Zadanie - zbieżność szeregu geometrycznego


Dla jakich wartości parametru x szereg geometryczny 1+x^3+x+1+(x^3+x+1)^2+(x^3+x+1)^3+... jest zbieżny?

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Szereg geometryczny ma postać:

a_1+a_1q+a_1q^2+a_1q^3+...+a_1q^{n-1}+...

Mamy więc:

1+x^3+x+1+(x^3+x+1)^2+(x^3+x+1)^3+...\\ a_1=1 \\ q=x^3+x+1

Warunkiem zbieżności szeregu geometrycznego jest |q|=<1, czyli -1<q<1.

Mamy więc do rozwiązanie dwie nierówności:

1) \ q<1 \\ x^3+x+1<1 \\ x^3+x+1-1<0 \\ x^3+x<0 \\ x(x^2+1)<0

Ponieważ x2+1 jest zawsze dodatnie, to powyższy iloczyn jest ujemny, jeśli x<0, co stanowi rozwiązanie powyższej nierówności.

x<0

Rozwiązujemy teraz drugą nierówność:

2) \ q>-1 \\ x^3+x+1>-1 \\ x^3+x+1+1>0 \\ x^3+x+2>0

Otrzymaliśmy nierówność algebraiczną. Wielomian po lewej stronie nierówności, oznaczmy go przez W(x), musimy rozłożyć na czynniki. Szukamy pierwiastków wielomianu wśród podzielników wyrazu wolnego, a więc pośród liczb: 1,-1,2 i -2

W(x)=x^3+x+2 \\ W(1)=1^3+1+2=4\neq 0 \\ W(-1)=(-1)^2-1+2=0 \\ W(2)=8+2+2=12\neq 0 \\ W(-2)=-8-2+2=-8\neq 0

Liczba -1 jest pierwiastkiem wielomianu W(x). Dzielimy więc wielomian W(x) przez x-x1=x+1

(x^3+x+2):(x+1)=x^2-x+2 \\ \underline{x^3+x^2} \\ \ \ \ \ \ -x^2+x+2 \\ \ \ \ \ \ \underline{-x^2-x} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x+2 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{2x+2} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0

Nasza nierówność zatem przyjmuje postać:

x^3+x+2>0 \\ (x+1)\underline{(x^2-x+2)}>0 \\ a=1 \\ b=-1 \\ c=2 \\ \Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot 1\cdot 2=1-8=-7<0

Wyróżnik trójmianu kwadratowego, który występuje w powyższej nierówności algebraicznej jest ujemny, oznacza to, że trójmian nie ma pierwiastków. Ponieważ współczynnik a tego trójmianu jest dodatni, ramiona paraboli skierowane są do góry, parabola nie przecina osi OX, więc wszystkie wartości trójmianu kwadratowego są dodatnie (wyrażenie x2-x+2 jest dodatnie dla każdej wartości x). Powyższa nierówność jest zatem spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy x+1>0 (bo skoro jeden czynnik iloczynu jest dodatni i wynik iloczynu jest dodatni, to drugi czynnik iloczynu również musi być dodatni)

x+1>0 \\ x>-1


Ponieważ obie rozpatrywane nierówności muszą być spełnione jednocześnie, rozwiązania zadania szukamy poprzez znalezienie części wspólnej obu wyznaczonych zbiorów rozwiązań:

\begin{cases} x>-1 \\ x<0 \end{cases}

rysunek pomocniczy

ksiązki Odpowiedź

Szereg geometryczny jest zbieżny dla x\in(-1;0)

© medianauka.pl, 2010-01-01, ZAD-477

Zadania podobne

kulkaZadanie - zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły
Zamienić liczbę 0,24(7) na ułamek zwykły.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły
Zamienić liczbę 0,(13) na ułamek zwykły.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły
Zamienić liczbę 0,(c) na ułamek zwykły, gdzie c\in \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego
Środki kwadratu o boku długości a połączono ze sobą. W ten sposób został utworzony kwadrat, którego środki boków znów połączono ze sobą i tak dalej. Obliczyć pole powierzchni wszystkich utworzonych w ten sposób figur geometrycznych.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego
Nieskończenie wiele odcinków, każdy o długości stanowiącej 1/3 długości poprzedniego, ustawiono w linii prostej jeden za drugim. Linijką jakiej długości trzeba dysponować, aby zmierzyć ich łączną długość, jeżeli najdłuższy odcinek ma długość 5 cm?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - szereg geometryczny - suma szeregu
Obliczyć \frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - szereg geometryczny
Obliczyć 1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+...

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego, suma szeregu
Rozwiązać równanie 5+\frac{5}{x}+\frac{5}{x^2}+\frac{5}{x^3}+...=10

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - szereg geometryczny - równanie
Rozwiązać równanie 1+x+x^2+x^3+..=\frac{8}{7}

Pokaż rozwiązanie zadania






Polecamy w naszym sklepie

Matematyka konkretna
Algebra
Kolorowe skarpetki urodzinowe
Kolorowe skarpetki 3D
Krótka historia wielkich umysłów
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2022 r.