logo

Zadanie - granica niewłaściwa funkcji


Obliczyć \lim_{x\to 0}{\frac{1}{x^8}}

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Niech:
x_n\neq 0, \lim_{n\to\infty}{x_n}=0

Obliczamy granicę:

\lim_{x\to 0}{\frac{1}{x^8}}=\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{x_n^8}}=\infty

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Obliczymy wartość granicy funkcji, korzystając z definicji. W tym celu bierzemy pod uwagę ciąg argumentów naszej funkcji f(x) o wyrazach należących do sąsiedztwa S punktu x0=0, czyli o wyrazach różnych od zera. Niech ten ciąg jest zbieżny do zera.

x_n\neq 0, \\ \lim_{n\to\infty}{x_n}=0

Przykładem takiego ciągu jest na przykład xn=1/n, choć to może być dowolny inny ciąg spełniający powyższe warunki.

Obliczamy granicę funkcji, która będzie równa granicy ciągu wartości funkcji (f(xn))

\lim_{x\to 0}{\frac{1}{x^8}}=\lim_{n\to\infty}{(f(x_n)}=\lim_{n\to \infty}{\frac{1}{x_n^8}}=\infty

Ponieważ każdy wyraz ciągu jest podniesiony do parzystej potęgi, wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Ciąg jest zbieżny do zera. Zatrzymajmy się tutaj na chwilę:
Skoro zgodnie z założeniem
\lim_{n\to\infty}{x_n}=0, \ to \\ \lim_{n\to\infty}{x_n^8}=\lim_{n\to\infty}{(x_n \cdot x_n\cdot x_n\cdot x_n\cdot x_n\cdot x_n\cdot x_n\cdot x_n)}=\\ =0\cdot0\cdot0\cdot0\cdot0\cdot0\cdot0\cdot0=0
Wszystkie warunki są spełnione, więc możemy skorzystać z tego twierdzenia.

ksiązki Odpowiedź

\lim_{x\to 0}{\frac{1}{x^8}}=\infty

© medianauka.pl, 2010-05-11, ZAD-854

Zadania podobne

kulkaZadanie - granica niewłaściwa funkcji
Obliczyć \lim_{x\to 0}{\frac{-2}{x^2}}

Pokaż rozwiązanie zadania






Polecamy w naszym sklepie

Krótka historia wielkich umysłów
Matematyka olimpijska. Kombinatoryka
Liczby, ich dzieje, rodzaje, własności
Czy kości grają rolę Boga? Matematyka niepewności
50 wielkich idei które powinieneś znać
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2022 r.