Nauka » Matematyka » Suma szeregu geometrycznego

Zadanie - zbieżność szeregu geometrycznego

Dla jakich wartości parametru x szereg geometryczny

jest zbieżny?

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Szereg geometryczny ma postać:

$a_1+a_1q+a_1q^2+a_1q^3+...+a_1q^{n-1}+...$

Mamy więc:

$1+x^3+x+1+(x^3+x+1)^2+(x^3+x+1)^3+...\\ a_1=1 \\ q=x^3+x+1$

Warunkiem zbieżności szeregu geometrycznego jest |q|=<1, czyli -1<q<1.

Mamy więc do rozwiązanie dwie nierówności:

$1) \ q<1 \\ x^3+x+1<1 \\ x^3+x+1-1<0 \\ x^3+x<0 \\ x(x^2+1)<0$

Ponieważ x²+1 jest zawsze dodatnie, to powyższy iloczyn jest ujemny, jeśli x<0, co stanowi rozwiązanie powyższej nierówności.

x<0

Rozwiązujemy teraz drugą nierówność:

$2) \ q>-1 \\ x^3+x+1>-1 \\ x^3+x+1+1>0 \\ x^3+x+2>0$

Otrzymaliśmy nierówność algebraiczną. Wielomian po lewej stronie nierówności, oznaczmy go przez W(x), musimy rozłożyć na czynniki. Szukamy pierwiastków wielomianu wśród podzielników wyrazu wolnego, a więc pośród liczb: 1,-1,2 i -2

$W(x)=x^3+x+2 \\ W(1)=1^3+1+2=4\neq 0 \\ W(-1)=(-1)^2-1+2=0 \\ W(2)=8+2+2=12\neq 0 \\ W(-2)=-8-2+2=-8\neq 0$

Liczba -1 jest pierwiastkiem wielomianu W(x). Dzielimy więc wielomian W(x) przez x-x₁=x+1

$(x^3+x+2):(x+1)=x^2-x+2 \\ \underline{x^3+x^2} \\ \ \ \ \ \ -x^2+x+2 \\ \ \ \ \ \ \underline{-x^2-x} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x+2 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{2x+2} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0$

Nasza nierówność zatem przyjmuje postać:

$x^3+x+2>0 \\ (x+1)\underline{(x^2-x+2)}>0 \\ a=1 \\ b=-1 \\ c=2 \\ \Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot 1\cdot 2=1-8=-7<0$

Wyróżnik trójmianu kwadratowego, który występuje w powyższej nierówności algebraicznej jest ujemny, oznacza to, że trójmian nie ma pierwiastków. Ponieważ współczynnik a tego trójmianu jest dodatni, ramiona paraboli skierowane są do góry, parabola nie przecina osi OX, więc wszystkie wartości trójmianu kwadratowego są dodatnie (wyrażenie x²-x+2 jest dodatnie dla każdej wartości x). Powyższa nierówność jest zatem spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy x+1>0 (bo skoro jeden czynnik iloczynu jest dodatni i wynik iloczynu jest dodatni, to drugi czynnik iloczynu również musi być dodatni)

$x+1>0 \\ x>-1$

Ponieważ obie rozpatrywane nierówności muszą być spełnione jednocześnie, rozwiązania zadania szukamy poprzez znalezienie części wspólnej obu wyznaczonych zbiorów rozwiązań:

$\begin{cases} x>-1 \\ x<0 \end{cases}$