Zadanie - szereg geometryczny


Obliczyć 1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+...

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+...=1+1\cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}})+1\cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}})^2+1\cdot (\frac{1}{\sqrt{2}})^3+...

a_1=1 \\ q=-\frac{1}{\sqrt{2}}

Ponieważ |q|<1, to szereg geometryczny jest zbieżny i ma sumę, która jest równa:

S=\frac{1}{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}= \\ =\frac{ \sqrt{2}(\sqrt{2}-1) }{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\frac{2-\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2-1^2}=\frac{2-\sqrt{2}}{2-1}=2-\sqrt{2}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Do obliczenia tej sumy wykorzystamy właściwości szeregu geometrycznego. Musimy jednak tę sumę doprowadzić do właściwej postaci:

a_1+a_1q+a_1q^2+a_1q^3+...+a_1q^{n-1}+...

Wykonujemy przekształcenia:

1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+...=1+1\cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}})+1\cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}})^2+1\cdot (\frac{1}{\sqrt{2}})^3+...

Otrzymaliśmy szereg geometryczny, w którym

a_1=1 \\ q=-\frac{1}{\sqrt{2}}

Jeżeli |q|<1 (a tak jest w naszym przypadku), to szereg geometryczny jest zbieżny i ma sumę, która jest równa:

S=\frac{a_1}{1-q}

Możemy więc zapisać:

S=\frac{1}{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}= \\ =\frac{ \sqrt{2}(\sqrt{2}-1) }{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\frac{2-\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2-1^2}=\frac{2-\sqrt{2}}{2-1}=2-\sqrt{2}

ksiązki Odpowiedź

1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+...=2-\sqrt{2}

© medianauka.pl, 2010-01-01, ZAD-474


Zadania podobne

kulkaZadanie - zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły
Zamienić liczbę 0,24(7) na ułamek zwykły.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły
Zamienić liczbę 0,(13) na ułamek zwykły.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły
Zamienić liczbę 0,(c) na ułamek zwykły, gdzie c\in \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego
Środki kwadratu o boku długości a połączono ze sobą. W ten sposób został utworzony kwadrat, którego środki boków znów połączono ze sobą i tak dalej. Obliczyć pole powierzchni wszystkich utworzonych w ten sposób figur geometrycznych.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego
Nieskończenie wiele odcinków, każdy o długości o 1/3 mniejszej od długości poprzedniego, ustawiono w linii prostej jeden za drugim. Linijką jakiej długości trzeba dysponować, aby zmierzyć ich łączną długość, jeżeli najdłuższy odcinek ma długość 10 cm?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - szereg geometryczny - suma szeregu
Obliczyć \frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego, suma szeregu
Rozwiązać równanie 5+\frac{5}{x}+\frac{5}{x^2}+\frac{5}{x^3}+...=10

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - szereg geometryczny - równanie
Rozwiązać równanie 1+x+x^2+x^3+..=\frac{8}{7}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zbieżność szeregu geometrycznego
Dla jakich wartości parametru x szereg geometryczny 1+x^3+x+1+(x^3+x+1)^2+(x^3+x+1)^3+... jest zbieżny?

Pokaż rozwiązanie zadania



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2018 r.