Nauka » Matematyka » Suma szeregu geometrycznego

Zadanie - szereg geometryczny

Obliczyć $1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+...$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+...=1+1\cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}})+1\cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}})^2+1\cdot (\frac{1}{\sqrt{2}})^3+...$

$a_1=1 \\ q=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

Ponieważ |q|<1, to szereg geometryczny jest zbieżny i ma sumę, która jest równa:

$S=\frac{1}{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}= \\ =\frac{ \sqrt{2}(\sqrt{2}-1) }{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\frac{2-\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2-1^2}=\frac{2-\sqrt{2}}{2-1}=2-\sqrt{2}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Do obliczenia tej sumy wykorzystamy właściwości szeregu geometrycznego. Musimy jednak tę sumę doprowadzić do właściwej postaci:

$a_1+a_1q+a_1q^2+a_1q^3+...+a_1q^{n-1}+...$

Wykonujemy przekształcenia:

$1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+...=1+1\cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}})+1\cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}})^2+1\cdot (\frac{1}{\sqrt{2}})^3+...$

Otrzymaliśmy szereg geometryczny, w którym

$a_1=1 \\ q=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

Jeżeli |q|<1 (a tak jest w naszym przypadku), to szereg geometryczny jest zbieżny i ma sumę, która jest równa:

$S=\frac{a_1}{1-q}$

Możemy więc zapisać:

$S=\frac{1}{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}= \\ =\frac{ \sqrt{2}(\sqrt{2}-1) }{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\frac{2-\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2-1^2}=\frac{2-\sqrt{2}}{2-1}=2-\sqrt{2}$

Odpowiedź

$1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+...=2-\sqrt{2}$

Zadania podobne

Zadanie - zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły
Zamienić liczbę 0,24(7) na ułamek zwykły.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły
Zamienić liczbę 0,(13) na ułamek zwykły.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły
Zamienić liczbę 0,(c) na ułamek zwykły, gdzie $c\in \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego
Środki kwadratu o boku długości a połączono ze sobą. W ten sposób został utworzony kwadrat, którego środki boków znów połączono ze sobą i tak dalej. Obliczyć pole powierzchni wszystkich utworzonych w ten sposób figur geometrycznych.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego
Nieskończenie wiele odcinków, każdy o długości stanowiącej 1/3 długości poprzedniego, ustawiono w linii prostej jeden za drugim. Linijką jakiej długości trzeba dysponować, aby zmierzyć ich łączną długość, jeżeli najdłuższy odcinek ma długość 5 cm?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - szereg geometryczny - suma szeregu
Obliczyć $\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego, suma szeregu
Rozwiązać równanie $5+\frac{5}{x}+\frac{5}{x^2}+\frac{5}{x^3}+...=10$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - szereg geometryczny - równanie
Rozwiązać równanie $1+x+x^2+x^3+..=\frac{8}{7}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zbieżność szeregu geometrycznego
Dla jakich wartości parametru x szereg geometryczny

jest zbieżny?

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.