Zadania — potęgowanie
Znajdziesz tutaj zadania na potęgowanie, w tym zadania na wzory skróconego mnożenia. Zadania są z pełnymi rozwiązaniami. Są tu zadania autorskie oraz maturalne na poziomie podstawowym i rozszerzonym z kilku ostatnich lat.
Zadanie nr 1.
Uprościć wyrażenie:
\(\Large \frac{6^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{8})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}\)
Zadanie nr 2.
Uprościć wyrażenie:
\(\Large \frac{(x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{-\frac{1}{4}}-1)}{3x^{\frac{1}{4}}}-\frac{3}{2x^{\frac{3}{4}}}\)
Zadanie nr 3.
Uprościć wyrażenie:
\(W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-a^3+\\+x^2+(a^3-x^2)^{-\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{2}}(a^2-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}+1\)
Zadanie nr 4.
Oblicz:
\(3^2\cdot 9^8\cdot (\frac{1}{3})^{-3}\cdot 27^{-5}\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 9^{\frac{1}{3}}\)
Zadanie nr 5.
Oblicz wartość wyrażenia:
\([(\frac{1}{5})^{-\frac{1}{2}}]^4+5\cdot 5^{-2}-(\frac{1}{5^3})^{-1}\)
Zadanie nr 6.
Oblicz wartość wyrażenia, korzystając z własności potęg:
\((5^{-\frac{1}{2}})^{5^{\frac{1}{3}}\cdot 25^{-\frac{2}{3}}}\)
Zadanie nr 7.
Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach, oblicz:
\(\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}\)
Zadanie nr 8.
Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: \(\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}\).
Zadanie nr 9.
Oblicz wartość wyrażenia: \(\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}\)
Zadanie nr 13.
Sprawdzić, czy liczby \(1, \sqrt{2}\) są pierwiastkami wielomianu
\(W(x)=\sqrt{2}x^5-2x^4-\sqrt{2}x^3+3x^2-2\sqrt{2}x+2\).
Zadanie nr 14.
Oblicz:
a) \((5+2x)^2\)
b) \((a-\frac{1}{2})^2\)
c) \((\sqrt{2}-2+\sqrt{3})^2\)
Zadanie nr 15.
Oblicz:
a) \((1-\frac{\sqrt{2}}{2})(1+\frac{\sqrt{2}}{2})\)
b) \((1+\sqrt{2})^3\)
c) \((\sqrt{3}-\sqrt{2})^3\)
d) \((5xy-\sqrt{2}x)^2\)
e) \((1+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5})^2\)
Zadanie nr 16.
Rozłożyć na czynniki wyrażenie \(24-10a+a^2\), korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.
Zadanie nr 17.
Rozłożyć na czynniki wyrażenie \(12a^2-12a+3\), korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.
Zadanie nr 18.
Rozłożyć na czynniki sumę \(2\sqrt{2}+a\sqrt{2}-2\sqrt{3}-a\sqrt{3}\).
Zadanie nr 19.
Pozbyć się niewymierności z mianownika
a) \(\frac{7}{1-\sqrt{7}}\)
b) \(\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}\)
Zadanie nr 20 - maturalne.
Dla każdej dodatniej liczby a iloraz \(\frac{a^{-2,6}}{a^{1,3}}\) jest równy:
A. \(a^{-3,9}\)
B. \(a^{-2}\)
C. \(a^{-1,3}\)
D. \(a^{1,3}\)
Zadanie nr 21 - maturalne.
Równość \((2\sqrt{2}-a)^2=17-12\sqrt{2}\) jest prawdziwa dla:
A. \(a=3\)
B. \(a=1\)
C. \(a=-2\)
D. \(a=-3\)
Zadanie nr 22 - maturalne.
Funkcja f określona jest wzorem \(f(x)=\frac{2x^3}{x^6+1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wtedy \(f(-\sqrt[3]{3})\) jest równa:
A. \(-\frac{\sqrt[3]{9}}{2}\)
B. \(-\frac{3}{5}\)
C. \(\frac{3}{5}\)
D. \(\frac{3}{5}\)
Zadanie nr 23 - maturalne.
W rozwinięciu wyrażenia \((2\sqrt{3}x+4y)^3\) współczynnik przy iloczynie \(xy^2\) jest równy
A. \(32\sqrt{3}\)
B. \(48\)
C. \(96\sqrt{3}\)
D. \(144\)
Zadanie nr 24 - maturalne.
Równość \(\frac{m}{5-\sqrt{5}}=\frac{5+\sqrt{5}}{5}\) zachodzi dla:
A. \(m=5\)
B. \(m=4\)
C. \(m=1\)
D. \(m=-5\)
Zadanie nr 25 - maturalne.
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność
Zadanie nr 26 - maturalne.
Liczba \((3-2\sqrt{3})^3\) jest równa:
A. \(27-24\sqrt{3}\)
B. \(27-30\sqrt{3}\)
C. \(135-78\sqrt{3}\)
D. \(135-30\sqrt{3}\)
Zadanie nr 27 - maturalne.
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) prawdziwa jest nierówność \(x^4-x^2-2x+3>0\).
Zadanie nr 28 - maturalne.
Wartość wyrażenia \(\frac{2}{\sqrt{3}-1}-\frac{2}{\sqrt{3}+1}\) jest równa:
A. \(-2\)
B. \(-2\sqrt{3}\)
C. \(2\)
D. \(2\sqrt{3}\)
Zadanie nr 29 - maturalne.
Liczba \(\Bigl(\frac{1}{(\sqrt[3]{729}+\sqrt[4]{256}+2)^0}\Bigr)^{-2}\) jest równa:
A. \(\frac{1}{125}\)
B. \(\frac{1}{15}\)
C. \(1\)
D. \(15\).
Zadanie nr 30 - maturalne.
Liczba \(5^8*16^{(-2)}\) jest równa
A. \((\frac{5}{2})^8\)
B. \((\frac{5}{8})^8\)
C. \(10^8\)
D. \(10\)
Zadanie nr 31 - maturalne.
Równanie \(x(x^2-4)(x^2+4)=0\) z niewiadomą \(x\):
A. nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
B. ma dokładnie dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.
C. ma dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.
D. ma dokładnie pięć rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
Zadanie nr 32 - maturalne.
Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych \(x, y\) prawdziwa jest nierówność \(x^2y^2+2x^2+2y^2−8xy+4 > 0\).
Zadanie nr 33 - maturalne.
Dane są liczby \(a=3,6⋅10^{-12}\) oraz \(b=2,4⋅10^{-20}\). Wtedy iloraz \(\frac{a}{b}\) jest równy:
- \(8,64⋅10^{−32}\)
- \(1,5⋅10^{−8}\)
- \(1,5⋅10^{8}\)
- \(8,64⋅10^{32}\)
Zadanie nr 34 - maturalne.
Liczba naturalna \(n=2^{14}\cdot 5^{15}\) w zapisie dziesiętnym ma
A. 14 cyfr
B. 15 cyfr
C. 16 cyfr
D. 30 cyfr
Zadanie nr 35 - maturalne.
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(3a^2−2ab+3b^2\geq 0\).
Zadanie nr 36 - maturalne.
Wartość wyrażenia \(x^2−6x+9\) dla \(x=\sqrt{3}+3\) jest równa
A. \(1\)
B. \(3\)
C. \(1+2\sqrt{3}\)
D. \(1-2\sqrt{3}\)
Zadanie nr 37 - maturalne.
Liczba \(\frac{2^{50}\cdot 3^{40}}{36^{10}}\) jest równa:
A. \(6^{70}\)
B. \(6^{45}\)
C. \(2^{30}\cdot 3^{20}\)
D. \(2^{10}\cdot 3^{20}\)
Zadanie nr 38 - maturalne.
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=4^{-x}+1\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Liczba \(f(\frac{1}{2})\) jest równa.
A. \(\frac{1}{2}\)
B. \(\frac{3}{2}\)
C. \(3\)
D. \(17\)
Zadanie nr 39 - maturalne.
Po przekształceniu wyrażenia algebraicznego \((x\sqrt{2}+y\sqrt{3})^4\) do postaci \(ax^4+bx^3y+cx^2y^2+dxy^3+ey^4\) współczynnik \(c\) jest równy
A. \(6\)
B. \(36\)
C. \(8\sqrt{6}\)
D. \(12\sqrt{6}\)
Zadanie nr 40 - maturalne.
Liczby dodatnie \(a\) i \(b\) spełniają równość \(a^2+2a=4b^2+4b\). Wykaż, że \(a=2b\).
Zadanie nr 41 - maturalne.
Liczba \(100^5\cdot (0,1)^{-6}\) jest równa
A. \(10^{13}\)
B. \(10^{16}\)
C. \(10^{-1}\)
D. \(10^{-30}\)
Zadanie nr 42 - maturalne.
Liczba \((2\sqrt{8}-3\sqrt{2})^2\) jest równa
A. \(2\)
B. \(1\)
C. \(26\)
D. \(14\)
Zadanie nr 43 - maturalne.
Liczba \(3^{2+\frac{1}{4}}\) jest równa
A. \(3^2\cdot \sqrt[4]{3}\)
B. \(\sqrt[4]{3^2}\)
C. \(3^2 +\sqrt[4]{3}\)
D. \(3^2\cdot \sqrt{3^4}\)
Zadanie nr 44 - maturalne.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) wyrażenie \((2a-3)^2-(3a+3)^2\) jest równe
A. \(-24a\)
B. \(0\)
C. \(18\)
D. \(16a^2-24a\)
Liczba odnalezionych zadań w zbiorze: 44.
Oznaczenia
Zadania maturalne — poziom podstawowy.
Zadania maturalne — poziom rozszerzony.
