rozwiązać równanie \(5+\frac{5}{x}+\frac{5}{x^2}+\frac{5}{x^3}+...=10\).
Zadanie nr 9.
Dla jakich wartości parametru \(x\) szereg geometryczny \(1+x^3+x+1+(x^3+x+1)^2+(x^3+x+1)^3+...\) jest zbieżny?
Zadanie nr 10 — maturalne.
Określamy kwadraty \(K_1, K_2, K_3, ...\) następująco:
• \(K_1\) jest kwadratem o boku długości \(a\).
• \(K_2\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_1\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).
• \(K_3\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_2\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).
i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 2\)
• \(K_n\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_n-1\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).
Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.
Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.