Zadania — granica i ciągłość funkcji

Znajdziesz tutaj zadania z granic i ciągłości funkcji. To zadania z rozwiązaniami. Są tu zadania autorskie oraz maturalne na poziomie podstawowym i rozszerzonym z kilku ostatnich lat.


Zadanie nr 1.

Oblicz korzystając z definicji Heinego \(\displaystyle\lim_{x\to -3}{\frac{x^2-9}{x+3}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Oblicz korzystając z definicji Heinego \(\displaystyle\lim_{x\to 5}{(x+\frac{x-1}{x+1})}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \(\displaystyle\lim_{x\to -3}{(\frac{x^2-9}{x+3})}=-6\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \(\displaystyle\lim_{x\to 2}{(5x-7)}=3\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Wykazać, że funkcja \(f(x)=\frac{x^2-|x|}{2x}\) nie ma granicy w punkcie 0.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Obliczyć \(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{-2}{x^2}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Obliczyć \(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{1}{x^8}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Obliczyć:

a) \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{\frac{2x^3-x^2+3x-1}{2-x^3}}\)

b) \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}{\frac{3x^3+3x-1}{7-x^5}}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9.

Obliczyć \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{(x^3-x^8+x^2-1)}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10.

Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji:

a) \(f(x)=\frac{x+2}{x-1}\) w punkcie \(x_0=2\).

b) \(f(x)=\frac{x-7}{x^2-9}\) w punkcie \(x_0=-3\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11.

Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji:

a) \(f(x)=\frac{x+2}{x-1}\) w punkcie \(x_0=1\).

b) \(f(x)=\frac{2}{x^2}\) w punkcie \(x_0=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 12.

Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji \(f(x)=\frac{x+|x|}{x}\) w punkcie \(x_0=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 13.

Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji

\(f(x)=\begin{cases} 5x-x^2+1, \ dla \ x>-1 \\ 5-x, \ dla \ x< -1 \end{cases}\)

w punkcie \(x_0=-1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 14.

Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to -1}{\frac{x-5}{1-x^3}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 15.

Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 16.

Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to -1}{\frac{x^4-1}{x^2-1}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 17.

Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin^2{4x}}{\sin^2{2x}}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 18.

Zbadać, czy funkcja \(f(x)=\begin{cases} -2x, \ dla \ x \leq 0 \\ x^2, \ dla \ x > 0 \end{cases}\) jest ciągła w punkcie \(x_0=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 19.

Dla jakich wartości parametru \(a\) funkcja \(f(x)=\begin{cases} 2x^2-a, \ dla \ x \geq 1 \\ x-1, \ dla \ x < 1 \end{cases}\) jest ciągła w punkcie \(x_0=1\)?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 20.

Sprawdzić, czy funkcja \(f(x)=\begin{cases} \frac{x^2+x-6}{x-2}, \ dla \ x\in(-\infty;2) \\5, \ dla\ x=2 \\ 3x-1, \ dla \ x\in (2;\infty) \end{cases}\) jest ciągła w zbiorze liczb rzeczywistych.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 21.

Sprawdzić, czy funkcja \(f(x)=|x+1|-x\) jest ciągła w punkcie \(x_0=-1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 22 - maturalne.

Granica \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}\). Wynika stąd, że

A. \(p=-8\)

B. \(p=4\)

C. \(p=2\)

D. \(p=-2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.





Liczba odnalezionych zadań w zbiorze: 22.

Oznaczenia

zadanie maturalne Zadania maturalne — poziom podstawowy. zadanie maturalne Zadania maturalne — poziom rozszerzony.

Zbiór zadań z matematyki
Zbiór wszystkich zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami.
AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.
Granica i ciągłość funkcji
Dzięki wprowadzeniu pojęcia granicy funkcji można też badać ciągłość funkcji w punkcie, a także w całej jej dziedzinie.

 



©® Media Nauka 2008-2023 r.