Zadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego
Nieskończenie wiele odcinków, każdy o długości stanowiącej 1/3 długości poprzedniego, ustawiono w linii prostej jeden za drugim. Linijką jakiej długości trzeba dysponować, aby zmierzyć ich łączną długość, jeżeli najdłuższy odcinek ma długość 5 cm?
Rozwiązanie zadania uproszczone
Niech dn oznacza długość kolejnego odcinka.



Ponieważ |q|<1, to szereg geometryczny jest zbieżny i ma sumę, która jest równa:

Do zmierzenia długości wszystkich odcinków wystarczy linijka o długości 7,5 cm.
Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Długość pierwszego odcinka d1=5 (dla wygody obliczeń jednostki na tym etapie pominiemy), długość każdego następnego stanowi 1/3 długości poprzedniego:
Suma długości wszystkich odcinków d jest równa:
Otrzymaliśmy szereg geometryczny. Gdy porównamy powyższą sumę z definicją szeregu:
to widać, że
Jeżeli |q|<1 (a tak jest w naszym przypadku, bo q=1/3), to szereg geometryczny jest zbieżny i ma sumę, która jest równa:
Zatem suma długości wszystkich odcinków to nic innego jak suma szeregu geometrycznego. Możemy napisać, że:
Odpowiedź
Do zmierzenia długości wszystkich odcinków wystarczy linijka o długości 7,5 cm.
© medianauka.pl, 2009-12-31, ZAD-472
Zadania podobne
Zadanie - zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły
Zamienić liczbę 0,24(7) na ułamek zwykły.
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie - Zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły
Zamienić liczbę 0,(13) na ułamek zwykły.
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie - zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły
Zamienić liczbę 0,(c) na ułamek zwykły, gdzie
.
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego
Środki kwadratu o boku długości a połączono ze sobą. W ten sposób został utworzony kwadrat, którego środki boków znów połączono ze sobą i tak dalej. Obliczyć pole powierzchni wszystkich utworzonych w ten sposób figur geometrycznych.
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie - szereg geometryczny - suma szeregu
Obliczyć 
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie - szereg geometryczny
Obliczyć 
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego, suma szeregu
Rozwiązać równanie 
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie - szereg geometryczny - równanie
Rozwiązać równanie 
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie - zbieżność szeregu geometrycznego
Dla jakich wartości parametru x szereg geometryczny
jest zbieżny?
Pokaż rozwiązanie zadania
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz
wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
©® Media Nauka 2008-2023 r.
Drogi Internauto! Aby móc dostarczać coraz lepsze materiały i usługi potrzebujemy Twojej zgody na zapisywanie w pamięci Twojego urządzenia plików cookies oraz na dopasowanie treści marketingowych do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy utrzymywać nasze usługi.
Używamy cookies w celach funkcjonalnych oraz w celu tworzenia anonimowych statystyk. Ddbamy o Twoją prywatność.
Aby udzielić nam zgody na profilowanie i remarketing musisz mieć ukończone 16 lat. Brak zgody nie ograniczy w żaden sposób treści naszego serwisu. Udzieloną nam zgodę w każdej chwili możesz wycofać w Polityce prywatności lub przez wyczyszczenie historii przeglądarki.
Brak zgody oznacza wyłączenie profilowania, remarketingu i dostosowywania treści. Reklamy nadal będą się wyświetlać ale w sposób przypadkowy. Nadal będziemy używać zanonimizowanych danych do tworzenia statystyk serwisu. Dalsze korzystanie ze strony oznacza, że zgadzasz się na takie użycie danych.
Zapoznaj się z naszą Polityką Prywatności.
BRAK ZGODY ZGODA