Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego, suma szeregu


Rozwiązać równanie 5+\frac{5}{x}+\frac{5}{x^2}+\frac{5}{x^3}+...=10


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

5+5\cdot \frac{1}{x}+5\cdot (\frac{1}{x})^2+5\cdot (\frac{1}{x})^3+...=10
a_1=5 \\ q=\frac{1}{x}
Warunekiem zbieżności szeregu: |q|<1, czyli |\frac{1}{x}|<1.
S=\frac{5}{1-\frac{1}{x}}=10/:5 \\ \frac{1}{\frac{x}{x}-\frac{1}{x}}=2 \\ \frac{1}{\frac{x-1}{x}} \\ \frac{x}{x-1}-2=0 \\ \frac{x}{x-1}-\frac{2(x-1)}{x-1}=0 \\ \frac{x-2x+2}{x-1}=0 \\ -x+2=0 \\ x=2
Ponieważ |\frac{1}{x}|=\frac{1}{2}<1 więc x=2 jest rozwiązaniem równania.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Do obliczenia sumy, która występuje po lewej stronie równania wykorzystamy właściwości szeregu geometrycznego.

a_1+a_1q+a_1q^2+a_1q^3+...+a_1q^{n-1}+...

Aby doprowadzić sumę po lewej stronie równania do powyższej postaci wykonujemy niewielkie przekształcenia:

5+5\cdot \frac{1}{x}+5\cdot (\frac{1}{x})^2+5\cdot (\frac{1}{x})^3+...=10

Mamy więc do czynienia z szeregiem geometrycznym, w którym

a_1=5 \\ q=\frac{1}{x}

W naszym równaniu suma nieskończenie wielu składników jest równa 10. Szereg musi być zatem zbieżny. Warunkiem zbieżności szeregu geometrycznego jest |q|<1, czyli |\frac{1}{x}|<1.
Suma szeregu geometrycznego zbieżnego jest równa:

S=\frac{a_1}{1-q}

Możemy więc zastąpić całą lewą stronę równania powyższym wzorem:

S=\frac{5}{1-\frac{1}{x}}=10/:5 \\ \frac{1}{\frac{x}{x}-\frac{1}{x}}=2 \\ \frac{1}{\frac{x-1}{x}} \\ \frac{x}{x-1}-2=0 \\ \frac{x}{x-1}-\frac{2(x-1)}{x-1}=0 \\ \frac{x-2x+2}{x-1}=0 \\ -x+2=0 \\ x=2

Ponieważ |\frac{1}{x}|=\frac{1}{2}<1 więc x=2 jest rozwiązaniem równania.

ksiązki Odpowiedź

x=2

© medianauka.pl, 2010-01-01, ZAD-475





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.