Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - szereg geometryczny - suma szeregu


Obliczyć \frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{4}+...=\frac{1}{4}+(\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{4})^3+...
\frac{1}{4}+(\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{4})^3+...=0+\frac{1}{4}+(\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{4})^3+...= \\ =-1+\underline{1+1\cdot \frac{1}{4}+1\cdot (\frac{1}{4})^2+1\cdot (\frac{1}{4})^3+...}
a_1=1 \\ q=\frac{1}{4}

Ponieważ |q|<1, to szereg geometryczny jest zbieżny.

-1+1+1\cdot \frac{1}{4}+1\cdot (\frac{1}{4})^2+1\cdot (\frac{1}{4})^3+...=-1+\frac{1}{1-\frac{1}{4}}= \\ =-1+\frac{1}{\frac{3}{4}}=-1+\frac{4}{3}=\frac{1}{3}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Do obliczenia tej sumy wykorzystamy właściwości szeregu geometrycznego. Musimy jednak tę sumę doprowadzić do właściwej postaci:

a_1+a_1q+a_1q^2+a_1q^3+...+a_1q^{n-1}+...

Wykonujemy przekształcenia:

\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{4}+...=\frac{1}{4}+(\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{4})^3+...

Gdy porównamy naszą sumę ze wzorem ogólnym na szereg geometryczny, to widać, że mamy iloraz q=1/4, brakuje nam jednak wyrazu a1. Zawsze jednak możemy do tej sumy dodać liczbę 0, która nie zmieni wyniku, a pozwoli nam zastosować pewne własności szeregu geometrycznego:

\frac{1}{4}+(\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{4})^3+...=0+\frac{1}{4}+(\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{4})^3+...= \\ =-1+1+1\cdot \frac{1}{4}+1\cdot (\frac{1}{4})^2+1\cdot (\frac{1}{4})^3+... tło

Zaznaczony fragment, to szereg geometryczny, w którym

a_1=1 \\ q=\frac{1}{4}

Jeżeli |q|<1 (a tak jest w naszym przypadku, bo q=1/4), to szereg geometryczny jest zbieżny i ma sumę, która jest równa:

S=\frac{a_1}{1-q}

Możemy więc zapisać:

-1+1+1\cdot \frac{1}{4}+1\cdot (\frac{1}{4})^2+1\cdot (\frac{1}{4})^3+...=-1+\frac{1}{1-\frac{1}{4}}= \\ =-1+\frac{1}{\frac{3}{4}}=-1+\frac{4}{3}=\frac{1}{3}tło

ksiązki Odpowiedź

\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...=\frac{1}{3}

© medianauka.pl, 2009-12-31, ZAD-473


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.