Strona główna » Matematyka » Granica niewłaściwa funkcji

Zadanie - granica niewłaściwa funkcji

Obliczyć $\lim_{x\to 0}{\frac{1}{x^8}}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

Niech:
$x_n\neq 0, \lim_{n\to\infty}{x_n}=0$

Obliczamy granicę:

$\lim_{x\to 0}{\frac{1}{x^8}}=\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{x_n^8}}=\infty$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Obliczymy wartość granicy funkcji, korzystając z definicji. W tym celu bierzemy pod uwagę ciąg argumentów naszej funkcji f(x) o wyrazach należących do sąsiedztwa S punktu x₀=0, czyli o wyrazach różnych od zera. Niech ten ciąg jest zbieżny do zera.

$x_n\neq 0, \\ \lim_{n\to\infty}{x_n}=0$

Przykładem takiego ciągu jest na przykład x_n=1/n, choć to może być dowolny inny ciąg spełniający powyższe warunki.

Obliczamy granicę funkcji, która będzie równa granicy ciągu wartości funkcji (f(x_n))

$\lim_{x\to 0}{\frac{1}{x^8}}=\lim_{n\to\infty}{(f(x_n)}=\lim_{n\to \infty}{\frac{1}{x_n^8}}=\infty$

Ponieważ każdy wyraz ciągu jest podniesiony do parzystej potęgi, wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Ciąg jest zbieżny do zera. Zatrzymajmy się tutaj na chwilę:
Skoro zgodnie z założeniem
$\lim_{n\to\infty}{x_n}=0, \ to \\ \lim_{n\to\infty}{x_n^8}=\lim_{n\to\infty}{(x_n \cdot x_n\cdot x_n\cdot x_n\cdot x_n\cdot x_n\cdot x_n\cdot x_n)}=\\ =0\cdot0\cdot0\cdot0\cdot0\cdot0\cdot0\cdot0=0$
Wszystkie warunki są spełnione, więc możemy skorzystać z tego twierdzenia.