Zadanie - zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły


Zamienić liczbę 0,(c) na ułamek zwykły, gdzie c\in \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace.

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

0,ccc...=0,c+0,0c+0,00c+0,000c+...= \\ =0,c+0,c\cdot 0,1 + 0,c\cdot 0,01+0,c\cdot 0,001+...= \\ =0,c+0,c\cdot 0,1+0,c\cdot (0,1)^2+0,c\cdot (0,1)^3+...
a_1=0,c \\ q=0,1 \\ S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{0,c}{1-0,1}=\frac{\frac{c}{10}}{\frac{9}{10}}=\frac{c}{\cancel{10}}\cdot \frac{\cancel{10}}{9}=\frac{c}{9} \\ 0,ccc...=\frac{c}{9}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Literka c oznacza dowolną cyfrę od 1 do 9. Gdy c=0, to Liczba 0,(c) jest po prostu zerem. W pozostałych przypadkach stosujemy sumę szeregu geometrycznego do znalezienia ułamka zwykłego. Liczbę 0,(c) możemy zapisać jako 0,ccc...

Liczbę 0,ccc... postaramy się przedstawić w postaci szeregu geometrycznego:

a_1+a_1 q+a_1 q^2+...+a_1 q^{n-1}+...

Dokonujemy małych przekształceń:

0,ccc...=0,c+0,0c+0,00c+0,000c+...= \\ =0,c+0,c\cdot 0,1 + 0,c\cdot 0,01+0,c\cdot 0,001+...= \\ =0,c+0,c\cdot 0,1+0,c\cdot (0,1)^2+0,c\cdot (0,1)^3+... tło tło tło tło tło tło tło

Jeśli przyjrzysz się definicji szeregu geometrycznego i postaci, do jakiej doprowadziliśmy naszą liczbę, to widać podobieństwo. Na niebiesko zaznaczono w szeregu wyraz a1, na zielono - iloraz q.

Wyraziliśmy liczbę 0,ccc... jako szereg geometryczny. Zrobiliśmy to w celu zastosowania wzoru na sumę szeregu geometrycznego:

S=\frac{a_1}{1-q} \ dla \ |q|<1

Obliczamy sumę:

a_1=0,c \\ q=0,1 \\ S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{0,c}{1-0,1}=\frac{\frac{c}{10}}{\frac{9}{10}}=\frac{c}{\cancel{10}}\cdot \frac{\cancel{10}}{9}=\frac{c}{9} \\ 0,ccc...=\frac{c}{9}

ksiązki Odpowiedź

0,(c)=\frac{c}{9}

© medianauka.pl, 2009-12-31, ZAD-470

Zadania podobne

kulkaZadanie - zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły
Zamienić liczbę 0,24(7) na ułamek zwykły.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły
Zamienić liczbę 0,(13) na ułamek zwykły.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego
Środki kwadratu o boku długości a połączono ze sobą. W ten sposób został utworzony kwadrat, którego środki boków znów połączono ze sobą i tak dalej. Obliczyć pole powierzchni wszystkich utworzonych w ten sposób figur geometrycznych.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego
Nieskończenie wiele odcinków, każdy o długości stanowiącej 1/3 długości poprzedniego, ustawiono w linii prostej jeden za drugim. Linijką jakiej długości trzeba dysponować, aby zmierzyć ich łączną długość, jeżeli najdłuższy odcinek ma długość 5 cm?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - szereg geometryczny - suma szeregu
Obliczyć \frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - szereg geometryczny
Obliczyć 1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+...

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego, suma szeregu
Rozwiązać równanie 5+\frac{5}{x}+\frac{5}{x^2}+\frac{5}{x^3}+...=10

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - szereg geometryczny - równanie
Rozwiązać równanie 1+x+x^2+x^3+..=\frac{8}{7}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zbieżność szeregu geometrycznego
Dla jakich wartości parametru x szereg geometryczny 1+x^3+x+1+(x^3+x+1)^2+(x^3+x+1)^3+... jest zbieżny?

Pokaż rozwiązanie zadania






Polecamy w naszym sklepie

Kubek matematyka pi
Krótka historia wielkich umysłów
Matematyka konkretna
Matematyka dla menedżerów
Kolorowe skarpetki 3D
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2022 r.