Strona główna » Matematyka » Suma szeregu geometrycznego

Zadanie - zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły

Zamienić liczbę 0,24(7) na ułamek zwykły.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$0,24(7)=0,24777...=0,24+0,00777...=\frac{24}{100}+0,00777...$
$0,24(7)=0,24777...=0,24+0,00777...=\frac{24}{100}+0,00777...$
$a_1=0,007 \\ q=0,1 \\ S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{0,07}{1-0,1}=\frac{\frac{7}{1000}}{\frac{9}{10}}=\frac{7}{100\cancel{0}}\cdot \frac{\cancel{10}}{9}=\frac{7}{900} \\ 0,00777...=\frac{7}{900}$
$0,24777...=\frac{24}{100}+\frac{7}{900}=\frac{9\cdot 24}{9\cdot 100}+\frac{7}{900}=\frac{223}{900}$
$0,24(7)=\frac{223}{900}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Liczbę 0,24(7) możemy zapisać jako 0,24777... i aby zamienić ją na ułamek zwykły skorzystamy z pojęcia sumy szeregu geometrycznego. Musimy zatem liczbę 0,24777.. przedstawić w postaci szeregu geometrycznego, czyli ciągu sum częściowych

$a_1+a_1 q+a_1 q^2+...+a_1 q^{n-1}+...$

Zauważamy, że

$0,24(7)=0,24777...=0,24+0,00777...=\frac{24}{100}+0,00777...$

Zajmijmy się drugim składnikiem sumy:

$0,24(7)=0,24777...=0,24+0,00777...=\frac{24}{100}+0,00777...$ tło

Jeśli przyjrzysz się definicji szeregu geometrycznego i postaci, do jakiej doprowadziliśmy naszą liczbę, to widać podobieństwo. Na niebiesko zaznaczono w szeregu wyraz a₁, na zielono - iloraz q. Wyraziliśmy liczbę 0,00777... jako szereg geometryczny. Zrobiliśmy to w celu zastosowania wzoru na sumę szeregu geometrycznego, czyli dla obliczenia sumy wszystkich nieskończenie wielu wyrazów naszego szeregu:

$S=\frac{a_1}{1-q} \ dla \ |q|<1$

Możemy więc napisać:

$a_1=0,007 \\ q=0,1 \\ S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{0,07}{1-0,1}=\frac{\frac{7}{1000}}{\frac{9}{10}}=\frac{7}{100\cancel{0}}\cdot \frac{\cancel{10}}{9}=\frac{7}{900} \\ 0,00777...=\frac{7}{900}$

Zatem:

$0,24777...=\frac{24}{100}+\frac{7}{900}=\frac{9\cdot 24}{9\cdot 100}+\frac{7}{900}=\frac{223}{900}$