Zadania — wielomiany
Znajdziesz tutaj zadania z wielomianów. Znajdziesz tu przykłady zadań z takich zagadnień jak dzielenie wielomianów, rozkład wielomianu na czynniki, inne działania na wielomianach. Wszystkie zadania są z rozwiązaniami. Są tu zadania autorskie oraz maturalne na poziomie podstawowym i rozszerzonym z kilku ostatnich lat.
Zadanie nr 1.
Dla jakiej wartości parametru a wielomian \(W(x)=x^3+2x^2-x+a\) dzieli się bez reszty przez \(x-1\)?
Zadanie nr 2.
Dane są wielomiany:
\(A(x)=ax^3-(a+1)^2(x-1)^2+ax+5a-7\)
\(B(x)=ax^4+(a-1)^2(x+1)^2-(a+1)x+7a+8\)
Znaleźć sumę wielomianów \(A(x)+B(x)\) oraz różnicę \(A(x)-B(x)\)
.Zadanie nr 3.
Dla jakich wartości parametrów \(a\), \(b\) i \(c\) suma wielomianów
\(A(x)=ax^3+(b-1)x^2+x-c^2-2c+1\)
\(B(x)=(a-2)x^3-(2b+1)x^2-x+c^2+c-1\)
jest równa jednomianowi zerowemu?
Zadanie nr 4.
Wielomian \(W(x)\) dla \(x_1=-5, x_2=5\) ma taką samą wartość, równą zeru. Jaka jest postać iloczynowa tego wielomianu, jeżeli jego wartość w punkcie \(x=1\) jest równa 24 i wiadomo, że wielomian ma 3 pierwiastki?
Zadanie nr 5.
Wykonać mnożenie:
a) \((3x^3-x^2+2)(2x^2+x-1)\)
b) \([(a+1)x^2-x+a][x^2-(a+1)x+1]\)
i uporządkować oraz zredukować wynik względem zmiennej \(x\).
Zadanie nr 6.
Wykonać dzielenie wielomianów:
a) \((x^5+x^2-x+1):(x^3-x+1)\)
b) \((8x^4-2x^3-5x^2-13x-3):(x^2+x+1)\)
c) \((x^{10}-1):(x^2+1)\)
d) \((8x^3+18x^2-9x-8):(x+\frac{1}{2})\)
e) \((x^4-2\sqrt{2}x^3-2x^2+8\sqrt{2}x-8):(x-\sqrt{2})\)
Zadanie nr 7.
Dany jest wielomian: \(A(x)=x^3-x^2+x-1\). Obliczyć \(A(-1), \ A(2),\ A(\sqrt{2}), A(-\sqrt[3]{2})\).
Zadanie nr 8.
Sprawdzić, czy liczby \(1, \sqrt{2}\) są pierwiastkami wielomianu
\(W(x)=\sqrt{2}x^5-2x^4-\sqrt{2}x^3+3x^2-2\sqrt{2}x+2\).
Zadanie nr 9.
Dla jakiej wartości parametru \(m\) pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=mx^3-(m+1)x^2+x-1+m\) jest liczba 1?
Zadanie nr 10.
Rozłożyć na czynniki wielomian:
a) \(W(x)=2x^6-50x^4\)
b) \(W(x)=x^8-1\)
c) \(W(x)=x^3-\sqrt{2}x^2+\sqrt{2}x-2\)
d) \(W(x)=x^3-11x^2+35x-25\)
Zadanie nr 11.
Rozłożyć wielomian:
a) \(W(x)=2x^5-2x^3-4x^2+4\)
b) \(W(x)=-x^3+x^2+x-1\)
na czynniki metodą grupowania wyrazów.
Zadanie nr 12.
Rozłożyć wielomian \(W(x)=8x^4-2x^3-33x^2+8x+4\) na czynniki.
Zadanie nr 13.
Dany jest wielomian \(W(x,y)=2x^2y^3+3x-4y^3-xy\). Określić stopień wielomianu oraz obliczyć wartości \(W(1,-1), W(\sqrt{2},\sqrt{3})\)
Zadanie nr 14 - maturalne.
Wielomian \(W(x)=6x^3+3x^2-5x+p\) jest podzielny przez dwumian \(x-1\) dla \(p\) równego:
A. \(4\)
B. \(-2\)
C. \(2\)
D. \(-4\)
Zadanie nr 15 - maturalne.
Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu \(W(x)=x^3+ax^2+bx+c\) jest równa 0. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej \(3\). Oblicz współczynniki \(a\), \(b\) i \(c\). Rozważ wszystkie możliwe przypadki.
Zadanie nr 16 - maturalne.
Dany jest wielomian \(W(x)=2x^3+ax^2−13x+b\). Liczba 3 jest jednym z pierwiastków tego wielomianu. Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)\) przez (x+2) jest równa 20. Oblicz współczynniki \(a\) i \(b\) oraz pozostałe pierwiastki wielomianu \(W(x)\).
Zadanie nr 17 - maturalne.
Wielomian określony wzorem \(W(x)=2x^3+(m^3+2)x^2−11x−2(2m+1)\) jest podzielny przez dwumian \((x−2)\) oraz przy dzieleniu przez dwumian \((x+1)\) daje resztę 6. Oblicz \(m\) oraz pierwiastki wielomianu \(W\) dla wyznaczonej wartości \(m\).
Zadanie nr 18 - maturalne.
Wielomian W określony wzorem \(W(x)=x^{2019}−3x^{2000}+2x+6\)
A. jest podzielny przez \((x−1)\) i z dzielenia przez \((x+1)\) daje resztę równą \(6\).
B. jest podzielny przez \((x+1)\) i z dzielenia przez \((x−1)\) daje resztę równą \(6\).
C. jest podzielny przez \((x−1)\) i jest podzielny przez \((x+1)\.
D. nie jest podzielny ani przez \((x−1)\), ani przez \((x+1)\).
Zadanie nr 19 - maturalne.
Wielomian \(W(x)=x^4+81\) jest podzielny przez
A. \(x-3\)
B. \(x^2+9\)
C. \(x^2-3\sqrt{2}x+9\)
D. \(x^2+3\sqrt{2}x-9\)
Liczba odnalezionych zadań w zbiorze: 19.
Oznaczenia
Zadania maturalne — poziom podstawowy.
Zadania maturalne — poziom rozszerzony.
