Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Właściwości ciągu geometrycznego

Twierdzenie Twierdzenie

Jeżeli (an) jest ciągiem geometrycznym, a q ilorazem ciągu geometrycznego, to dla każdego n \in N_+ zachodzi wzór na n-ty wyraz ciągu:

a_n=a_1\cdot q^{n-1}

Zatem jeżeli znamy pierwszy wyraz ciągu i iloraz ciągu geometrycznego możemy obliczyć dowolny wyraz tego ciągu. Zobaczmy to na przykładzie.

Przykład Przykład

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego o ilorazie q=5 jest równy 3. Oblicz dziesiąty wyraz ciągu a10.
Mamy wszystkie dane, aby skorzystać ze wzoru na n-ty wyraz ciągu.
a_{10}=3\cdot 5^{(10-1)}=5859375

Twierdzenie Twierdzenie

Każdy wyraz ciągu geometrycznego z wyjątkiem pierwszego (i ostatniego dla ciągu skończonego) jest średnią geometryczną wyrazu poprzedniego i następnego:

a_n=\sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}

Suma wyrazów ciągu geometrycznego

Twierdzenie Twierdzenie

Wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego
Suma n kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego (an) wyraża się wzorem:

S_n=a_1\cdot{\frac{1-q^n}{1-q}} \ dla \ q\neq 1 \\ S_n=a_1\cdot n, \ dla \ q=1

Powyższe oznacza, że jeżeli mamy ciąg geometryczny (a_1,a_2,a_3,...), to według powyższego wzoru możemy obliczyć sumę S_n=\underbrace{a_1+a_2+..+a_n}_{n - skladnikow}

Przykład Przykład

Obliczmy sumę pierwszych 10-ciu wyrazów ciągu, którego a_1=1, q=5
Z warunków zadania wynika, że jest to ciąg geometryczny. Możemy więc skorzystać ze wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego
a1=1
n =10
q=5
S_n=1\cdot \frac{1-5^{10}}{1-5}=\frac{1-9765625}{-4}=2441406

Przykład Przykład

Czwarty wyraz ciągu geometrycznego jest równy 5, a szósty wyraz jest równy 25. Obliczyć pierwszy wyraz ciągu.
Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego. Mamy więc z warunków zadania
a_4=5=a_1\cdot q^{4-1}=a_1\cdot q^3
a_{6}=25=a_1\cdot q^{6-1}=a_1 \cdot q^5
Aby obliczyć iloraz q, dzielimy oba wyrazy przez siebie:
\frac{a_{4}}{a_6}=\frac{a_1\cdot q^3}{a_1 \cdot q^5}=\frac{1}{q^2}=\frac{5}{25}
Więc
q^2=5\\q=\sqrt{5},\ q=-\sqrt{5}
Możliwe są więc dwa pierwsze wyrazy ciągu, które obliczamy z pierwszego zapisanego równania na czwarty wyraz ciągu:
a_4=a_1\cdot q^3\\a_1=\frac{a_4}{q^3}=\frac{5}{(\sqrt{5})^3}=\frac{5}{5\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}
lub
a_1=\frac{5}{(-\sqrt{5})^3}=\frac{5}{-5\sqrt{5}}=\frac{-1}{\sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}


© medianauka.pl, 2009-08-24, ART-308






Inne zagadnienia z tej lekcji


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie-ikonka Zadanie - ciąg geometryczny
Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: (2+\sqrt{2},2+2\sqrt{2},4+2\sqrt{2},4+4\sqrt{2},...)

zadanie-ikonka Zadanie - ciąg geometryczny
Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy \frac{1}{\sqrt{2}}, a siódmy wzór. Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu i obliczyć sumę pierwszych dziesięciu wyrazów tego ciągu geometrycznego.

zadanie-ikonka Zadanie - ciąg geometryczny
Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 8, iloraz tego ciągu jest równy 1/2. Obliczyć sumę wyrazów tego ciągu od wyrazu czwartego do dziesiątego.

zadanie-ikonka Zadanie - ciąg geometryczny
Dla jakich wartości x i y ciąg (5,x,y,\frac{1}{25}) jest ciągiem geometrycznym?

zadanie-ikonka Zadanie - ciąg geometryczny - zadanie z treścią
Głębokość basenu w kształcie prostopadłościanu, który mieści milion litrów wody wynosi 2,5 m. Głębokość, szerokość i długość basenu tworzą ciąg geometryczny. Jaka jest długość i szerokość basenu?

zadanie-ikonka Zadanie z treścią - ciąg geometryczny
Ile metrów studni można wykopać za 1000 zł, jeśli wykonawca oferuje wykopanie pierwszego metra za 1 grosz, a za każdy następny metr dwa razy więcej niż za poprzedni?

zadania maturalne zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 13, matura 2015 (poziom podstawowy)
W rosnącym ciągu geometrycznym (an) , określonym dla n ≥ 1, spełniony jest warunek a4=3a1. Iloraz q tego ciągu jest równy

A. q=1/3
B. q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}
C. q=\sqrt[3]{3}
D. q=3




Polecamy koszyk



© Media Nauka 2008-2017 r.