Nauka » Matematyka » Granica niewłaściwa funkcji

Zadanie - granica niewłaściwa funkcji

Obliczyć $\lim_{x\to 0}{\frac{-2}{x^2}}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

Niech:
$x_n\neq 0, \lim_{n\to\infty}{x_n}=0$

Obliczamy granicę:

$\lim_{x\to 0}{\frac{-2}{x^2}}=\lim_{n\to\infty}{\frac{-2}{x_n^2}}=-\infty$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Obliczymy wartość granicy funkcji, korzystając z definicji. Bierzemy pod uwagę ciąg argumentów rozpatrywanej funkcji f(x) o wyrazach należących do sąsiedztwa S punktu x₀=0, czyli o wyrazach różnych od zera. Niech ten ciąg jest zbieżny do zera.

$x_n\neq 0, \\ \lim_{n\to\infty}{x_n}=0$

Przykładem takiego ciągu jest choćby x_n=1/n, ale to może być dowolny ciąg spełniający powyższe warunki.

Obliczamy granicę funkcji, która będzie równa granicy ciągu wartości funkcji (f(x_n))

$\lim_{x\to 0}{\frac{-2}{x^2}}=\lim_{n\to\infty}{(f(x_n)}=\lim_{n\to \infty}{\frac{-2}{x_n^2}}=-2\lim_{n\to \infty}{\frac{1}{x_n^2}}=-\infty$

Skąd wziął się wynik minus nieskończoność? Skorzystaliśmy tutaj z następującego twierdzenia. Ponieważ każdy wyraz ciągu jest podniesiony do drugiej potęgi, wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Ciąg jest zbieżny do zera. Zatrzymajmy się tutaj na chwilę:
Skoro zgodnie z założeniem $\lim_{n\to\infty}{x_n}=0, \ to \ \lim_{n\to\infty}{x_n^2}=\lim_{n\to\infty}{(x_n \cdot x_n)}=0$
Wszystkie warunki są spełnione, więc możemy skorzystać z tego twierdzenia, uwzględniamy jeszcze znak minus i otrzymujemy wynik: minus nieskończoność

Odpowiedź

$\lim_{x\to 0}{\frac{-2}{x^2}}=-\infty$

Zadania podobne

Zadanie - granica niewłaściwa funkcji
Obliczyć $\lim_{x\to 0}{\frac{1}{x^8}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.