Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego


Nieskończenie wiele odcinków, każdy o długości o 1/3 mniejszej od długości poprzedniego, ustawiono w linii prostej jeden za drugim. Linijką jakiej długości trzeba dysponować, aby zmierzyć ich łączną długość, jeżeli najdłuższy odcinek ma długość 10 cm?


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Niech dn oznacza długość kolejnego odcinka.
d_1=5 \\ d_2=\frac{1}{3}d_1=\frac{1}{3}\cdot 5 \\ d_3=\frac{1}{3}d_2=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot 5=(\frac{1}{3})^2 \cdot 5 \\ d_4=\frac{1}{3}d_3=(\frac{1}{3})^3 \cdot 5 \\ ... \\ d_n=(\frac{1}{3})^{n-1} \cdot 5

d=d_1+d_2+d_3+...=\\ =5+\frac{1}{3}\cdot 5+(\frac{1}{3})^2 \cdot 5+(\frac{1}{3})^3 \cdot 5 + ...+(\frac{1}{3})^{n-1} \cdot 5+...

a_1=5 \\ q=\frac{1}{3}

Ponieważ |q|<1, to szereg geometryczny jest zbieżny i ma sumę, która jest równa:

d=S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{5}{1-\frac{1}{3}}=\frac{5}{\frac{2}{3}}=\frac{15}{2}=7,5
Do zmierzenia długości wszystkich odcinków wystarczy linijka o długości 7,5 cm.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Długość pierwszego odcinka d1=5 (dla wygody obliczeń jednostki na tym etapie pominiemy), długość każdego następnego jest o 1/3 mniejsza:

d_1=5 \\ d_2=\frac{1}{3}d_1=\frac{1}{3}\cdot 5 \\ d_3=\frac{1}{3}d_2=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot 5=(\frac{1}{3})^2 \cdot 5 \\ d_4=\frac{1}{3}d_3=(\frac{1}{3})^3 \cdot 5 \\ ... \\ d_n=(\frac{1}{3})^{n-1} \cdot 5

Suma długości wszystkich odcinków d jest równa:

d=d_1+d_2+d_3+...=\\ =5+\frac{1}{3}\cdot 5+(\frac{1}{3})^2 \cdot 5+(\frac{1}{3})^3 \cdot 5 + ...+(\frac{1}{3})^{n-1} \cdot 5+...

Otrzymaliśmy szereg geometryczny.Gdy porównamy powyższą sumę z definicją szeregu:

a_1+a_1q+a_1q^2+a_1q^3+...+a_1q^{n-1}+...

to widać, że

a_1=5 \\ q=\frac{1}{3}

Jeżeli |q|<1 (a tak jest w naszym przypadku, bo q=1/3), to szereg geometryczny jest zbieżny i ma sumę, która jest równa:

S=\frac{a_1}{1-q}

Zatem suma długości wszystkich odcinków to nic innego jak suma szeregu geometrycznego. Możemy napisać, że:

d=S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{5}{1-\frac{1}{3}}=\frac{5}{\frac{2}{3}}=\frac{15}{2}=7,5

ksiązki Odpowiedź

Do zmierzenia długości wszystkich odcinków wystarczy linijka o długości 7,5 cm.

© medianauka.pl, 2009-12-31, ZAD-472





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.