Strona główna » Matematyka » Suma szeregu geometrycznego

Zadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego

Nieskończenie wiele odcinków, każdy o długości o 1/3 mniejszej od długości poprzedniego, ustawiono w linii prostej jeden za drugim. Linijką jakiej długości trzeba dysponować, aby zmierzyć ich łączną długość, jeżeli najdłuższy odcinek ma długość 10 cm?

Rozwiązanie zadania uproszczone

Niech d_n oznacza długość kolejnego odcinka.
$d_1=5 \\ d_2=\frac{1}{3}d_1=\frac{1}{3}\cdot 5 \\ d_3=\frac{1}{3}d_2=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot 5=(\frac{1}{3})^2 \cdot 5 \\ d_4=\frac{1}{3}d_3=(\frac{1}{3})^3 \cdot 5 \\ ... \\ d_n=(\frac{1}{3})^{n-1} \cdot 5$

$d=d_1+d_2+d_3+...=\\ =5+\frac{1}{3}\cdot 5+(\frac{1}{3})^2 \cdot 5+(\frac{1}{3})^3 \cdot 5 + ...+(\frac{1}{3})^{n-1} \cdot 5+...$

$a_1=5 \\ q=\frac{1}{3}$

Ponieważ |q|<1, to szereg geometryczny jest zbieżny i ma sumę, która jest równa:

$d=S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{5}{1-\frac{1}{3}}=\frac{5}{\frac{2}{3}}=\frac{15}{2}=7,5$
Do zmierzenia długości wszystkich odcinków wystarczy linijka o długości 7,5 cm.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Długość pierwszego odcinka d₁=5 (dla wygody obliczeń jednostki na tym etapie pominiemy), długość każdego następnego jest o 1/3 mniejsza:

$d_1=5 \\ d_2=\frac{1}{3}d_1=\frac{1}{3}\cdot 5 \\ d_3=\frac{1}{3}d_2=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot 5=(\frac{1}{3})^2 \cdot 5 \\ d_4=\frac{1}{3}d_3=(\frac{1}{3})^3 \cdot 5 \\ ... \\ d_n=(\frac{1}{3})^{n-1} \cdot 5$

Suma długości wszystkich odcinków d jest równa:

$d=d_1+d_2+d_3+...=\\ =5+\frac{1}{3}\cdot 5+(\frac{1}{3})^2 \cdot 5+(\frac{1}{3})^3 \cdot 5 + ...+(\frac{1}{3})^{n-1} \cdot 5+...$

Otrzymaliśmy szereg geometryczny.Gdy porównamy powyższą sumę z definicją szeregu:

$a_1+a_1q+a_1q^2+a_1q^3+...+a_1q^{n-1}+...$