Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - granica niewłaściwa funkcji


Obliczyć \lim_{x\to 0}{\frac{1}{x^8}}


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Niech:
x_n\neq 0, \lim_{n\to\infty}{x_n}=0

Obliczamy granicę:

\lim_{x\to 0}{\frac{1}{x^8}}=\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{x_n^8}}=\infty

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Obliczymy wartość granicy funkcji, korzystając z definicji. W tym celu bierzemy pod uwagę ciąg argumentów naszej funkcji f(x) o wyrazach należących do sąsiedztwa S punktu x0=0, czyli o wyrazach różnych od zera. Niech ten ciąg jest zbieżny do zera.

x_n\neq 0, \\ \lim_{n\to\infty}{x_n}=0

Przykładem takiego ciągu jest na przykład xn=1/n, choć to może być dowolny inny ciąg spełniający powyższe warunki.

Obliczamy granicę funkcji, która będzie równa granicy ciągu wartości funkcji (f(xn))

\lim_{x\to 0}{\frac{1}{x^8}}=\lim_{n\to\infty}{(f(x_n)}=\lim_{n\to \infty}{\frac{1}{x_n^8}}=\infty

Ponieważ każdy wyraz ciągu jest podniesiony do parzystej potęgi, wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Ciąg jest zbieżny do zera. Zatrzymajmy się tutaj na chwilę:
Skoro zgodnie z założeniem
\lim_{n\to\infty}{x_n}=0, \ to \\ \lim_{n\to\infty}{x_n^8}=\lim_{n\to\infty}{(x_n \cdot x_n\cdot x_n\cdot x_n\cdot x_n\cdot x_n\cdot x_n\cdot x_n)}=\\ =0\cdot0\cdot0\cdot0\cdot0\cdot0\cdot0\cdot0=0
Wszystkie warunki są spełnione, więc możemy skorzystać z tego twierdzenia.

ksiązki Odpowiedź

\lim_{x\to 0}{\frac{1}{x^8}}=\infty

© medianauka.pl, 2010-05-11, ZAD-854





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.