Zadanie - zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły
Treść zadania:
Zamienić liczbę 0,24(7) na ułamek zwykły.
Rozwiązanie zadania
Liczbę \(0,24(7)\) możemy zapisać jako \(0,24777...\) i, aby zamienić ją na ułamek zwykły, skorzystamy z pojęcia sumy szeregu geometrycznego. Musimy zatem liczbę \(0,24777...\) przedstawić w postaci szeregu geometrycznego, czyli ciągu sum częściowych:
Zauważamy, że
\(0,24(7)=0,24777...=0,24+0,00777...=\frac{24}{100}+0,00777...\)
Zajmijmy się drugim składnikiem sumy:
Jeśli przyjrzysz się definicji szeregu geometrycznego i postaci, do jakiej doprowadziliśmy naszą liczbę, to widać podobieństwo. Na niebiesko zaznaczono w szeregu wyraz \(a_1\), na zielono - iloraz \(q\). Wyraziliśmy liczbę \(0,00777...\) jako szereg geometryczny. Zrobiliśmy to w celu zastosowania wzoru na sumę szeregu geometrycznego, czyli dla obliczenia sumy wszystkich nieskończenie wielu wyrazów naszego szeregu:
Możemy więc napisać:
\(a_1=0,007\)
\(q=0,1\)
\(S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{0,07}{1-0,1}=\frac{\frac{7}{1000}}{\frac{9}{10}}=\frac{7}{100\cancel{0}}\cdot \frac{\cancel{10}}{9}=\frac{7}{900}\)
\(0,00777...=\frac{7}{900}\)
Zatem:
\(0,24777...=\frac{24}{100}+\frac{7}{900}=\frac{9\cdot 24}{9\cdot 100}+\frac{7}{900}=\frac{223}{900}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2009-12-31, ZAD-468
Zadania podobne
Zadanie nr 2.
Zamienić liczbę 0,(c) na ułamek zwykły, gdzie \(c\in \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace\).
Zadanie nr 3.
Środki kwadratu o boku długości a połączono ze sobą. W ten sposób został utworzony kwadrat, którego środki boków znów połączono ze sobą i tak dalej. Obliczyć pole powierzchni wszystkich utworzonych w ten sposób figur geometrycznych.
Zadanie nr 4.
Nieskończenie wiele odcinków, każdy o długości stanowiącej 1/3 długości poprzedniego, ustawiono w linii prostej jeden za drugim. Jakiej długości linijką trzeba dysponować, aby zmierzyć ich łączną długość. Najdłuższy odcinek ma długość 5 cm?
Zadanie nr 6.
Obliczyć \(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+...\).
Zadanie nr 7.
Rozwiązać równanie \(5+\frac{5}{x}+\frac{5}{x^2}+\frac{5}{x^3}+...=10\).
Zadanie nr 9.
Dla jakich wartości parametru \(x\) szereg geometryczny \(1+x^3+x+1+(x^3+x+1)^2+(x^3+x+1)^3+...\) jest zbieżny?
Zadanie nr 10 — maturalne.
Określamy kwadraty \(K_1, K_2, K_3, ...\) następująco:
• \(K_1\) jest kwadratem o boku długości \(a\).
• \(K_2\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_1\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).
• \(K_3\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_2\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).
i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 2\)
• \(K_n\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_n-1\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).
Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.
Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.