Logo Media Nauka

Facebook

Zadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego


Nieskończenie wiele odcinków, każdy o długości stanowiącej 1/3 długości poprzedniego, ustawiono w linii prostej jeden za drugim. Linijką jakiej długości trzeba dysponować, aby zmierzyć ich łączną długość, jeżeli najdłuższy odcinek ma długość 5 cm?

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Niech dn oznacza długość kolejnego odcinka.
d_1=5 \\ d_2=\frac{1}{3}d_1=\frac{1}{3}\cdot 5 \\ d_3=\frac{1}{3}d_2=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot 5=(\frac{1}{3})^2 \cdot 5 \\ d_4=\frac{1}{3}d_3=(\frac{1}{3})^3 \cdot 5 \\ ... \\ d_n=(\frac{1}{3})^{n-1} \cdot 5

d=d_1+d_2+d_3+...=\\ =5+\frac{1}{3}\cdot 5+(\frac{1}{3})^2 \cdot 5+(\frac{1}{3})^3 \cdot 5 + ...+(\frac{1}{3})^{n-1} \cdot 5+...

a_1=5 \\ q=\frac{1}{3}

Ponieważ |q|<1, to szereg geometryczny jest zbieżny i ma sumę, która jest równa:

d=S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{5}{1-\frac{1}{3}}=\frac{5}{\frac{2}{3}}=\frac{15}{2}=7,5
Do zmierzenia długości wszystkich odcinków wystarczy linijka o długości 7,5 cm.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Długość pierwszego odcinka d1=5 (dla wygody obliczeń jednostki na tym etapie pominiemy), długość każdego następnego stanowi 1/3 długości poprzedniego:

d_1=5 \\ d_2=\frac{1}{3}d_1=\frac{1}{3}\cdot 5 \\ d_3=\frac{1}{3}d_2=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot 5=(\frac{1}{3})^2 \cdot 5 \\ d_4=\frac{1}{3}d_3=(\frac{1}{3})^3 \cdot 5 \\ ... \\ d_n=(\frac{1}{3})^{n-1} \cdot 5

Suma długości wszystkich odcinków d jest równa:

d=d_1+d_2+d_3+...=\\ =5+\frac{1}{3}\cdot 5+(\frac{1}{3})^2 \cdot 5+(\frac{1}{3})^3 \cdot 5 + ...+(\frac{1}{3})^{n-1} \cdot 5+...

Otrzymaliśmy szereg geometryczny. Gdy porównamy powyższą sumę z definicją szeregu:

a_1+a_1q+a_1q^2+a_1q^3+...+a_1q^{n-1}+...

to widać, że

a_1=5 \\ q=\frac{1}{3}

Jeżeli |q|<1 (a tak jest w naszym przypadku, bo q=1/3), to szereg geometryczny jest zbieżny i ma sumę, która jest równa:

S=\frac{a_1}{1-q}

Zatem suma długości wszystkich odcinków to nic innego jak suma szeregu geometrycznego. Możemy napisać, że:

d=S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{5}{1-\frac{1}{3}}=\frac{5}{\frac{2}{3}}=\frac{15}{2}=7,5

ksiązki Odpowiedź

Do zmierzenia długości wszystkich odcinków wystarczy linijka o długości 7,5 cm.

© medianauka.pl, 2009-12-31, ZAD-472

Zadania podobne

kulkaZadanie - zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły
Zamienić liczbę 0,24(7) na ułamek zwykły.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły
Zamienić liczbę 0,(13) na ułamek zwykły.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły
Zamienić liczbę 0,(c) na ułamek zwykły, gdzie c\in \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego
Środki kwadratu o boku długości a połączono ze sobą. W ten sposób został utworzony kwadrat, którego środki boków znów połączono ze sobą i tak dalej. Obliczyć pole powierzchni wszystkich utworzonych w ten sposób figur geometrycznych.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - szereg geometryczny - suma szeregu
Obliczyć \frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - szereg geometryczny
Obliczyć 1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+...

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego, suma szeregu
Rozwiązać równanie 5+\frac{5}{x}+\frac{5}{x^2}+\frac{5}{x^3}+...=10

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - szereg geometryczny - równanie
Rozwiązać równanie 1+x+x^2+x^3+..=\frac{8}{7}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zbieżność szeregu geometrycznego
Dla jakich wartości parametru x szereg geometryczny 1+x^3+x+1+(x^3+x+1)^2+(x^3+x+1)^3+... jest zbieżny?

Pokaż rozwiązanie zadania






Polecamy w naszym sklepie

cyferki - gra - trefl
Matematyka Część 3 Liczby zespolone Wektory macierze Wyznaczniki Geometria analityczna i różniczkowa
Kolorowe skarpetki - kolorowe grochy
Kubek matematyka pi
BrainBox - Matematyka
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2021 r.