Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły


Zamienić liczbę 0,24(7) na ułamek zwykły.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

0,24(7)=0,24777...=0,24+0,00777...=\frac{24}{100}+0,00777...
0,24(7)=0,24777...=0,24+0,00777...=\frac{24}{100}+0,00777...
a_1=0,007 \\ q=0,1 \\ S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{0,07}{1-0,1}=\frac{\frac{7}{1000}}{\frac{9}{10}}=\frac{7}{100\cancel{0}}\cdot \frac{\cancel{10}}{9}=\frac{7}{900} \\ 0,00777...=\frac{7}{900}
0,24777...=\frac{24}{100}+\frac{7}{900}=\frac{9\cdot 24}{9\cdot 100}+\frac{7}{900}=\frac{223}{900}
0,24(7)=\frac{223}{900}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Liczbę 0,24(7) możemy zapisać jako 0,24777... i aby zamienić ją na ułamek zwykły skorzystamy z pojęcia sumy szeregu geometrycznego. Musimy zatem liczbę 0,24777.. przedstawić w postaci szeregu geometrycznego, czyli ciągu sum częściowych

a_1+a_1 q+a_1 q^2+...+a_1 q^{n-1}+...

Zauważamy, że

0,24(7)=0,24777...=0,24+0,00777...=\frac{24}{100}+0,00777...

Zajmijmy się drugim składnikiem sumy:

0,24(7)=0,24777...=0,24+0,00777...=\frac{24}{100}+0,00777... tło tło tło tło tło tło tło

Jeśli przyjrzysz się definicji szeregu geometrycznego i postaci, do jakiej doprowadziliśmy naszą liczbę, to widać podobieństwo. Na niebiesko zaznaczono w szeregu wyraz a1, na zielono - iloraz q. Wyraziliśmy liczbę 0,00777... jako szereg geometryczny. Zrobiliśmy to w celu zastosowania wzoru na sumę szeregu geometrycznego, czyli dla obliczenia sumy wszystkich nieskończenie wielu wyrazów naszego szeregu:

S=\frac{a_1}{1-q} \ dla \ |q|<1

Możemy więc napisać:

a_1=0,007 \\ q=0,1 \\ S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{0,07}{1-0,1}=\frac{\frac{7}{1000}}{\frac{9}{10}}=\frac{7}{100\cancel{0}}\cdot \frac{\cancel{10}}{9}=\frac{7}{900} \\ 0,00777...=\frac{7}{900}

Zatem:

0,24777...=\frac{24}{100}+\frac{7}{900}=\frac{9\cdot 24}{9\cdot 100}+\frac{7}{900}=\frac{223}{900}

ksiązki Odpowiedź

0,24(7)=\frac{223}{900}

© medianauka.pl, 2009-12-31, ZAD-468





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.