Nauka » Matematyka » Suma szeregu geometrycznego

Zadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego, suma szeregu

Rozwiązać równanie $5+\frac{5}{x}+\frac{5}{x^2}+\frac{5}{x^3}+...=10$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$5+5\cdot \frac{1}{x}+5\cdot (\frac{1}{x})^2+5\cdot (\frac{1}{x})^3+...=10$
$a_1=5 \\ q=\frac{1}{x}$
Warunekiem zbieżności szeregu: |q|<1, czyli $|\frac{1}{x}|<1$ .
$S=\frac{5}{1-\frac{1}{x}}=10/:5 \\ \frac{1}{\frac{x}{x}-\frac{1}{x}}=2 \\ \frac{1}{\frac{x-1}{x}} \\ \frac{x}{x-1}-2=0 \\ \frac{x}{x-1}-\frac{2(x-1)}{x-1}=0 \\ \frac{x-2x+2}{x-1}=0 \\ -x+2=0 \\ x=2$
Ponieważ $|\frac{1}{x}|=\frac{1}{2}<1$ więc x=2 jest rozwiązaniem równania.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Do obliczenia sumy, która występuje po lewej stronie równania wykorzystamy właściwości szeregu geometrycznego.

$a_1+a_1q+a_1q^2+a_1q^3+...+a_1q^{n-1}+...$

Aby doprowadzić sumę po lewej stronie równania do powyższej postaci wykonujemy niewielkie przekształcenia:

$5+5\cdot \frac{1}{x}+5\cdot (\frac{1}{x})^2+5\cdot (\frac{1}{x})^3+...=10$

Mamy więc do czynienia z szeregiem geometrycznym, w którym

$a_1=5 \\ q=\frac{1}{x}$

W naszym równaniu suma nieskończenie wielu składników jest równa 10. Szereg musi być zatem zbieżny. Warunkiem zbieżności szeregu geometrycznego jest |q|<1, czyli $|\frac{1}{x}|<1$ .
Suma szeregu geometrycznego zbieżnego jest równa:

$S=\frac{a_1}{1-q}$

Możemy więc zastąpić całą lewą stronę równania powyższym wzorem:

$S=\frac{5}{1-\frac{1}{x}}=10/:5 \\ \frac{1}{\frac{x}{x}-\frac{1}{x}}=2 \\ \frac{1}{\frac{x-1}{x}} \\ \frac{x}{x-1}-2=0 \\ \frac{x}{x-1}-\frac{2(x-1)}{x-1}=0 \\ \frac{x-2x+2}{x-1}=0 \\ -x+2=0 \\ x=2$

Ponieważ $|\frac{1}{x}|=\frac{1}{2}<1$ więc x=2 jest rozwiązaniem równania.

Odpowiedź

x=2

Zadania podobne

Zadanie - zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły
Zamienić liczbę 0,24(7) na ułamek zwykły.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły
Zamienić liczbę 0,(13) na ułamek zwykły.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły
Zamienić liczbę 0,(c) na ułamek zwykły, gdzie $c\in \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego
Środki kwadratu o boku długości a połączono ze sobą. W ten sposób został utworzony kwadrat, którego środki boków znów połączono ze sobą i tak dalej. Obliczyć pole powierzchni wszystkich utworzonych w ten sposób figur geometrycznych.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego
Nieskończenie wiele odcinków, każdy o długości stanowiącej 1/3 długości poprzedniego, ustawiono w linii prostej jeden za drugim. Linijką jakiej długości trzeba dysponować, aby zmierzyć ich łączną długość, jeżeli najdłuższy odcinek ma długość 5 cm?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - szereg geometryczny - suma szeregu
Obliczyć $\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - szereg geometryczny
Obliczyć $1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+...$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - szereg geometryczny - równanie
Rozwiązać równanie $1+x+x^2+x^3+..=\frac{8}{7}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zbieżność szeregu geometrycznego
Dla jakich wartości parametru x szereg geometryczny

jest zbieżny?

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.