Logo Serwisu Media Nauka


Szereg geometryczny

Teoria Jeżeli dany jest ciąg geometryczny (an ) o ilorazie q, to możemy utworzyć nowy ciąg Sn w następujący sposób:

S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
S4 = a1 + a2 + a3 + a4
...
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an
...

Widzimy, że n-ty wyraz stanowi sumę n kolejnych wyrazów ciągu (an ) począwszy od wyrazu pierwszego.

Ciąg (Sn ) nazywamy szeregiem geometrycznym lub ciągiem sum częściowych ciągu geometrycznego.

Ponieważ n-ty wyraz ciągu geometrycznego wyraża się wzorem a_n=a_1\cdot{q^{n-1}}, to szereg geometryczny będzie miał następującą postać:

a_1+a_1\cdot{q}+a_1\cdot{q^2}+a_1\cdot{q^3}+...+a_1\cdot{q^{n-1}}+...

Przeanalizujemy powyższe określenie szeregu geometrycznego na przykładzie.

Przykład Przykład

Dane jest koło o promieniu r. Rozcinamy je na dwie części o równych polach p, a następnie jedną z tych części znów na połowę itd.

Wykres funkcji y=3x

Pole koła wyraża się wzorem p=\pi{r^2}. Każda z części ma pole o połowę mniejszą niż większa część. Obliczmy więc pola poszczególnych części figury.
p_1=\frac{\pi r^2}{2}\\p_2=\frac{\pi r^2}{4}=p_1\cdot \frac{1}{2}\\p_3=\frac{\pi r^2}{8}=p_2\cdot \frac{1}{2}\\p_4=\frac{\pi r^2}{16}=p_3\cdot \frac{1}{2}\\...\\p_n=\frac{\pi r^2}{2^n}=p_{(n-1)}\cdot \frac{1}{2}\\...
Pola kolejnych figur tworzą ciąg geometryczny (pn ) o ilorazie q=1/2.
Utworzymy teraz szereg geometryczny. Dodajemy do siebie kolejne pola tworząc sumy pośrednie:
s_1=p_1=\frac{\pi r^2}{2}\\s_2=p_1+p_2=\frac{\pi r^2}{2}+\frac{\pi r^2}{4}=\frac{3\pi r^2}{4}\\s_3=p_1+p_2+p_3=\frac{\pi r^2}{2}+\frac{\pi r^2}{4}+\frac{\pi r^2}{8}=\frac{7\pi r^2}{8}\\s_3=p_1+p_2+p_3+p_4=\frac{\pi r^2}{2}+\frac{\pi r^2}{4}+\frac{\pi r^2}{8}+\frac{\pi r^2}{16}=\frac{15\pi r^2}{16}\\...\\s_n=p_1+p_2+p_3+...+p_n=\frac{\pi r^2}{2}+\frac{\pi r^2}{4}+\frac{\pi r^2}{8}+...+\frac{\pi r^2}{2^n}=\pi r^2[1-(\frac{1}{2})^n]\\...
Jak obliczyliśmy sn ? Skorzystaliśmy z wzoru na sumę n wyrazów ciągu geometrycznego.
s_n=a_1\frac{1-q^2}{1-q}=\frac{\pi{r^2}}{2}\cdot{\frac{1-(\frac{1}{2})^n}{1-\frac{1}{2}}}=\pi{r^2}[1-(\frac{1}{2})^n]
W taki oto sposób utworzyliśmy ciąg geometryczny.

Warto jeszcze zwrócić uwagę na to, że kolejne wyrazy ciągu geometrycznego coraz bardziej zbliżają się do wartości pola koła. Możemy to nawet policzyć obliczając odpowiednią granicę:.

\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}[\pi{r^2}[1-(\frac{1}{2})^n]]=\lim_{n\to\infty}(\pi{r^2}-\pi{r^2}\frac{1}{2^n})=\pi{r^2}-0=\pi{r^2}

© Media Nauka, 2009-09-06, ART-314





Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy