Zadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego


Nieskończenie wiele odcinków, każdy o długości stanowiącej 1/3 długości poprzedniego, ustawiono w linii prostej jeden za drugim. Jakiej długości linijki trzeba dysponować, aby zmierzyć ich łączną długość, jeżeli najdłuższy odcinek ma długość 5 cm?


ksiązki Rozwiązanie zadania

Długość pierwszego odcinka \(d_1=5\) (dla wygody obliczeń jednostki na tym etapie pominiemy), długość każdego następnego stanowi \(\frac{1}{3}\) długości poprzedniego:

\(d_1=5\)

\(d_2=\frac{1}{3}d_1=\frac{1}{3}\cdot 5\)

\(d_3=\frac{1}{3}d_2=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot 5=(\frac{1}{3})^2 \cdot 5\)

\(d_4=\frac{1}{3}d_3=(\frac{1}{3})^3 \cdot 5\)

\(...\)

\(d_n=(\frac{1}{3})^{n-1} \cdot 5\)

Suma długości wszystkich odcinków \(d\) jest równa:

\(d=d_1+d_2+d_3+...=5+\frac{1}{3}\cdot 5+(\frac{1}{3})^2 \cdot 5+(\frac{1}{3})^3 \cdot 5 + ...+(\frac{1}{3})^{n-1} \cdot 5+...\)

Otrzymaliśmy szereg geometryczny. Gdy porównamy powyższą sumę z definicją szeregu:

\(a_1+a_1q+a_1q^2+a_1q^3+...+a_1q^{n-1}+...\)

to widać, że:

\(a_1=5\)

\(q=\frac{1}{3}\)

Jeżeli \(|q|<1\) (a tak jest w naszym przypadku), to szereg geometryczny jest zbieżny i ma sumę, która jest równa:

\(S=\frac{a_1}{1-q}\)

Zatem suma długości wszystkich odcinków to nic innego jak suma szeregu geometrycznego. Możemy napisać, że:

\(d=S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{5}{1-\frac{1}{3}}=\frac{5}{\frac{2}{3}}=\frac{15}{2}=7,5\)

ksiązki Odpowiedź

Do zmierzenia długości wszystkich odcinków wystarczy linijka o długości 7,5 cm.

© medianauka.pl, 2009-12-31, ZAD-472

Zadania podobne

kulkaZadanie - zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły

Zamienić liczbę 0,24(7) na ułamek zwykły.



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły

Zamienić liczbę 0,(13) na ułamek zwykły.



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły

Zamienić liczbę 0,(c) na ułamek zwykły, gdzie \(c\in \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace\).



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego

Środki kwadratu o boku długości a połączono ze sobą. W ten sposób został utworzony kwadrat, którego środki boków znów połączono ze sobą i tak dalej. Obliczyć pole powierzchni wszystkich utworzonych w ten sposób figur geometrycznych.



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - szereg geometryczny - suma szeregu

Obliczyć \(\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...\).



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - szereg geometryczny

Obliczyć \(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+...\).



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego, suma szeregu

Rozwiązać równanie \(5+\frac{5}{x}+\frac{5}{x^2}+\frac{5}{x^3}+...=10\).



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - szereg geometryczny - równanie

Rozwiązać równanie \(1+x+x^2+x^3+..=\frac{8}{7}\).



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zbieżność szeregu geometrycznego

Dla jakich wartości parametru \(x\) szereg geometryczny \(1+x^3+x+1+(x^3+x+1)^2+(x^3+x+1)^3+...\) jest zbieżny?



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 10, matura 2023 - poziom rozszerzony

Określamy kwadraty \(K_1, K_2, K_3, ...\) następująco:
• \(K_1\) jest kwadratem o boku długości \(a\).
• \(K_2\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_1\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).
• \(K_3\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_2\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).

i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 2\)

• \(K_n\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_n-1\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.

Zadanie 10, matura 2023, matematyka rozszerzona

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.



Pokaż rozwiązanie zadania




©® Media Nauka 2008-2023 r.