Nauka » Matematyka » Suma szeregu geometrycznego

Zadanie - szereg geometryczny - suma szeregu

Obliczyć $\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{4}+...=\frac{1}{4}+(\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{4})^3+...$
$\frac{1}{4}+(\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{4})^3+...=0+\frac{1}{4}+(\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{4})^3+...= \\ =-1+\underline{1+1\cdot \frac{1}{4}+1\cdot (\frac{1}{4})^2+1\cdot (\frac{1}{4})^3+...}$
$a_1=1 \\ q=\frac{1}{4}$

Ponieważ |q|<1, to szereg geometryczny jest zbieżny.

$-1+1+1\cdot \frac{1}{4}+1\cdot (\frac{1}{4})^2+1\cdot (\frac{1}{4})^3+...=-1+\frac{1}{1-\frac{1}{4}}= \\ =-1+\frac{1}{\frac{3}{4}}=-1+\frac{4}{3}=\frac{1}{3}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Do obliczenia tej sumy wykorzystamy właściwości szeregu geometrycznego. Musimy jednak tę sumę doprowadzić do właściwej postaci:

$a_1+a_1q+a_1q^2+a_1q^3+...+a_1q^{n-1}+...$

Wykonujemy przekształcenia:

$\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{4}+...=\frac{1}{4}+(\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{4})^3+...$

Gdy porównamy naszą sumę ze wzorem ogólnym na szereg geometryczny, to widać, że mamy iloraz q=1/4, brakuje nam jednak wyrazu a₁. Zawsze jednak możemy do tej sumy dodać liczbę 0, która nie zmieni wyniku, a pozwoli nam zastosować pewne własności szeregu geometrycznego:

$\frac{1}{4}+(\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{4})^3+...=0+\frac{1}{4}+(\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{4})^3+...= \\ =-1+1+1\cdot \frac{1}{4}+1\cdot (\frac{1}{4})^2+1\cdot (\frac{1}{4})^3+...$ tło

Zaznaczony fragment, to szereg geometryczny, w którym

$a_1=1 \\ q=\frac{1}{4}$

Jeżeli |q|<1 (a tak jest w naszym przypadku, bo q=1/4), to szereg geometryczny jest zbieżny i ma sumę, która jest równa:

$S=\frac{a_1}{1-q}$

Możemy więc zapisać:

$-1+1+1\cdot \frac{1}{4}+1\cdot (\frac{1}{4})^2+1\cdot (\frac{1}{4})^3+...=-1+\frac{1}{1-\frac{1}{4}}= \\ =-1+\frac{1}{\frac{3}{4}}=-1+\frac{4}{3}=\frac{1}{3}$ tło

Odpowiedź

$\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...=\frac{1}{3}$

Zadania podobne

Zadanie - zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły
Zamienić liczbę 0,24(7) na ułamek zwykły.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły
Zamienić liczbę 0,(13) na ułamek zwykły.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły
Zamienić liczbę 0,(c) na ułamek zwykły, gdzie $c\in \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego
Środki kwadratu o boku długości a połączono ze sobą. W ten sposób został utworzony kwadrat, którego środki boków znów połączono ze sobą i tak dalej. Obliczyć pole powierzchni wszystkich utworzonych w ten sposób figur geometrycznych.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego
Nieskończenie wiele odcinków, każdy o długości stanowiącej 1/3 długości poprzedniego, ustawiono w linii prostej jeden za drugim. Linijką jakiej długości trzeba dysponować, aby zmierzyć ich łączną długość, jeżeli najdłuższy odcinek ma długość 5 cm?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - szereg geometryczny
Obliczyć $1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+...$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego, suma szeregu
Rozwiązać równanie $5+\frac{5}{x}+\frac{5}{x^2}+\frac{5}{x^3}+...=10$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - szereg geometryczny - równanie
Rozwiązać równanie $1+x+x^2+x^3+..=\frac{8}{7}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zbieżność szeregu geometrycznego
Dla jakich wartości parametru x szereg geometryczny

jest zbieżny?

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.