Strona główna » Matematyka » Suma szeregu geometrycznego

Zadanie - zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły

Zamienić liczbę 0,(c) na ułamek zwykły, gdzie $c\in \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace$ .

Rozwiązanie zadania uproszczone

$0,ccc...=0,c+0,0c+0,00c+0,000c+...= \\ =0,c+0,c\cdot 0,1 + 0,c\cdot 0,01+0,c\cdot 0,001+...= \\ =0,c+0,c\cdot 0,1+0,c\cdot (0,1)^2+0,c\cdot (0,1)^3+...$
$a_1=0,c \\ q=0,1 \\ S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{0,c}{1-0,1}=\frac{\frac{c}{10}}{\frac{9}{10}}=\frac{c}{\cancel{10}}\cdot \frac{\cancel{10}}{9}=\frac{c}{9} \\ 0,ccc...=\frac{c}{9}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Literka c oznacza dowolną cyfrę od 1 do 9. Gdy c=0, to Liczba 0,(c) jest po prostu zerem. W pozostałych przypadkach stosujemy sumę szeregu geometrycznego do znalezienia ułamka zwykłego. Liczbę 0,(c) możemy zapisać jako 0,ccc...

Liczbę 0,ccc... postaramy się przedstawić w postaci szeregu geometrycznego:

$a_1+a_1 q+a_1 q^2+...+a_1 q^{n-1}+...$

Dokonujemy małych przekształceń:

$0,ccc...=0,c+0,0c+0,00c+0,000c+...= \\ =0,c+0,c\cdot 0,1 + 0,c\cdot 0,01+0,c\cdot 0,001+...= \\ =0,c+0,c\cdot 0,1+0,c\cdot (0,1)^2+0,c\cdot (0,1)^3+...$ tło

Jeśli przyjrzysz się definicji szeregu geometrycznego i postaci, do jakiej doprowadziliśmy naszą liczbę, to widać podobieństwo. Na niebiesko zaznaczono w szeregu wyraz a₁, na zielono - iloraz q.

Wyraziliśmy liczbę 0,ccc... jako szereg geometryczny. Zrobiliśmy to w celu zastosowania wzoru na sumę szeregu geometrycznego:

$S=\frac{a_1}{1-q} \ dla \ |q|<1$

Obliczamy sumę:

$a_1=0,c \\ q=0,1 \\ S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{0,c}{1-0,1}=\frac{\frac{c}{10}}{\frac{9}{10}}=\frac{c}{\cancel{10}}\cdot \frac{\cancel{10}}{9}=\frac{c}{9} \\ 0,ccc...=\frac{c}{9}$