Logo Media Nauka

Zadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego

Nieskończenie wiele odcinków, każdy o długości o 1/3 mniejszej od długości poprzedniego, ustawiono w linii prostej jeden za drugim. Linijką jakiej długości trzeba dysponować, aby zmierzyć ich łączną długość, jeżeli najdłuższy odcinek ma długość 10 cm?

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Niech dn oznacza długość kolejnego odcinka.
d_1=5 \\ d_2=\frac{1}{3}d_1=\frac{1}{3}\cdot 5 \\ d_3=\frac{1}{3}d_2=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot 5=(\frac{1}{3})^2 \cdot 5 \\ d_4=\frac{1}{3}d_3=(\frac{1}{3})^3 \cdot 5 \\ ... \\ d_n=(\frac{1}{3})^{n-1} \cdot 5

d=d_1+d_2+d_3+...=\\ =5+\frac{1}{3}\cdot 5+(\frac{1}{3})^2 \cdot 5+(\frac{1}{3})^3 \cdot 5 + ...+(\frac{1}{3})^{n-1} \cdot 5+...

a_1=5 \\ q=\frac{1}{3}

Ponieważ |q|<1, to szereg geometryczny jest zbieżny i ma sumę, która jest równa:

d=S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{5}{1-\frac{1}{3}}=\frac{5}{\frac{2}{3}}=\frac{15}{2}=7,5
Do zmierzenia długości wszystkich odcinków wystarczy linijka o długości 7,5 cm.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Długość pierwszego odcinka d1=5 (dla wygody obliczeń jednostki na tym etapie pominiemy), długość każdego następnego jest o 1/3 mniejsza:

d_1=5 \\ d_2=\frac{1}{3}d_1=\frac{1}{3}\cdot 5 \\ d_3=\frac{1}{3}d_2=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot 5=(\frac{1}{3})^2 \cdot 5 \\ d_4=\frac{1}{3}d_3=(\frac{1}{3})^3 \cdot 5 \\ ... \\ d_n=(\frac{1}{3})^{n-1} \cdot 5

Suma długości wszystkich odcinków d jest równa:

d=d_1+d_2+d_3+...=\\ =5+\frac{1}{3}\cdot 5+(\frac{1}{3})^2 \cdot 5+(\frac{1}{3})^3 \cdot 5 + ...+(\frac{1}{3})^{n-1} \cdot 5+...

Otrzymaliśmy szereg geometryczny.Gdy porównamy powyższą sumę z definicją szeregu:

a_1+a_1q+a_1q^2+a_1q^3+...+a_1q^{n-1}+...

to widać, że

a_1=5 \\ q=\frac{1}{3}

Jeżeli |q|<1 (a tak jest w naszym przypadku, bo q=1/3), to szereg geometryczny jest zbieżny i ma sumę, która jest równa:

S=\frac{a_1}{1-q}

Zatem suma długości wszystkich odcinków to nic innego jak suma szeregu geometrycznego. Możemy napisać, że:

d=S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{5}{1-\frac{1}{3}}=\frac{5}{\frac{2}{3}}=\frac{15}{2}=7,5

ksiązki Odpowiedź

Do zmierzenia długości wszystkich odcinków wystarczy linijka o długości 7,5 cm.

© medianauka.pl, 2009-12-31, ZAD-472



Zadania podobne

kulkaZadanie - zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły
Zamienić liczbę 0,24(7) na ułamek zwykły.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły
Zamienić liczbę 0,(13) na ułamek zwykły.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły
Zamienić liczbę 0,(c) na ułamek zwykły, gdzie c\in \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego
Środki kwadratu o boku długości a połączono ze sobą. W ten sposób został utworzony kwadrat, którego środki boków znów połączono ze sobą i tak dalej. Obliczyć pole powierzchni wszystkich utworzonych w ten sposób figur geometrycznych.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - szereg geometryczny - suma szeregu
Obliczyć \frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - szereg geometryczny
Obliczyć 1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+...

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego, suma szeregu
Rozwiązać równanie 5+\frac{5}{x}+\frac{5}{x^2}+\frac{5}{x^3}+...=10

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - szereg geometryczny - równanie
Rozwiązać równanie 1+x+x^2+x^3+..=\frac{8}{7}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zbieżność szeregu geometrycznego
Dla jakich wartości parametru x szereg geometryczny 1+x^3+x+1+(x^3+x+1)^2+(x^3+x+1)^3+... jest zbieżny?

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.