Zadanie - zbieżność szeregu geometrycznego

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Szereg geometryczny ma postać:

Mamy więc:

Warunkiem zbieżności szeregu geometrycznego jest |q|=<1, czyli -1<q<1.
Mamy więc do rozwiązanie dwie nierówności:

Ponieważ x2+1 jest zawsze dodatnie, to powyższy iloczyn jest ujemny, jeśli x<0, co stanowi rozwiązanie powyższej nierówności.
Rozwiązujemy teraz drugą nierówność:

Otrzymaliśmy nierówność algebraiczną. Wielomian po lewej stronie nierówności, oznaczmy go przez W(x), musimy rozłożyć na czynniki. Szukamy pierwiastków wielomianu wśród podzielników wyrazu wolnego, a więc pośród liczb: 1,-1,2 i -2

Liczba -1 jest pierwiastkiem wielomianu W(x). Dzielimy więc wielomian W(x) przez x-x1=x+1

Nasza nierówność zatem przyjmuje postać:

Wyróżnik trójmianu kwadratowego, który występuje w powyższej nierówności algebraicznej jest ujemny, oznacza to, że trójmian nie ma pierwiastków. Ponieważ współczynnik a tego trójmianu jest dodatni, ramiona paraboli skierowane są do góry, parabola nie przecina osi OX, więc wszystkie wartości trójmianu kwadratowego są dodatnie (wyrażenie x2-x+2 jest dodatnie dla każdej wartości x). Powyższa nierówność jest zatem spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy x+1>0 (bo skoro jeden czynnik iloczynu jest dodatni i wynik iloczynu jest dodatni, to drugi czynnik iloczynu również musi być dodatni)

Ponieważ obie rozpatrywane nierówności muszą być spełnione jednocześnie, rozwiązania zadania szukamy poprzez znalezienie części wspólnej obu wyznaczonych zbiorów rozwiązań:


Odpowiedź

© medianauka.pl, 2010-01-01, ZAD-477
Zadania podobne

Zamienić liczbę 0,24(7) na ułamek zwykły.
Pokaż rozwiązanie zadania

Zamienić liczbę 0,(13) na ułamek zwykły.
Pokaż rozwiązanie zadania

Zamienić liczbę 0,(c) na ułamek zwykły, gdzie

Pokaż rozwiązanie zadania

Środki kwadratu o boku długości a połączono ze sobą. W ten sposób został utworzony kwadrat, którego środki boków znów połączono ze sobą i tak dalej. Obliczyć pole powierzchni wszystkich utworzonych w ten sposób figur geometrycznych.
Pokaż rozwiązanie zadania

Nieskończenie wiele odcinków, każdy o długości stanowiącej 1/3 długości poprzedniego, ustawiono w linii prostej jeden za drugim. Linijką jakiej długości trzeba dysponować, aby zmierzyć ich łączną długość, jeżeli najdłuższy odcinek ma długość 5 cm?
Pokaż rozwiązanie zadania

Obliczyć

Pokaż rozwiązanie zadania

Obliczyć

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać równanie

Pokaż rozwiązanie zadania